内容提要
1.汇交力系合成与平衡的几何法
2.力在坐标轴上的投影
3.汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
2
汇交力系,平面汇交力系 ; 空间汇交力系,
作用在刚体上的汇交力系是共点力系,
汇交力系的合成与平衡：
几何法 和 解析法,
几何法,
?
?
?
n
i
iFR
1
1、合成,
力多边形法则 (连续应用力三角形法则）
合力 R的作用线过汇交点
一,汇交力系合成与平衡的几何法
3
F1
F2
F3
F4 F1
F2
F3
F4
R
F1
F2
F3 F
4
R
选定比例尺
测出 R长度及
与水平线夹角
（只适于平面汇交力系）
?
4
（ 2）平衡：
汇交力系平衡的必要和充分条件是汇
交力系的合力等于零
?
?
?
n
i
iFR
1
= 0
平衡的 几何条件,力多边形自行封闭
平衡
F1
F2
F3F4
F1
F2 F3
F4
封闭力多边形
5
二、力在坐标轴上的投影,
1、力在一个轴上的投影,F
xa bFx
(Fx为代数量 )
例,F1=F2=F3=F4=100N,求各力在 x轴上的投影。
F130
F2
45
F3
F4
X
F1X =100sin30
F2X = -100cos45
F3X = 0
F4X = -100
?
?
Fx =Fcos =Fsin? ?
6
2、力在平面上的投影,F
a bFxy
Fxy 是矢量
3、力在空间直角坐标轴上的投影：
（ 1）直接投影法：
O
F
x
y
z
Fx Fy
Fz
xo
y ?
?
?
?Fx=Fcos
Fy=Fcos
Fz=Fcos
?
?
?
其大小,Fxy=Fcos?
a
D
b
c
7
（ 2）二次投影法
O
F
y
z
Fx Fy
Fz
Fxy
解, Fxy= Fx +Fy2 2 = … = 10N
Fz=Fcos =Fsin? ?
Fxy=Fsin =Fcos? ?
?Fx=Fcos cos?
Fy=Fcos sin? ?
x
例,Fx=8N,Fy=6N,=45.求 F的大小及 Fz.?
Fxy=Fcos ?
F=Fxy/cos = … = 14.14N?
Fz=Fsin = … = 10N?
?
?
?
8
O
F
x
y
z
Fx Fy
Fz
Fxy
3、投影与分力关系
i
j
k
F=Fx+Fy+Fz
Fx=Fxi
Fy=Fyj
Fz=Fzk
F=Fxi+Fyj+Fzk
* 若已知三个投影 Fx,Fy,Fz,则可求出力 F的大小和方向
F= Fx 2 +Fy2 +Fz2
cos(F,i)=Fx/F cos(F,j)=Fy/F; ; cos(F,k)=Fz/F
设 i,j,k
为 x,y,z三
个坐标轴的
单位矢量
9
三、汇交力系合成与平衡的解析法
1、合成
O
x
y
z
F1
F2
Fi
Fn
R
R=Rxi+Ryj+Rzk
Fi=Fixi+Fiyj+Fizk
由 R=?Fi
得 Rxi+Ryj+Rzk = ?(Fixi+Fiyj+Fizk)
=( ?Fx)i+(?Fy)j+(?Fz)k
合力投影定理,合力在某一
轴上的投影等于各分力在同
一个轴上投影的代数和
所以,Rx= ?Fx
Ry= ?Fy
Rz= ?Fz
10
* 由合力的投影，可求出合力的大小和方向
R= Rx2 +Ry2 +Rz2
cos(R,i)=Rx/R ; cos(R,j)=Ry/R ; cos(Rz,k)=Rz/R
* 若平面汇交力系，立 xoy坐标系，则
xo
y
Rx
Ry R
?
Rx=?Fx
Ry=?Fy
R= Rx2 +Ry2
tan Ry/Rx=?
