第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 §1. 各种积分间的联系 应用格林公式计算下列积分： (1) ，其中为椭圆，取正向； (2) ，同(1)； (3) ，是顶点为的三角形的边界，取正向； (4) ，为，取正向； (5) ，为矩形的边界，取正向； (6) ，其中是任意逐段光滑闭曲线． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： 双纽线 ； 笛卡儿叶形线  ()； ． 利用高斯公式求下列积分： (1) ，其中 (a) 为立方体的边界曲面外侧； (b) 为锥面，下侧． (2) ，其中是单位球面的外侧； 设是上半球面的上侧，求 (a) ， (b) ； (4) ，是 的外侧． 用斯托克斯公式计算下列积分： (1) ，其中 (a) 为圆周，方向是逆时针， (b) 为所交的椭圆，从轴正向看去，按逆时针方向； (2) ，是从经至回到的三角形； (3) ，其中 (a) 为与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则， (b) 是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则； (4) ，是，从轴正向看去圆周是逆时针方向． 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，证明 ， 其中是的外法线方向． 设是封闭曲面，为任意固定方向，证明 ． 求，为包围有界区域的光滑闭曲线，为的外法向． 证明高斯积分 ， 其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向．又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于． 计算高斯积分 ， 其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点处的外法向，．试对下列两种情形进行讨论： 曲面包围的区域不含点； 曲面包围的区域含点． 求证： ， 其中是包围的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向．,．分下列两种情形精心讨论： (1) 中不含原点（0，0，0）； (2) 中含原点（0，0，0）时，令 ， 其中是以原点为心，以为半径的球． 利用高斯公式变换以下积分： (1) ； (2) ， 其中，，是曲面的外法线方向余弦． 设是具有二阶连续偏导数的函数，并设 ． 证明： (1) ； (2) ； (3) ． 其中为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线的方向导数． 设是的边界曲面，证明： (1) ； (2) ． 式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，为沿曲面的外法线的方向导数． 计算下列曲面积分： (1) ，其中是 下侧； (2) 是立体的边界面，而立体由和三坐标面围成； (3) ，其中是的外法向，为 上侧； (4) 是 后侧． 证明由曲面所包围的体积等于 ， 式中，，为曲面的外法线的方向余弦． 若是平面上的闭曲线，它所包围区域的面积为，求 ， 其中依正向进行． 设有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面，有 ． 证明． 设在全平面上有连续偏导数，而且以任意点为中心，以任意正数为半径的上半圆： ，恒有 ， 求证：． §2. 积分与路径无关 验证下列积分与路径无关，并求它们的值： (1) ； (2) 沿在右半平面的路径； (3) 沿不通过原点的路径； (4) ，式中是连续函数； (5) ，其中，为连续函数； (6) ； (7) ； (8) ，其中，在球面上． 求下列全微分的原函数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 函数应满足什么条件才能使微分式是全微分． 验证  适合条件，其中，，为常数，． 求奇点的循环常数． 求，其中是不经过原点的简单闭曲线，取正向． 设围成的区域为． (1) 不包含原点； (2) 包含原点在其内部． 求 ， 其中是不经过和点的简单闭曲线． 设在单连通区域上有二阶连续偏导数，证明在内有 的充要条件是对内任一简单光滑闭曲线，都有 ， 其中为沿外法线的方向导数． 计算积分 ， 其中是从点到的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是 ． 计算积分 ， 其中是被积函数的定义域内从点至的逐段光滑曲线． §3. 场论初步 求在点(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)的梯度，并求梯度为零的点． 计算下列向量场的散度和旋度： (1) ； (2) ； (3) ． 证明是有势场并求势函数． 设． (1) 计算，其中是螺旋线； (2) 设，求； (3) 在什么条件下为有势场，并求势函数． 设为可微函数，，求，，． 求向量场沿曲线的环流量： (1) 为平面上的圆周，，逆时针方向； (2) 为平面上的圆周，，逆时针方向； (3) 为平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域的面积为．证明沿的环流量为2． (4) 设有一平面，取为上侧，上有一逐段光滑简单闭曲线，其方向关于为正向． 围成的平面区域的面积为，问沿的环流量是什么？ 求向量场沿曲线的环流量： (1) 不环绕轴； (2) 环绕轴一圈； (3) 环绕轴圈． 设向量场在除原点(0,0,0)外有连续的偏导数，在球面上的长度保持一固定值，的方向与矢径相同，而且的散度恒为零，证明此向量场为（是常数）． 设有一数量场，除(0,0,0)点外有连续偏导数，其等值面是以原点为中心的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场与 () 仅差一个常数，其中为某固定常数． 设是空间开区域，在上有二阶连续偏导数．证明在内调和的充要条件是对内任意简单分片光滑曲面，都有 ．