第五章 微分中值定理及其应用
§1 微分中值定理
引言
在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。
一 费马定理
定义1（极值） 若函数f在区间上有定义，。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极大值，称点为极大值点。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极小值，称点为极小值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
极值存在的必要条件――费马定理
费马定理 若函数在点的邻域内有定义，且在点可导。若为f的极值点，则比有。
几何意义：可导极值点的切线平行于轴。
由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。如,点x=0是稳定点，但不是极值点。
二 中值定理
Lagrange定理 若函数f满足以下条件：（1）f在上连续；（2）f在)内可导。则在内至少存在一点，使得。
特别地，当时，有如下Rolle定理：
Rolle定理 若f满足如下条件：（1）在上连续；（2）在)内可导；（3），则存在，使得。
如把曲线弧用参数方程函数，则可得出以下中值定理：
Cauchy定理 若函数，满足如下条件：（1）（1）在上连续；（2）在内可导；（3）。在存在（1）在上连续；（2）在)内可导。使得。
说明
（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x[a,b]，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。
（2）三个定理关系如下：
（3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形发生。如y=sgnx，x[-1,1]不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=(b-a) ，(a,b)；（ⅱ）f(b)-f(a)=，0<<1；（ⅲ）f(a+h)-f(a)=，0<<1. 此处，中值公式对a<b，a>b均成立。此时在a，b之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。
三 中值定理的一些推论
1、Rolle定理的推论：若f在[，]上连续，在(，)内可导，，则存在，使得（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。
2、Lagrang定理的推论：
推论 若函数f在区间I上可导，且，，则f为I上的一个常量函数。
几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。
推论 若函数f和g均在I上可导，且，，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得。
例：设f，在连续可微，在（a,b）二阶可微，且，证明：在(a,b)中至少有一个根。
例：设，证明于（0, 2）中至少有一根。
例：证明：当a>b>0时，。
例：证明：，。
§2. 泰勒公式
一 利用导数作近似计算
1．近似计算
前已描述，如果在点可微，则当很小时，有，亦即，当时有
（用导数作近似计算公式）。
注：导数作近似计算公式常用于：直接计算比较困难，而在点附近一点处的函数值的导数却都比较容易求得。
例：求的近似值。
例：计算的近似值。
把用于具体函数，可得：，，，。
2．误差估计
实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。
一般地，如果一个量A的近似值为a，那么=|A-a|叫作绝对误差，而/a叫作相对误差。
一般地，对函数，若是由测量得到的，如果由计算时，有误差，则有绝对误差
和相对误差
。
例：测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。
二 泰勒公式
不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？
前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点可导，则有有限存在公式；
即在附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为。
然而，在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式：
易见：
，，，…，（多项式的系数由其各阶导数在的取值唯一确定）。
定理 若在点有直到阶连续导数，那么：
，
其中在与之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。
注：带有皮亚诺余项的泰勒公式
的余项称为皮亚诺余项。
常见的麦克劳林公式
（2）带Lagrange型余项的麦克劳林公式
，
，
，
，
，
，
例： 写出的Maclaurin公式，并求与。
例： 求在处的Taylor公式。
例：
例： （1）计算e的值，使其误差不超过；（2）证明e为无理数。
§3 函数的升降、凸性与极值
一 函数的上升与下降
定理1 设f(x)在区间上可导，则f(x)在上递增（减）.