象限,由 RX,Ry 的正、负定 。
（ 2－ 6）
11
例,F1=10KN,F2=20KN,F3=25KN。求：合力 R
解（解析法）：
几何法, 10KN1cm
测量合力 R的大小和方向
F1 F2
F3
R
R= 4.4 10=44KN
=F1cos 30 +F2+F3cos 60
= … = 41.16KN
?FxRx =
Ry = ?Fy = - F1sin30 +F3sin60
= … = 16.65KN
30o x
y
F1
F2
F3
60
R
?
R = Rx +Ry2 2 = … = 44.4KN
tan = Ry/Rx =21.8? ? ?
=22?
12
2.平衡的解析条件 (平衡方程 )
?? Fx = 0
?? Fy = 0
?? Fz = 0
若为 平面力系,则平衡方程：
?? Fx = 0
?? Fy = 0
* 空间平衡汇交力系，最多能解三个未知量
平面平衡汇交力系，最多能解两个未知量
（ 2－ 7）
13
例, 如图所示的平面刚架 ABCD,自重不计,在 B点
作用一水平力 P,设 P = 20kN.求支座 A和 D的约束
反力,
P
A D
B C
2m
4m
14
解,取平面钢架 ABCD为
研究对象 画受力图
P
A D
B C
RD
RA
?
平面刚架 ABCD三点
受力,C为汇交点,
RD
?
C
P
RA
tg? = 0.5
? Fx = 0 P +RA cos? = 0
RA = - 22.36 kN
? Fy = 0 RA sin? +RD = 0
RD =10 kN
列平衡方程,
立 xcy.
x
y
例题
15
例,挂物架,W=20KN.求 AB,AC杆的受力
AB
C
W
30
解,(解析法 )
（ 1）研究对象：销钉 A
（ 2）受力如图 A
WFc
FB
（ 3）立 xAy x
y
（ 4）列平衡方程：
?Fy=0,-W-FCcos30 =0
FC=-W/cos30 = … = -23.1KN（压力）
?Fx=0,-FB-Fc sin30 =0
FB=-Fcsin30 = … =11.6KN （拉力）
（几何法）做封闭力多边形如图
W
Fc
FB
FC=W/cos30 =23.1KN (压力 )
FB=Wtan30 =11.6KN (拉力 )
（或：测量）
16
解,(一 )物块 A,受力如图 (1).
(二 )物块 B,受力如图 (2).
力等值包括力值的正、负号也相同
例：增力机构 P,=10 。 求：夹紧力 Q。?
A
B
P
Q
?
Fy=0 -P + Fsin = 0?
F=P/sin?
Fy=0 Q F cos =0?
F=F=P/sin? A
P
F
FA
(1)
?
Q=Pcot =5.67P?
F B
Q
FB
(2)
?
17
例 题, 图示为简易起重机,杆 AB的 A端是球形支座, CB与 DB
为绳索,已知 CH = HD = BH,? = 30o,CBD平面与水平面的
夹角 ?HBI = 30o,且与杆 AB垂直,C点与 D点的连线平行于 y
轴,物块 G重 W=10kN.不计杆 AB及绳索的自重,求杆 AB及绳索
CB和 DB所受的力,
G
W A
B
C DH
I
?
18
解,取销钉 B和物块 G为研究对象,杆 AB为二力杆,
CB和 DB为柔绳约束,画受力图,立 Axyz.
G A
B
I
?
FDF
C H
x
y
z
W
F
450
300
450
19
写 出 力的解析表达式,
W = - 10k
FC= -FC sin45ocos30oi -FC cos45oj +FC sin45osin30ok
F = Fsin30oi + Fcos30ok
FD= -FD sin45ocos30oi +FD cos45oj +FD sin45osin30ok
? Fx = 0
Fsin30o -FC sin45ocos30o -FD sin45ocos30o = 0 (1)
? Fy = 0 -FC cos45o +FD cos45o = 0 (2)
? Fz = 0 - 10+Fcos30o+FC sin45osin30o
+FD sin45osin30o = 0 (3)
20
联 立 (1)---(3)式得,F = 8.660 kN
FC = FD = 3.535 kN
G
W A
B
C H
I
?
