课程名称：数学分析???? 总学时： 288 英文名称： Mathematical Analysis 面对专业 : 数学类 一． 教学目标与基本要求 ????通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。通过学习与研究，激发学生热爱专业，增强建设祖国的事业心和责任感，为学习数学专业的所有后续课程打下基础。 二． 教学方法 ????以课堂教学为主，讲授课时与习题课课时的分配，应注意精讲多练，保证必要的习题量。并充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。 三、 教学内容 第一章 变量与函数（10学时） 本章内容分为实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。教学重点：（1）理解实数的有序性、稠密性与封闭型；（2）理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（3）牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。会求初等函数的定义域、值域，会分析初等函数的复合关系。掌握几个特殊函数的表示方法。 §1. 函数的概念 一、变量 二、函数 三、函数的一些几何特性 §2. 复合函数和反函数 一、复合函数 二、反函数 §3. 基本初等函数 第二章 极限与连续（30学时） 本章介绍了数列极限的概念、性质与四则运算，数列收敛性的判别法，无穷大量的定义、性质和运算。给出一般函数极限的概念、基本性质，判定函数极限存在的海涅定理，介绍求函数极限的一些方法以及单侧极限；给出连续函数的概念、性质，进而证明任何初等函数在其有定义的区间上连续；讨论不连续点的类型和闭区间上连续函数的性质；引入了无穷小（大）量及其阶的概念。 教学重点：（1）数列极限“ ”的定义及相关概念；（2）理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；（3）掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理；（4）理解函数极限“ ”的定义，能运用定义证明与函数极限有关的某些命题；（5）掌握函数极限的基本性质；（6）掌握海涅定理，领会其实质以及证明的基本思路；（7）掌握两个重要极限；（8）掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。（9）理解间断点的概念，识别不同类型的间断点；（10）熟知复合函数的连续性和反函数的连续性；（11）掌握闭区间上连续函数的性质和运用；（12）理解一致连续的概念。 §1. 数列的极限和无穷大量 一、数列极限的定义 二、数列极限的性质 三、数列极限的运算 四、单调有界数列 五、无穷大量的定义 六、无穷大量的性质和运算 §2. 函数的极限 一、函数在一点的极限 二、函数极限的性质和运算 三、单侧极限 四、函数在无穷远处的极限 五、函数值趋于无穷大的情形 六、两个常用的不等式和两个重要的极限 §3. 连续函数 一、连续的定义 二、连续函数的性质和运算 三、初等函数的连续性 四、不连续点的类型 五、闭区间上连续函数的性质 第三章 极限续论（18学时） 本章介绍子列的定义，上、下确界的含义、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理的证明方法以及证明思路，有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性定理的证明方法。教学重点：（1）理解上、下确界的含义；（2）理解区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理；（3）掌握有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性定理的证明。 §1. 关于实数的基本定理 一、子列 二、上确界和下确界 三、区间套定理 四、致密性定理 五、柯西收敛原理 六、有限覆盖定理 §2. 闭区间上连续函数性质的证明 一、有界性定理 二、最大（小）值定理 三、零点存在定理 四、反函数连续性定理 五、一致连续性定理 第四章 导数与微分（20学时） 导数与微分是数学分析的基本概念之一。本章以速度问题为背景引入导数的概念，介绍了导数的几何意义，给出了求导法则、公式，继而引进微分的概念，并阐明其几何解析；最后讨论了高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 教学重点：（1）理解导数概念，明确其实际背景并给出物理、几何解析，明确可导与连续的关系；（2）掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数；（3）理解函数在一点的微分的定义，可导与可微的一致性，能熟练求初等函数的微分；（4）掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。 §1. 导数的引进与定义 一、导数的引进 二、导数的定义及几何意义 §2. 简单函数的导数 一、常数的导数 二、三角函数的导数 三、对数函数的导数 四、幂函数的导数 §3. 求导法则 一、导数的四则运算 二、反函数的导数 §4. 