第十一章 函数项级数、幂级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ , ⑵  i)  ii)  ⑶   ⑷  i)  ii)  ⑸  i)  ii)  ⑹   ⑺  i)  ii)  iii)  ⑻   ⑼   ⑽   ⑾   ⑿  i)  ii)  设定义于，令  . 求证：在上一致收敛于. 参数取什么值时，   在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？ 证明序列在闭区间上收敛，但  设是上的连续函数列，且在一致收敛于；又，满足，求证  按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵ . 设在上有界，并且在上一致收敛，求证：在上一致有界. 设在内有连续的导数，且  求证：在闭区间上，一致收敛于. 设在上黎曼可积，定义函数序列   求证：在上一致收敛于零. 设在内一致收敛于，且  . 证明：和存在且相等，即 . 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  ⑼  ⑽  ⑾  讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛. 证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛. 若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛. §2. 幂级数 求下列各幂级数的收敛域. ⑴  ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹  ⑺  ⑻  ⑼  ⑽  ⑾  ⑿  ⒀  ⒁  ⒂  ⒃  设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 设︱︱≤M ，求证：当0＜＜时，有 ⑴ 收敛； ⑵ . 设当︱︱＜时收敛，那么当收敛时有 ， 不论当时是否收敛. 利用上题证明. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; ⑸ ; ⑹ ; ⑺ ; ⑻ ; ⑼ ; ⑽ . 求下列级数的和： ⑴ ; ⑵ . 证明： ⑴ 满足方程； ⑵ 满足方程. 设是幂级数在上的和函数，若为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项. 设. ⑴ 求证：在连续，在内连续； ⑵ 求证：在点可导； ⑶ 求证：； ⑷ 求证：在点不可导. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴ ; ⑵  ⑶  ⑷ ; ⑸ ; ⑹  ⑺ ; ⑻  ⑼  ⑽ ; ⑾  ⑿  ⒀  ⒁  利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： ⑴  ⑵ ; ⑶  将下列函数在指定点展开为泰勒级数： ⑴  ⑵  ⑶ ; ⑷  试将展开成的幂级数. 展开为的幂级数，并推出 设函数在区间内的各阶导数一致有界，即存在＞0，对一切，有 , 证明：对内任意点与，有