xy
z
F
FC FD
取杆 AB为 z 轴
D
21
写 出 力的解析表达式,
W = -10sin30ocos45oi -10sin30ocos45oj -10cos30ok
F= FkFC = FC jFD = FD i
? Fx = 0
FD -10sin30ocos45o = 0 FD = 3.535 kN
? Fy = 0
FC -10sin30ocos45o = 0 FC = 3.535 kN
? Fz = 0 F -10cos30o = 0
F = 8.660 kN
22
作 业
(P23)
?2--3; 2--4; 2--5
23
内容提要
1.力对点之矩
2.力偶及其性质
3.力偶系的合成与平衡
第三章 力矩和平面力偶系
24
空间一般力系,
平面一般力系,
F1
F2
F3
Fn
F1
F2
Fn
25
力对点的矩
力矩是用来量度力使物体产生转动效应的概念
● 力对点的矩的概念
作用于刚体的力 F对空间任意一点 O的力矩定义为
M0 (F) =r × F
式中 O点称为 矩心, r为矩心 O 引向力 F 的作
用点 A 的矢径，即 力对点的矩定义为矩心到该力
作用点的矢径与力矢的矢量积
26
MO(F )通常被看作为一个定位矢量，习惯
上总是将它的起点画在矩心 O 处，但这并不意
味着 O 就是 MO(F )的作用点。
27
力矩矢的三要素,
力矩矢的三要素为大小、方向和矩心
MO (F)的大小即它的模
|MO(F)|=|r × F |=F r sinθ=Fh
式中 θ 为 r 和 F 正方向间的夹角,h
为矩心到力作用线的垂直距离，常称为力
臂。 MO (F )的方向垂直于 r 和 F 所确定的
平面，指向由右手定则确定。
28
平面问题
平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即
力矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成了 代数量
MO(F) = ± Fh
矢量表达式
正负号通常规定为,
逆时针为正 顺时针为负
29
一、力对点之矩
（一）平面力系中力对点之矩
.o
F B
A
d
(O点：矩心 )
(垂直距离 d:力臂 )
Mo(F)= + Fd
平面力矩为代数量
大小,Fd
逆时针转动为正,反之为负,
Mo(F)= +2 OAB面积
例,F=50N,d=0.3m.求 F力对 O点之矩,
解,Mo(F)= Fd = … = 15Nm
* (1)当 F=0,或 d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零
(2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变
(3)力矩与矩心有关
30
（二）空间力系中力对点的矩
空间力对点的矩是矢量
O
x
y
z A
B
力矩矢是定位矢
力矩的三要素,力矩的大小 ;力矩平面的方位 ;
力矩在力矩平面内的转向,
d力矩的大小,
mo(F) =2?OAB面积 =Fd
力矩的方向,右手螺旋法则
mo(F) = r× F
mo(F)
r
F
31
二、力对轴的矩
z
o
d
a
b
A
BF
P Fxy
定义,力 F对于 z轴的矩等于此力在垂直于 z轴的平面上的
投影对于 z轴与此平面交点的矩,
Mz(F) = Mo(Fxy) = ± Fxyd
Mz(F)=± 2?oab面积
Mo(F) =2?OAB面积 =Fd
力对轴之矩是代数量。其正、
负号由右手螺旋法则
32
三,力偶及其性质
A
B
F
F′
d
1.力偶：
对物体产生纯转动效应
不是一对平衡力 ;
（力偶作用面；）
（ d 称为力偶臂）
也不能合成一个合力
2.力偶三要素：
(1)Fd,
(2)力偶作用面的方位,
(3)在力偶作用面内，力偶的转向
由大小相等,方向相反而不
共线的两个力组成的力系
33
力偶没有合力,因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡,力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡
3.力偶矩矢
A
B
F
F′
rBAd
M
在平面问题中则有,
M = ± Fd
M = rBA× F = rAB× F′
(平面问题中,力偶矩为代数量 )
4.力偶的性质
（ 1）力偶中的两个力在任一轴上投影
的代数和等于零
34
(2) 力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和