复合函数求导法 §5. 微分及其运算 一、微分的定义 二、微分的运算法则 §6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法 二、参数方程所表示函数的求导法 §7. 不可导的函数举例 §8. 高阶导数与高阶微分 一、高阶导数及其运算法则 二、高阶微分 第五章 微分学的基本定理及其应用（20学时） 中值定理是微分学的基本定理。本章介绍三个中值定理，罗比塔法则，泰勒公式，函数的升降、凸性与极值，平面曲线的曲率 教学重点：（1）理解中值定理及几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，能应用中值定理证明某些有关的命题；（2）掌握常用初等函数的泰勒公式，会进行近似计算并估计误差；（3）掌握函数的升降、凸性与极值的判定方法，求解函数作图及实际应用问题；（5）熟练应用罗比塔法则计算极限。 §1. 中值定理 一、费尔马（Format）定理 二、拉格朗日（Lagrange）定理 §2. 泰勒公式 一、利用导数作近似计算 二、泰勒（Taylor）公式 §3. 函数的升降、凸性与极值 一、函数的上升与下降 二、函数的极大值与极小值 三、函数的最大值与最小值 四、函数的凸性 §4. 平面曲线的曲率 一、曲线的曲率 二、弧长的微分 三、曲率的计算 §5. 待定型 一、0/0待定型 二、其他待定型 *§6. 方程的近似解 第六章 不定积分（10学时） 积分法是微分法的逆运算。本章讲的是不定积分的概念与运算法则，不定积分换元法和分部积分法，求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。教学重点：（1）理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意义；（2）掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；（3）熟练掌握换元积分法，分部积分法并能解决求积问题；（4）掌握特殊类型的初等函数的积分。如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。 §1. 不定积分的概念及运算法则 一、不定积分的定义 二、不定积分的基本公式 三、不定积分的运算法则 §2. 不定积分的计算 一、“凑”微分法 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数积分法 五、其他类型的积分举例 第七章 定积分(20学时) 本章介绍定积分概念、可积条件，定积分的性质及计算方法；介绍微积分学理论中最重要的成果—微积分基本定理。教学重点：（1）理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。（2）掌握可积函数类。（3）掌握定积分的第一中值定理及牛顿－莱布尼兹公式。（4）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 §1. 定积分概念 §2. 定积分存在条件 一、积分存在的充分必要条件 二、 可积函数类 §3. 定积分的性质 §4. 定积分计算 一、定积分计算的基本公式 二、定积分的换元公式 三、定积分的分部积分公式 四、杂例 *五、椭圆积分 第八章 定积分的应用和近似计算（8 学时） 本章介绍定积分的几个重要应用---求面积，体积，弧长，曲率，压力，功及中心等；并介绍解决实际问题的基本思路。教学重点：（1）掌握定积分的几何应用---平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面已知的立体体积；（2）物理应用---质量、功、引力、压力。 §1. 平面图形面积 §2. 曲线的弧长 §3. 体积 §4. 旋转曲面的面积 §5. 质心 §6. 平均值、功 一、平均值 二、功 第九章 数项级数（24学时） 本章介绍上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。教学重点：（1）理解上极限与下极限的概念及其性质，会求上、下极限；（2）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（3）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（4）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。 §1. 上极限与下极限 §2. 级数的收敛性及基本性质 §3. 正项级数 §4. 任意项级数 一、绝对收敛级数 二、交错级数 三、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 §5. 绝对收敛级和条件收敛级数的性质 *§6. 无穷乘积 第十章 广义积分（10学时） 本章介绍了无穷限广义积分和无界函数的广义积分概念、性质、判别法则等。教学重点：（1）理解广义积分概念，了解无穷限广义积分和数项级数的关系，掌握比较判别法和柯西判别法；（2）理解无界函数的广义积分概念、性质、判别法则；（3）熟练计算广义积分。 §1. 无穷限的广义积分 一、无穷限广义积分的概念 二、无穷限广义积分和数项级数的关系 三、无穷限广义积分的收敛性判别法 *四、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 §2. 