第五章 微分学的基本定理及其应用 §1. 中值定理 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） （2）等号成立当且仅当； （3） （4） （5） 设为正整数，，则存在，使. 设函数在点具有连续的二阶导数，证明  函数在可导，其中，证明：存在，使得  证明：（1）方程（是常数）在区间内不可能有两个不同的实根； （2）方程（为正整数，为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根. 设可导，求证：在两零点之间一定有的零点. 若在可导，且，为介于和之间的任一实数，则至少存在一点，使. 若函数，和在连续，在可导，证明存在，使得 . 设函数在内可导，且单调，证明在连续. 设在上可导，且。求证：存在，使。 求证：. 设，求证：任意，有  设在连续，. （1）若存在，使，则在上达到最大值； （2）如果存在，使，能否断言在上达到最大值？ 设在连续，且，证明：在上取到它的最小值. 设在有界，存在，且.求证. 对函数在上应用拉格朗日中值定理有  试证对下列函数有： （1） （2） §2. 泰勒公式 写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； 求下列函数在的泰勒展开式： (1) ； (2) ； (3) ； 利用泰勒公式求极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； 设在原点的邻域二次可导，且  (1) ； (2) ； 确定常数，，使时， (1) 为的5阶无穷小； (2) 为的3阶无穷小； 写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 求证： (1) ； (2) e是无理数； 设在上有二阶导数，且，则存在，使  设在a点附近二次可导，且，由微分中值定理：  求证： 设在实轴上任意次可导，令，求证： . 证明：若函数在区间上恒有，则在内任意两点，都有 . 设为一n次多项式， (1) 皆为正数，证明在上无根； (2) 正负号相间，证明在上无根. §3. 函数的升降、凸性与极值 确定下列函数的单调区间： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 求下列函数的极值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 证明：若函数在点处有，则为的极大值点. 设，在实轴上连续可微，且  求证：的两实根之间一定有的根. 应用函数的单调性证明下列不等式： （1） （2） （3） （4） （5） 确定下列函数的凸性区间与拐点： （1） （2） （3） （4） 设 （1）证明：是函数的极小值点； （2）说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时在和是取得极大值还是极小值； (1) 求函数在上的极值； (2) 求方程有两个正实根的条件. 问，为何值时，点为曲线的拐点？ 证明曲线有位于同一直线上的三个拐点. .设为区间上严格上凸函数，证明：若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点. 作出下列函数的图形： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）. 证明： (1) 若为下凸函数，为非负实数，则为下凸函数； (2) 若、均为下凸函数，则为下凸函数； (3) 若为区间上的下凸函数，为上的下凸递增函数，，则为上的下凸函数. 给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 如何选择参数，方能使曲线  在（为给定的常数）处有拐点. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 （1） （2） （3） （4） （5） 点到抛物线最短距离. 设炮口的仰角为，炮弹的初速为，炮口取作原点，发炮时间取作，不计空气阻力时，炮弹的运动方程为：  若初速不变，问如何调整炮口的仰角，使炮弹射程最远. §4. 平面曲线的曲率 求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线 (2) 双曲线 星形线 求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线  (2) 双纽线  对数螺线  设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处曲率为  求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) 在点(2，2)； (2) 在点(1，0)． 证明抛物线在顶点处的曲率半径为最小． 求曲线的最小曲率半径． 求曲线上曲率最大的点． 求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线 (2) 椭圆 (3) 圆的渐开线 §5. 待定型 1. 求下列待定型的极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） 2. 下列函数不能用洛必达法则求极限： （1） （2） （3） （4） §6. 方程的近似解 1. 求方程的正根，使误差不超过. 2. 求在中的根，使误差不超过.