恒等于力偶矩矢,而与矩心的位置无关,
A
B
F
F′
rBAd
M
rB
rA
O
证明,在空间任取一点 o为矩心,
Mo(F,F′) = Mo(F) + Mo(F′)
= rBA× F
= (rB－ rA) × F
= rB × F + rA × F′
= M
唯有力偶矩确定，力偶对刚体的转动效应也就
唯一确定；力偶矩矢是自由矢量
在平面问题中，力矩力偶矩均为代数量，力偶中两力对
同平面任一点矩的代数和恒等于力偶矩与矩心的位置无关,
Mo(F,F?)= Mo(F) + Mo(F?) =M
35
在平面问题中，力矩力偶矩均为代
数量，力偶中两力对同平面任一点矩的
代数和恒等于力偶矩，而与矩心的位置
无关
Mo(F,F?)= Mo(F) + Mo(F?) =M
36
(3)力偶的等效条件, 力偶矩矢相等
三个推论,只要力偶矩矢保持不变：
推论 1.力偶可以从刚体的一个平面平移到另一个
平行的平面,不改变其对刚体的转动效应,
推论 2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会
改变它对刚体的转动效应,
推论 3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任
意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,
而不改变它对刚体的转动效应,
F
Fd =
= M
37
5.力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢分别为,
M1,M2,…,Mn,由于力偶矩矢是自由矢量,则 n 个力偶矩矢
组成一个汇交矢量系，合成结果是一个合矢量（合力偶矩
矢）；利用合矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡,
(1)力偶系的合成
Mx = ? Mix
My = ? Miy
Mz = ? Miz
对于平面力偶系则有, M = ? Mi（ 合力偶矩
等于各分力偶矩的代数和）
M = ? Mi
38
例,已知 M1=10Nm,M2= - 20Nm,M3= - 15Nm.
求,合力偶矩 M.
M1 M2
M3
解,M =∑ Mi=10 -20 -15= -25Nm (顺时针转动）
=
M
39
(2)力偶系的平衡
空间力偶系平衡的必要和充分条件是,
合力偶矩矢等于零。 即：力偶系中所有各
力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影
的代数和等于零,
? Mix = 0
? Miy = 0
? Miz = 0
对于平面力偶系则有, ? Mi = 0
空间平衡的力偶系最多能解三个未知量。
* 平面平衡的力偶系最多能解一个未知量。
40
例题,不计自重的杆 AB与 DC在 C处为光滑接触,它们分
别受力偶矩为 M1与 M2的力偶作用,转向如图,问 m1与 m2
的比值为多大,结构才能平衡?
60o 60oA
B
C
D
M1 M2
41
解,取杆 AB为研究对象画受力图
杆 AB只 受力偶的作用而平衡且 C
处为光滑面约束,则 A处约束反力的
方位可定,
A
B
C
M1
RA
RC? Mi = 0
RA = RC = R,AC = a
a R - M1 = 0
M1 = a R (1)
42
取杆 CD为研究对象,因 C点约束方
位已定,则 D点约束反力方
位亦可确定,画受力图,
60o 60o D
M2
B
C
A
RD
R C?
RD = RC? = R CD = a
? Mi = 0
- 0.5a R + M2 = 0
M2 = 0.5 a R (2)
联立 (1)(2)两式得,M1/M2=2
43
作 业,
P30页,3--1,3--3,
44
再 见
1.汇交力系合成与平衡的几何法
2.力在坐标轴上的投影
3.汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
2
汇交力系,平面汇交力系 ; 空间汇交力系,
作用在刚体上的汇交力系是共点力系,
汇交力系的合成与平衡：
几何法 和 解析法,
几何法,
?
?
?
n
i
iFR
1
1、合成,
力多边形法则 (连续应用力三角形法则）
合力 R的作用线过汇交点
一,汇交力系合成与平衡的几何法
3
F1
F2
F3
F4 F1
F2
F3
F4
R
F1
F2
F3 F
4
R
选定比例尺
测出 R长度及
与水平线夹角
（只适于平面汇交力系）
?
4
（ 2）平衡：
汇交力系平衡的必要和充分条件是汇
交力系的合力等于零
?
