第十二章 福里埃级数和福里埃变换 §1. 福里埃级数 将下列函数展成福里埃级数，并讨论收敛性： (1) ； (2) ； 由展开式 ， (1) 用逐项积分法求，，在中的福里埃展开式； (2) 求级数，的和. (1) 在 内，求的福里埃展开式； (2) 求级数的和. 设在上逐段可微，且. ，为的福里埃系数，，是的导函数的福里埃系数，证明： ，， . 证明：若三角级数  中的系数，满足关系 ， M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数. 设，求证： . 设以为周期，在上单调递减，且有界，求证：. 设以为周期，在上导数单调上升有界. 求证：. 证明：若在点满足阶的利普希茨条件，则在点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 设是以为周期，在连续，它的福里埃级数在点收敛. 求证： . 设是以为周期、连续，其福里埃系数全为0，则. 设是以为周期，在绝对可积. 又设满足  存在. 证明. 进一步，若在点连续，则，其中 . 求下列周期为的函数的福里埃级数： (1) 三角多项式； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 设以为周期，在绝对可积，证明： (1) 如果函数在满足，则 ； (2) 如果函数在满足，则 . §2. 福里埃变换 证明 (1) ，，， ，是上的正交系； (2) ，，， ，是上的正交系； 1，，，，，是上的正交系； 1，，，， ，不是上的正交系；