无界函数的广义积分 一、无界函数的广义积分 *二、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 第十一章 函数项级数、幂级数（24学时） 本章介绍函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性；幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开。 教学重点：（1）理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；（2）掌握并应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法；（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；（4）掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求幂级数收敛半径，可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和；（5）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开；（6）了解Weierstrass第一逼近定理。 §1. 函数项级数的一致收敛性 一、函数项级数的概念 二、一致收敛的定义 三、一致收敛级数的性质 四、一致收敛级数的判别法 §2. 幂级数 一、收敛半径 二、幂级数的性质 三、函数的幂级数展开 §3. 逼近定理 第十二章 Fourier级数和Fourier变换（12学时） 本章介绍Fourier级数的来历；Dirichlet积分的定义及应用；Riemann引理及其推论及应用；Dini判别法及其推论，Dirichlet-Jordan判别法；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开；Fourier级数的分析性质：逐项积分和逐项微分定理。Fourier变换及其逆变换的形式及应用；Fourier变换的性质及其在理论分析和实际计算中的应用。教学重点：（1）熟练掌握函数的Fourier级数展开；（2）综合分析Fourier级数的敛散性；（3）理解并利用Fourier级数的分析性质；（4）初步了解Fourier变换及其性质。 §1. Fourier级数 一、富里埃级数的引进 二、三角函数系的正交性 三、富里埃系数 四、狄立克莱积分 五、黎曼引理 六、狄尼判别法 *七、狄立克莱-约当判别法 八、富里埃级数的一致收敛性 九、函数的富里埃级数展开 十、周期为T的函数的展开 十一、富里埃级数的复数形式 *十二、富里埃级数的逐项求积和逐项求导 §2. Fourier变换 一、富里埃变换的概念 二、富里埃变换的一些性质 第十三章 多元函数的极限与连续 （8 学时） 本章介绍了平面点集理论，多元函数的极限和连续，有界闭区域上连续函数的性质。教学重点：（1）理解多元函数及其极限的概念；（2）了解二元函数的极限概念，二重极限和二次极限的关系和计算；（3）掌握二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。 §1. 平面点集 一、域、点列的极限 二、开集、闭集、区域 三、平面点集的几个基本定理 §2. 多元函数的极限和连续性 一、多元函数的概念 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性 四、有界闭区域上连续函数的性质 五、二重极限和二次极限 第十四章 偏导数和全微分（14 学时） 本章介绍了偏导数和全微分的概念、运算、性质、求导方法和几何应用，介绍了二元函数的泰勒公式。教学重点：（1）理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分条件。（2）掌握复合函数的偏导数的计算。（3）理解Jacobi行列式，会求隐函数（包括方程组所确定的隐函数）的偏导数。（4）理解曲线的切线向量的定义，会求曲线的切线和法平面方程。理解曲面的法线向量的定义，会求曲面的切平面和法线的方程。（5）理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。（6）掌握二元函数的泰勒公式。 §1. 偏导数和全微分的计算 一、偏导数的定义 二、全微分的定义 三、高阶偏导数与高阶全微分 §2. 求复合函数偏导数的链式法则 §3. 由方程（组）所确定的函数的求导法 一、一个方程F(x,y,z)=0 的情形 二、方程组的情形 §4. 空间曲线的切线与法平面 §5. 曲面的切平面与法线 §6. 方向导数和梯度 一、方向导数 二、梯度 §7. 泰勒公式 第十五章 极值和条件极（ 6 学时） 本章介绍了多元函数极值和条件极值的概念；极值必要条件、充分条件：求条件极值的拉格朗日乘法。教学重点：（1）理解多元函数极值和条件极值的概念。（2）掌握极值必要条件、充分条件。（3）掌握求条件极值的拉格朗日乘法。4.会求多元函数极值，最值，并会解决一些简单应用问题。 §1. 极值和最小二乘法 一、极值 二、最小二乘法 §2. 条件极值 第十六章 隐函数存在定理、函数相关(6学时) 本章介绍隐函数的概念，隐函数存在定理的各种表述，隐函数存在的判别法。