第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算 §1. 第一类曲线积分的计算 计算下列第一型曲线积分： (1) ，其中是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) ，其中是圆周； (3) ，其中为螺线； (4) ，其中与(3)相同； (5) ，其中为内摆线； (6) ，其中为摆线的一拱； (7) ，其中为球面与平面的交线； (8) ，其中同(7)； (9) ，其中是曲线； (10) ，其中是与相交的圆周． 设曲线的方程为  ， 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量． 若曲线以极坐标给出：，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分： (1) ，其中是曲线； (2) ，其中是对数螺线在圆内的部分． 求螺线的一支：对轴的转动惯量．设此螺线的线密度是均匀的． 求抛物面壳，的质量．设此壳的密度． §2. 第一类曲面积分的计算 计算下列第一型曲面积分： (1) ，其中是立体的边界曲面； (2) ，其中为柱面被平面和所截取的部分； (3) ，其中为曲面被割下的部分； (4) ，其中为螺旋面的一部分：  ； (5) ，是球面． 计算，其中是一平面，而 . §3. 第二类曲线积分 计算下列第二型曲线积分： (1) ，其中为摆线沿 增加的方向； (2) ，其中为圆周依逆时针方向； (3) ，其中为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4) ，为从(1,1)到(-1,1)； (5) ，为曲线从(1,1,0)到； (6) ，为以为顶点的正方形沿逆时针方向． 计算曲线积分 ． (1) 为球面三角形，的边界线，从球的外测看去，的方向为逆时针方向； (2) 是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向． 求闭曲线上的第二型曲线积分 ， (1) 为圆，逆时针方向； (2) 为椭圆，顺时针方向； (3) 为以(0,0)为中心，边长为，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向； (4) 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向． 求力场对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线从点运动到点： (1) ，为平面曲线，； (2) ，为平面曲线，； (3) ，的矢量形式为，； (4) ，的参数式为（为正数），． 设在上连续，为光滑弧段，弧长为，证明： ． 其中． 设光滑闭曲线在光滑曲面上，的方程为，曲线在平面上的投影曲线为，函数在上连续，证明： ． 计算，其中：与相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限． §4. 第二类曲面积分 计算下列第二型曲面积分： (1) ，其中为， 六个平面所围的正立方体的外测； (2) ，其中是以原点为中心，边长为2的正立方体表面的外测； (3) ，为的上半部分的上测； (4) ，为柱面被平面及所截部分的外测； (5) ，是由平面和所围的四面体表面的外测； (6) ，为球面的外测； (7) ，是球面的外测． 设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量． 设流体的流速为，求穿过柱面外测的流量．