注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。
例： 设，试讨论函数的单调区间。
（2）从实现充分性的证明中发现，若，即f严格递增（减），从而有如下推论：
推论 设函数在区间连续，在可微，若且不变号，则在上严格递增（减）。
（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。
例：证明等式：当时，
例：证明：当时，
例：已知，证明：至多只有一个根。
例：证明方程：只有一个根。
二 函数的极大值和极小值
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。
Fermat定理告诉我们：若函数在点可导，且为的极值点，则，即可导函数在点有极值的话，必有。进一步的问题是：如果在点不可导，它有没有可能在点取得极值呢？回答是肯定的，例如，在不可导，但在有极小值。
定理2 若是的极值点，那么或在点不可导。
把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？
定理2（极值判别法之一）设点连在续，在和内可导，那么
（1）若当时，；当时，，则为极小点；
（2）若当时，；当时，，则为极大点；
（3）若在和内不等号，则点不是极值点。
若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法：
定理3（极值判别法之二） 设，（1）若，则是极大值；（2）若，则是极小值。
例：求的单调区间、极值点和极值。
例：求的极值点与极值。
例：试求函数的极值。
三 函数的最大值与最小值
若在连续，则在上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了理论保证，问题是如何求出最大、小值呢？函数在上最大（小）值可能在或取得，也可能在内取到，若在内取得，则最大（小）值点一定是极大（小）值点。于是，为求f在 ]上的最大（小）值，可按以下步骤进行：
（1）求出在内的点，和在内不可导的点，并求出相应的函数值；
（2）计算，；
（3）把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。
例：求函数在上的最大值与最小值。
例：剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？
四 函数的凸性
引言
上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系。
什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数所表示的曲线是向上凸的，而所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的。或更准确地说：从几何上看，若y＝f(x)的图形在区间I上是下凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是上凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。从而有以下定义：
定义1 设函数在连续，若对上任意两点、和任意实数总有，则称f为上的下凸函数。反之，如果总有，则称f为I上的上凸函数。
定义2 设曲线在点()的一边为上凸，一边为下凸，则称 ()为曲线的拐点。
注：若()是曲线的一个拐点，在点的导数不一定存在，如在的情形。
定理4（凸函数与二阶导数的关系） 设在二阶可导，则
若在内，则在为上凸；
若在内，则在为下凸。
定理5（拐点必要条件） 若()为拐点，则要么（1）；要么（2）f在点不可导。
3、应用
例：（1）讨论函数的下凸和上凸区间，并求拐点。
例：证明不等式，其中a，b，c均为正数。
§4 平面曲线的曲率
一 什么是曲线的曲率
曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长有关，并且曲率与成正比，与成反比。即一般曲线的弯曲程度可用，其中：曲线段的平均变化率；：曲线段上切线方向变化的角度；：曲线段的弧长。
定义1 称极限
为曲线在点的曲率。称为曲线在点的曲率半径。
二、弧长的微分
若弧的方程为，在连续，则；
若弧的方程为，则
若弧的方程为，则
。
三 曲率的计算
设曲线的方程为，二阶可微，则在点处的曲率
因为，，所以，又因为，所以
。
例：求在任一点的曲率。
过点（且与在该点有相同的一阶及二阶导数的圆称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。
例：求在点（0,0）的曲率和曲率半径。
§5. 待定型
一 及待定型
1、什么是不定式极限
在求极限时，若分子和分母的极限都趋于0，则把这种类型的极限称为“”型的不定式极限。
除了型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：（ⅰ）型；（ⅱ）型；（ⅲ）型；（ⅳ）型；（ⅴ）型；（ⅵ），型等，其中最基本的是型和型，其它类型都可化成这两种基本类型来解决。
2、不定式极限的计算（洛必达法则）
定理1 若函数和满足：（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则
。
注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）是分子，分母分别求导时极限和不同，更不能认为是。
例：。
例：。
3、型极限（洛必达法则）
定理2 （1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3），则
。
注 （1）将改为时，上述结论都对；（2）如果，，，满足条件，则可再次使用该法则。
例：。
例：。
使用型和型求极限的L’Hospital法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用L’Hospital法则来求解，必须是型和型才可以；（2）、若不存在，就不能用，但这不意味着不存在；（3）、可以使用L’Hospital法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方法；（4）、只有当比简单时，用L’Hospital法则才有价值，否则另找方法，故L’Hospital法则不是“万能工具”。
二 其它待定型
如型、型、型、型、型、型、型等，经过变换，它们一般均可以化为型和型的极限。
例：。
例：。
例：（k为常数）。
例：。
例：。
例：设，已知，，试求。
用L’Hospital法则求数列极限，应注意什么？
例：。
§6方程的近似解
引言
在实际应用中，常求方程的解，方程求解的方法主要有两种：解析法和数值法。但有些方程精确解难以求出，从而转为求它的近似解。
1、Newton切线法的基本思想
构造一个收敛的数列，是其极限恰好是方程f(x)=0的根，因此，当n充分大时，可作为近似值，那么如何构造？设在闭区间连续，在和中，取或与同号的那个点开始，令之为。令
。
例：求方程的正根，使误差不超过0.0001。