?
?
n
i
iFR
1
= 0
平衡的 几何条件,力多边形自行封闭
平衡
F1
F2
F3F4
F1
F2 F3
F4
封闭力多边形
5
二、力在坐标轴上的投影,
1、力在一个轴上的投影,F
xa bFx
(Fx为代数量 )
例,F1=F2=F3=F4=100N,求各力在 x轴上的投影。
F130
F2
45
F3
F4
X
F1X =100sin30
F2X = -100cos45
F3X = 0
F4X = -100
?
?
Fx =Fcos =Fsin? ?
6
2、力在平面上的投影,F
a bFxy
Fxy 是矢量
3、力在空间直角坐标轴上的投影：
（ 1）直接投影法：
O
F
x
y
z
Fx Fy
Fz
xo
y ?
?
?
?Fx=Fcos
Fy=Fcos
Fz=Fcos
?
?
?
其大小,Fxy=Fcos?
a
D
b
c
7
（ 2）二次投影法
O
F
y
z
Fx Fy
Fz
Fxy
解, Fxy= Fx +Fy2 2 = … = 10N
Fz=Fcos =Fsin? ?
Fxy=Fsin =Fcos? ?
?Fx=Fcos cos?
Fy=Fcos sin? ?
x
例,Fx=8N,Fy=6N,=45.求 F的大小及 Fz.?
Fxy=Fcos ?
F=Fxy/cos = … = 14.14N?
Fz=Fsin = … = 10N?
?
?
?
8
O
F
x
y
z
Fx Fy
Fz
Fxy
3、投影与分力关系
i
j
k
F=Fx+Fy+Fz
Fx=Fxi
Fy=Fyj
Fz=Fzk
F=Fxi+Fyj+Fzk
* 若已知三个投影 Fx,Fy,Fz,则可求出力 F的大小和方向
F= Fx 2 +Fy2 +Fz2
cos(F,i)=Fx/F cos(F,j)=Fy/F; ; cos(F,k)=Fz/F
设 i,j,k
为 x,y,z三
个坐标轴的
单位矢量
9
三、汇交力系合成与平衡的解析法
1、合成
O
x
y
z
F1
F2
Fi
Fn
R
R=Rxi+Ryj+Rzk
Fi=Fixi+Fiyj+Fizk
由 R=?Fi
得 Rxi+Ryj+Rzk = ?(Fixi+Fiyj+Fizk)
=( ?Fx)i+(?Fy)j+(?Fz)k
合力投影定理,合力在某一
轴上的投影等于各分力在同
一个轴上投影的代数和
所以,Rx= ?Fx
Ry= ?Fy
Rz= ?Fz
10
* 由合力的投影，可求出合力的大小和方向
R= Rx2 +Ry2 +Rz2
cos(R,i)=Rx/R ; cos(R,j)=Ry/R ; cos(Rz,k)=Rz/R
* 若平面汇交力系，立 xoy坐标系，则
xo
y
Rx
Ry R
?
Rx=?Fx
Ry=?Fy
R= Rx2 +Ry2
tan Ry/Rx=?
象限,由 RX,Ry 的正、负定 。
（ 2－ 6）
11
例,F1=10KN,F2=20KN,F3=25KN。求：合力 R
解（解析法）：
几何法, 10KN1cm
测量合力 R的大小和方向
F1 F2
F3
R
R= 4.4 10=44KN
=F1cos 30 +F2+F3cos 60
= … = 41.16KN
?FxRx =
Ry = ?Fy = - F1sin30 +F3sin60
= … = 16.65KN
30o x
y
F1
F2
F3
60
R
?
R = Rx +Ry2 2 = … = 44.4KN
tan = Ry/Rx =21.8? ? ?
=22?
12
2.平衡的解析条件 (平衡方程 )
?? Fx = 0
?? Fy = 0
?? Fz = 0
若为 平面力系,则平衡方程：
?? Fx = 0
?? Fy = 0
* 空间平衡汇交力系，最多能解三个未知量
平面平衡汇交力系，最多能解两个未知量
（ 2－ 7）
13
例, 如图所示的平面刚架 ABCD,自重不计,在 B点
作用一水平力 P,设 P = 20kN.求支座 A和 D的约束
反力,
P
A D
B C
2m
4m
14
解,取平面钢架 ABCD为
研究对象 画受力图
P
A D
B C
RD
RA
?
