第二十章 重积分 §1二重积分的计算 一 化二重积分为二次计分 1. 关于体积的计算 2. 矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算 简单地说，形如的积分称为一个先后的二次积分。确切地说，设函数在上有定义，如果任意确定，则是自变量为的一元函数，设 ， 有意义，其值是的函数，记为，又得体积为  同样，可以先后的二次积分：= 在此例中，先后的二次积分等于先后的二次积分，即两个二次积分相等，这个现象包含在下面的定理中。 3．一般性化二重积分为二次积分 在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。所示区域用集合可表示为：  型区域 其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点；所示区域用集合可表示为：  型区域 其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点。 为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的型区域和型区域。因而，解决了型区域和型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决。 如何计算型区域和型区域上的二重积分呢？ 最基本的想法还是化二重积分为二次积分（累次积分）。问题是化为什么样的二次积分呢？有下面的结果： 定理1 设， 则 =。 例：化二重积分为二次积分，其中是由直线，抛物线所围的平面区域。 例：求由和，，，所围空间区域的体积V 。 例：求二次积分 注意：最外层积分的积分限一定是常数。 二 用极坐标计算二重积分 也有一种情形，函数f在上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例：，= 在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。 作极坐标变换： 。 在变换下，函数，，区域。二重积分化为 。 说明：①注意，虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之： 情形1 若=， ，为[，]上的连续函数，则称之为型区域。这时，可将之化为下面形式： = 情形2 若=，其中，C[，]（型区域），此时有 = 情形3 若极点O是积分区域的内点，则交换后的区域为：= 此处=是的边界曲线，= 情形4 若积分区域的边界曲线=通过极点O时，应先求出极径，继使=0的两个角度，，此时有：=。 ②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。 例：，=。 例：求。 三 二重积分的一般变量替换 计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。 定理2 设是平面的闭区域上的连续函数，又设 ， （*）。 在上有关于和的连续偏导数，通过（*）把变为，并且变换（*）是一对一的，又设，则 =。 注：（1）在定理中，假设，但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于0。或只在一小区域上等于0而在其他点上非0，此时上述结论能成立。 （2）特例：，此时=，根据①，有 =。 （3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排。 例：求椭球体的体积。 例: 求出由抛物线，以及双曲线，所围区域的面积。 §2 三重积分的计算 一 化三重积分为三次积分 设是中的（闭）长方体，是定义在上的有界函数。那么在上的三重积分可以化为先对，后对的积分： =， 或的积分 = 。 等等（共6种），并且此时（连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 计算（化为逐次积分） ●设，则有 =， 如果，则 =。 ●设，， ==。 三重积分的直接计算方法（举例） 例：，：有平面所围成区域。 例：，：锥面，平面所围（）成区域。 例：，： 的内部区域。 二 三重积分的变量替换 设作变量替换：   且满足下列条件： （1） 建立了之间的一一对应； （2）在内有关于的连续偏导数，并且其变换：在内有关于的连续偏导数； （3） Jacohi行列式 在内无零点，则 = 注：和二重积分类似，当J点在内个别点上为零时，上述公式仍成立。 最常用的坐标变换 柱坐标代换 令，，则三重积分的柱坐标换元公式为 =。 注：柱坐标变换适用于型被积函数或积分区域。 注：用柱坐标计算三重积分，通常是找出在平面上的投影区域，那当时， = 先对积分，再计算上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。 例：，D由上半球面和抛物面所围的区域。 2．球面坐标变换 球面坐标：设空间一点在平面上的投影为，，是有向线段与轴的正向之间的交角（），是两平面与的交角（），则叫做点M的球面坐标。 在球面坐标中，有三族坐标平面：=常数，以原点为中心的球面；=常数，以原点为顶点，轴为轴的圆锥面；=常数，过轴的柱面（两两正交是正交坐标系）。有时，取作为，这时点的直角坐标与它的球面坐标的点系为：，而。 令 ， 则 =。 例：求球面和锥面所围区域的体积，其中锥面是以轴为轴，顶角为的锥面。 §3 积分在物理上的应用 一 质心 设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是。又假设为上的连续函数。则几何体的质心的坐标为： ， ， 。 具体地说，如果几何体是一块空间体积，那么这块体积的质心坐标应为： , , 。 例：求密度均匀的上半椭球体的质心. 二 矩 设为一块可度量的几何形体，它的密度函数为，并设在上连续。分别称 ， ，  为物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面的阶矩。当时称为零阶矩，表示物体的质量。当时称为静矩。当时称为转动惯量。 例：计算由平面，，，所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量。 例：求密度均匀的圆环对于圆环面中心轴的转动惯量. 例：求密度均匀的圆盘对于其直径的转动惯量. 例：设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动惯量. 三 引力 设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是，为上的连续函数。为外一点，质点具有单位质量。则几何体对质点的引力在三个坐标轴上的分量，，分别为: ， ，  其中为引力常数，。 例：设球体具有均匀的密度,求对球外一点(质量为1)的引力。 §4 广义重积分 对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的积分和无界函数的积分。 定义1 设是平面上一无界区域，函数在上各点有定义，用任意光滑曲线在中划出有限区域.设二重积分存在，当曲线连续变动时，使所划出的区域无限扩展而趋于区域时，如果不论的形状如何， 也不论扩展的过程怎样，而  常有同一极限值，就称是函数在无界区域上的二重积分，记为  这时也称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。 柯西判别法 设在无界区域上的任意有界区域上二重积分存在，如果在内相当远处满足 。 其中为正的常数，是到原点的距离，且，那么积分收敛。 例：计算广义重积分。 例：讨论广义重积分的收敛性。 定义2 设在有界区域上有奇点或奇线（函数在这些点或线的附近无界）。以中的光滑曲线来隔开奇点或奇线，所围成的区域记为.如果在区域收缩到奇点或奇线时，这些积分的极限值存在且与的取法和收缩的方式无关，则称这极限值是上的无界函数的广义二重积分，记为。并称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。 柯西判别法 设在内有奇点，如果对于和充分邻近的点，有 。 其中为正的常数，是与点的距离，且，那么积分收敛。 例：计算广义重积分。 例：讨论广义重积分的收敛性。