第九章 数项级数 §1. 预备知识：上极限和下极限 证明：若微分方程有多项式解  则必有 试确定系数使满足勒让德方程  §2. 级数的收敛性及其基本性质 讨论下列级数的敛散性： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  求下列级数的和： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数即 ， 其中若收敛，证明原来的级数也收敛. §3. 正项级数 利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)  (2)  (3)  (4)  判别下列级数的收敛性： (1)  (2)  (3)  (4)  (5)   (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)   (17)  (18)  (19)  (20)  (21)  (22)  (23)  若正项级数收敛，，求证. 已知两正项级数和发散，问，两级数的收敛性如何？ 设 求证:(1) 收敛; (2)  讨论下列级数的收敛性: (1)  (2)  (3)  (4)  设且,求证.反之是否成立? 利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)  (2)  利用级数收敛的必要条件证明: (1)  (2)  设正项级数收敛,证明也收敛. 设,且数列有界,证明级数收敛. 设,求证: (1) 当时, 收敛; (2) 当时, 发散. 问时会有什么结论? §4. 任意项级数 讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  讨论下列级数的收敛性: (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11) ; (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  求证:若级数收敛,则级数收敛.但反之不成立,请举出例子. 证明:若级数及都收敛,且  则级数也收敛,若级数与都发散,问级数的收敛性如何? 利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性: (1)   (2)  证明:若收敛,则当时,也收敛. 若发散,则当时, 也发散. 若级数收敛,且,问是否能断定也收敛?研究例子  设收敛,且,求证:  收敛,并且  求证:若数列有极限,收敛,则也收敛. 求下列极限(其中) (1) (2) 设正项数列单调上升且有界,求证:  收敛. 下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若,则收敛; (2) 若,则收敛; (3) 若收敛,则收敛; (4) 若收敛,则绝对收敛; (5) 若发散,则不趋于0; (6) 若收敛,，则收敛; (7) 若收敛, ，则收敛; (8) 若收敛,则收敛; (9) 若收敛,，则. 求证:级数的平方(柯西乘积)是收敛的. 令,求证. §5. 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 求证:若级数和都收敛,则级数  也收敛. 对数列,定义,求证: (1) 如果有界,收敛,且,则收敛,且有  (2) 如果与都收敛,则收敛. 求证:若绝对收敛,收敛,则收敛. 不用柯西准则,求证:如果,则也收敛. 求证:由级数重排所得的级数  发散. 证明:若条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于,有一子数列趋向. 证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数  的收敛性. 设收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数. 已知,是欧拉常数,,求证: (1) ; (2) 若把级数的各项重排,而使依次个正项的一组与依次个负项的一组相交替,则新级数的和为.