平面刚架 ABCD三点
受力,C为汇交点,
RD
?
C
P
RA
tg? = 0.5
? Fx = 0 P +RA cos? = 0
RA = - 22.36 kN
? Fy = 0 RA sin? +RD = 0
RD =10 kN
列平衡方程,
立 xcy.
x
y
例题
15
例,挂物架,W=20KN.求 AB,AC杆的受力
AB
C
W
30
解,(解析法 )
（ 1）研究对象：销钉 A
（ 2）受力如图 A
WFc
FB
（ 3）立 xAy x
y
（ 4）列平衡方程：
?Fy=0,-W-FCcos30 =0
FC=-W/cos30 = … = -23.1KN（压力）
?Fx=0,-FB-Fc sin30 =0
FB=-Fcsin30 = … =11.6KN （拉力）
（几何法）做封闭力多边形如图
W
Fc
FB
FC=W/cos30 =23.1KN (压力 )
FB=Wtan30 =11.6KN (拉力 )
（或：测量）
16
解,(一 )物块 A,受力如图 (1).
(二 )物块 B,受力如图 (2).
力等值包括力值的正、负号也相同
例：增力机构 P,=10 。 求：夹紧力 Q。?
A
B
P
Q
?
Fy=0 -P + Fsin = 0?
F=P/sin?
Fy=0 Q F cos =0?
F=F=P/sin? A
P
F
FA
(1)
?
Q=Pcot =5.67P?
F B
Q
FB
(2)
?
17
例 题, 图示为简易起重机,杆 AB的 A端是球形支座, CB与 DB
为绳索,已知 CH = HD = BH,? = 30o,CBD平面与水平面的
夹角 ?HBI = 30o,且与杆 AB垂直,C点与 D点的连线平行于 y
轴,物块 G重 W=10kN.不计杆 AB及绳索的自重,求杆 AB及绳索
CB和 DB所受的力,
G
W A
B
C DH
I
?
18
解,取销钉 B和物块 G为研究对象,杆 AB为二力杆,
CB和 DB为柔绳约束,画受力图,立 Axyz.
G A
B
I
?
FDF
C H
x
y
z
W
F
450
300
450
19
写 出 力的解析表达式,
W = - 10k
FC= -FC sin45ocos30oi -FC cos45oj +FC sin45osin30ok
F = Fsin30oi + Fcos30ok
FD= -FD sin45ocos30oi +FD cos45oj +FD sin45osin30ok
? Fx = 0
Fsin30o -FC sin45ocos30o -FD sin45ocos30o = 0 (1)
? Fy = 0 -FC cos45o +FD cos45o = 0 (2)
? Fz = 0 - 10+Fcos30o+FC sin45osin30o
+FD sin45osin30o = 0 (3)
20
联 立 (1)---(3)式得,F = 8.660 kN
FC = FD = 3.535 kN
G
W A
B
C H
I
?
