第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 2．设  考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) ； (2) . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) 在点(1,1,1)； (4) 在点（0，1）. 6．考察函数在(0,0)点的可微性，其中  7．证明函数  在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数  的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微。 9．设  证明和在(0,0)点连续. 10．设  证明在(0,0)点可微，并求. 11．设  (1) 是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微. (2) 在(0,0)不可微. 12．设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1)  (2) . 13．设在矩形：内可微，且全微分恒为零，问在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设在存在，在连续，求证在可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (3) . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) ,求； (2) ，求所有三阶偏导数； (3) ,求，； (4) ,求； (5)  ，求； (6) ,求. 17．验证下列函数满足 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 18．设函数，证明 . 19．设在点的某邻域内存在且在点可微，则有 . §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 2．设，其中是可微函数，验证 . 3．设，为常数，函数二阶可导，。 证明 . 4．若函数对任意正实数满足关系 ， 则称为次齐次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是 . 5．验证下列各式： (1) ,则； (2) ,则； (3) ,则； (4) ,则. 6．设可微，在极坐标变换， 下，证明 . 这时称是一个形式不变量. 8．设函数满足拉普拉斯方程 ， 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有. (1) ,； (2) ； (3) 满足.这组方程称为柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换，取为新自变量： (1) ,变换方程； (2) ,变换方程. 10．作自变量和因变量的变换，取为新的自变量，为新的因变量： (1) 设，变换方程 ； (2) 设，变换方程 . 11．求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 12．求由下列方程所确定的函数的全微分； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 13．设由方程 所确定，证明。 14．设，其中为由方程所确定的隐函数，求和. 15．设，其中为由方程所确定的隐函数，求，. §3. 由方程（组）所确定的函数的求导法 求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数： (1） 求； (2)  求； (3)  求； (4)  求. 下列方程组定义为的函数，求，. (1)  (2)  §4. 空间曲线的切线与法平面 求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ (1) ,在点； (2) ,在点(1,-1,2)； (3) ,在点(1,-2,1)； (4) ,在点. 证明曲线在锥面的母线相交成同一角度. 求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 求两曲面  的交线在平面上的投影曲线的切线方程. §5. 曲面的切平面与法线 求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程： (1) ，在点（1,1,2）； (2) 在点； (3) 在点(2,1,12)； (4) 在点. 求曲面的切平面，使它平行于平面. 证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数. 证明曲面的每一切平面都通过原点. §6. 方向导数和梯度 设，求在点沿到点的方向导数. 求函数在点处沿到点的方向上的方向导数 求： (1) ，，与轴正向的夹角为； (2) ,, 与向量同向. 设函数在可微，单位向量，，，，确定使得 . 设在可微，在指向的方向导数是1，指向原点的方向导数是－3，试回答： (1) 指向的方向导数是多少？ (2) 指向的方向导数是多少？ §7. 泰勒公式 写出下列函数在指定点的泰勒公式： (1)，在(1,-2)点. (2) ，在(-1,1)点. 求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项. 求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式： (1) ； (2) ； (3) ; (4) 。 证明泰勒公式的唯一性：若 ，其中.求证（为非负整数，…），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶泰勒展开式. 通过对用中值定理，证明存在，使 . 设在区域内有偏导数存在，且.证明在为常数. 若是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式： (1) ； (2) . 设函数有直到阶连续偏导数，试证的阶导数 . 设为次齐次函数，证明 …. 设，其中为常数，在包含原点的某邻域内，有阶连续导数.求证：在(0,0)点邻域的泰勒公式是 .