第十七章 含参变量的积分 设函数在矩形上连续。定义含参积分 和. 含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。 下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。 定理1 若函数在矩形上连续, 则函数在上连续. 注：在定理的条件下，有 ， 即极限运算可以通过积分号。 例：求。 定理2 若函数及其偏导数都在矩形上连续, 则 ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：当时，能否利用定理2计算的导数？ 定理3 若函数及其偏导数在矩形域上连续, 函数和在上连续，并且 ， 则函数在上连续。 例：求。 定理4 设函数函数及其偏导数在矩形域上连续，函数和在上存在，并且 ， 则 。 例：设，求。 定理5若函数在矩形上连续，则 . 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：求。 例： 研究函数 的连续性，其中是上连续且为正的函数。 解： 令，则在连续，其中。从而在连续。 当时， 当时，记 ，则  若存在，则  故在不连续。 或用定积分中值定理，当时， ，使   若存在，则  故在不连续。 问题1 上面最后一个式子能否写为 。 事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。 例：设在连续，求证  （其中 ） 满足微分方程 。 证：令，则 ，  它们都在上连续，则      例：设为连续函数，  求。 解：令，则   在第一项中令，在第二项中令，则 。