第十三章 多元函数的极限与连续 §1. 平面点集 设是平面点列，是平面上的点. 证明的充要条件是，且. 设平面点列收敛，证明有界. 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 设是闭集，是开集，证明是闭集，是开集. 证明开集的余集是闭集. 设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足且. 用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 用致密性定理证明柯西收敛原理. 设是平面点集，如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集. 证明紧集是有界闭集. 设是平面上的有界闭集，是的直径，即 . 求证：存在 ，使得. 仿照平面点集，叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等). §2. 多元函数的极限和连续性 叙述下列定义： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 求下列极限（包括非正常极限）： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) ； (13) ； (14) . 讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) . 叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 叙述并证明存在的柯西收敛准则. 试作出函数，使当时， (1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 讨论下列函数的连续范围： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)  (6)  (7) ； (8)  (9) . 若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意和，有 ， 其中为常数，求证在内连续. 证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 设二元函数在全平面上连续，，求证： (1) 在全平面有界； (2) 在全平面一致连续. 证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数. 证明：若是有界闭域，是上的连续函数，则是闭区间.