教学重点：（1）理解并掌握隐函数存在定理；（2）了解隐函数存在定理的各种表述。 §1. 隐函数存在定理 一、F(x,y)=0情形 二、多变量及方程组情形 *§2. 函数行列式的性质、函数相关 第十七章 含参变量积分（6学时） 本章介绍了含参变量的积分的定义；含参变量的积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的积分的计算。教学重点：（1）理解含参变量积分的概念；（2）掌握含参变量积分的存在性、连续性、可积性的条件，会计算含参变量的积分。 第十八章 含参变量的广义积分（8学时） 本章介绍含参变量的广义积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理。Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系；关于Gamma函数的Legendre公式、余元公式和Stirling公式。教学重点:（1）理解含参变量广义积分一致收敛的定义；（2）掌握魏氏判别法；（3）掌握一致收敛积分的性质；（4）了解欧拉积分的初步性质。 一、一致收敛的定义 二、一致收敛积分的判别法 三、一致收敛积分的性质 四、欧拉积分 *五、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法 第十九章 积分的定义和性质（ 4 学时） 本章介绍了二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念和性质。教学重点：理解各种积分的定义及性质。 §1. 二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分的概念 §2. 积分的性质 第二十章 重积分的计算及应用（ 12 学时） 本章主要讲述了二重、三重积分的计算及应用，并介绍广义重积分的概念。教学重点：（1）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会作一般变量变换计算二重积分；（2）三重掌握积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）的计算方法；（3）应用重积分求一些几何量与物理量（面积、体积、质心、矩、引力等）。 §1. 二重积分的计算 一、化二重积分为二次积分 二、用极坐标计算二重积分 三、二重积分的一般变量替换 §2. 三重积分的计算 一、三重积分为三次积分 二、三重积分的变量替换 §3. 积分在物理上的应用 一、质心 二、矩 三、引力 §4. 广义重积分 第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算（ 12学时） 本章主要讲述曲线积分和曲面积分的概念和计算。教学重点：（1）理解两类曲线积分的概念，掌握两类曲线积分的计算公式，了解它们之间联系；（2）理解第一类曲面积分概念，掌握计算公式（直角坐标、参数式），会求曲面面积；（3）理解第二类曲面积分的概念，掌握计算公式（直角坐标）。 §1. 第一类曲线积分的计算 §2. 第一类曲面积分的计算 一、曲面的面积 二、化第一类曲面积分为二重积分 §3. 第二类曲线积分 一、变力作功与第二类曲线积分的定义 二、第二类曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系 §4. 第二类曲面积分 一、曲面的侧的概念 二、第二类曲面积分的定义 三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步（ 14 学时） 本章主要讲述曲线积分与曲面积分之间的联系，曲线积分和路径的无关性及场论初步。教学重点：（1）掌握各型积分之间的关系，曲线积分与路径无关的条件；（2）了解梯度、散度、旋度的概念及其物理意义。 §1. 各种积分间的联系 一、格林(Green)公式 二、高斯(Gauss)公式 三、斯托克司(Stokes)公式 §2. 曲线积分和路径的无关性 §3. 场论初步 一、场的概念 二、向量场的散度与旋度 *三、保守场 *四、算子▽ 四． 考核方法 闭卷笔试，教考分离。考试成绩由平时作业、期中和期末考试成绩组成。平时作业：10%，期中考试：20%，期末考试：70%。 五． 教科书和参考书 （一） 教科书 选用教材：《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系编，高等教育出版社，1983年第二版。 （二）参考书 《数学分析》（上、下册），陈传璋等编著，高等教育出版社，1985，教材。 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社。 数学分析中的问题和反例，汪林，云南科学出版社。 数学分析讲义练习题解，刘玉琏，刘伟等编著，高等教育出版社。 数学分析问题研究与评注，汪林等编著，科学出版社。 W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis （Second edition）， Mc Graw-Hill ， New York， 1964。 《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，1991。