第七章 定积分 §1. 定积分的概念 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 设  求证. §2. 定积分存在的条件 设在可积，证明在上可积，且 . 若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为. 举例说明在可积，但在不可积. 判断下列函数在区间上的可积性： (1) 在上有界，不连续点为； (2)  (3)  (4)  讨论三者间可积性的关系． 设都在上可积，证明：  在上也是可积的． 设在上可积，且，求证： (1) 在可积； (2) 在可积． 设在可积，求证：任给，存在逐段为常数的函数，使 设在上有界，定义  求证  设在附近有定义且有界，定义  求证：在连续的充分必要条件为． 若函数在可积，证明：  其中 (这一性质称为积分的连续性)． 对任意省仨成立，求证：  设在有连续的导函数，求证：  设在可积，求证；存在连续函数序列，使  设在黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列使  且； (2) 存在，使得在点连续； (3) 在上有无穷多个连续点． §3. 定积分的性质 比较下列各对定积分的大小： (1) ； (2) ； (3) . 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 设在连续，，证明在上恒为零. 证明： (1) ； (2) . 设，求证 . 设在连续，，不恒为零，证明 . (1)设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明. (2)设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明：在上同样有. 设在连续，且，求证： . 设在连续，求证： ， 而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。 设在连续，证明 ， 其中 . 用一致连续定义验证： (1) 在上是一致连续的； (2) 在上是一致连续的； (3) 在上一致连续，但在上不一致连续； (4) 在上不一致连续. 设是严格单调增加的连续函数，是它的反函 数，证明  设在连续，求证： ， 而且等号成立当且仅当(常数). 设在连续，，求证： . §4. 定积分的计算 计算下列定积分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)  ； (6) ； 计算下列定积分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) ； (13) ； (14) ； (15) ； (16) ； (17) ； (18) ； (19) ； (20) ； 设在所示区间上是连续函数，证明： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一个为奇函数. 计算积分. 设在连续，且，求证： (1) ； (2) ； 设在任一有限区间上可积分，且  求证：  利用分部积分法证明：  9. 设在时连续，对任意，积分值  与a无关，求证：（c为常数）.