xy
z
F
FC FD
取杆 AB为 z 轴
D
21
写 出 力的解析表达式,
W = -10sin30ocos45oi -10sin30ocos45oj -10cos30ok
F= FkFC = FC jFD = FD i
? Fx = 0
FD -10sin30ocos45o = 0 FD = 3.535 kN
? Fy = 0
FC -10sin30ocos45o = 0 FC = 3.535 kN
? Fz = 0 F -10cos30o = 0
F = 8.660 kN
22
作 业
(P23)
?2--3; 2--4; 2--5
23
内容提要
1.力对点之矩
2.力偶及其性质
3.力偶系的合成与平衡
第三章 力矩和平面力偶系
24
空间一般力系,
平面一般力系,
F1
F2
F3
Fn
F1
F2
Fn
25
力对点的矩
力矩是用来量度力使物体产生转动效应的概念
● 力对点的矩的概念
作用于刚体的力 F对空间任意一点 O的力矩定义为
M0 (F) =r × F
式中 O点称为 矩心, r为矩心 O 引向力 F 的作
用点 A 的矢径，即 力对点的矩定义为矩心到该力
作用点的矢径与力矢的矢量积
26
MO(F )通常被看作为一个定位矢量，习惯
上总是将它的起点画在矩心 O 处，但这并不意
味着 O 就是 MO(F )的作用点。
27
力矩矢的三要素,
力矩矢的三要素为大小、方向和矩心
MO (F)的大小即它的模
|MO(F)|=|r × F |=F r sinθ=Fh
式中 θ 为 r 和 F 正方向间的夹角,h
为矩心到力作用线的垂直距离，常称为力
臂。 MO (F )的方向垂直于 r 和 F 所确定的
平面，指向由右手定则确定。
28
平面问题
平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即
力矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成了 代数量
MO(F) = ± Fh
矢量表达式
正负号通常规定为,
逆时针为正 顺时针为负
29
一、力对点之矩
（一）平面力系中力对点之矩
.o
F B
A
d
(O点：矩心 )
(垂直距离 d:力臂 )
Mo(F)= + Fd
平面力矩为代数量
大小,Fd
逆时针转动为正,反之为负,
Mo(F)= +2 OAB面积
例,F=50N,d=0.3m.求 F力对 O点之矩,
解,Mo(F)= Fd = … = 15Nm
* (1)当 F=0,或 d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零
(2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变
(3)力矩与矩心有关
30
（二）空间力系中力对点的矩
空间力对点的矩是矢量
O
x
y
z A
B
力矩矢是定位矢
力矩的三要素,力矩的大小 ;力矩平面的方位 ;
力矩在力矩平面内的转向,
d力矩的大小,
mo(F) =2?OAB面积 =Fd
力矩的方向,右手螺旋法则
mo(F) = r× F
mo(F)
r
F
31
二、力对轴的矩
z
o
d
a
b
A
BF
P Fxy
定义,力 F对于 z轴的矩等于此力在垂直于 z轴的平面上的
投影对于 z轴与此平面交点的矩,
Mz(F) = Mo(Fxy) = ± Fxyd
Mz(F)=± 2?oab面积
Mo(F) =2?OAB面积 =Fd
力对轴之矩是代数量。其正、
负号由右手螺旋法则
32
三,力偶及其性质
A
B
F
F′
d
1.力偶：
对物体产生纯转动效应
不是一对平衡力 ;
（力偶作用面；）
（ d 称为力偶臂）
也不能合成一个合力
2.力偶三要素：
(1)Fd,
(2)力偶作用面的方位,
(3)在力偶作用面内，力偶的转向
由大小相等,方向相反而不
共线的两个力组成的力系
33
力偶没有合力,因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡,力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡
3.力偶矩矢
A
B
F
F′
rBAd
M
在平面问题中则有,
M = ± Fd
M = rBA× F = rAB× F′
(平面问题中,力偶矩为代数量 )
4.力偶的性质
（ 1）力偶中的两个力在任一轴上投影
的代数和等于零
34
(2) 力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和
恒等于力偶矩矢,而与矩心的位置无关,
A
B
F
F′
rBAd
M
rB
rA
O
证明,在空间任取一点 o为矩心,
Mo(F,F′) = Mo(F) + Mo(F′)
= rBA× F
= (rB－ rA) × F
= rB × F + rA × F′
= M
唯有力偶矩确定，力偶对刚体的转动效应也就
唯一确定；力偶矩矢是自由矢量
在平面问题中，力矩力偶矩均为代数量，力偶中两力对
同平面任一点矩的代数和恒等于力偶矩与矩心的位置无关,
Mo(F,F?)= Mo(F) + Mo(F?) =M
35
在平面问题中，力矩力偶矩均为代
数量，力偶中两力对同平面任一点矩的
代数和恒等于力偶矩，而与矩心的位置
无关
Mo(F,F?)= Mo(F) + Mo(F?) =M
36
(3)力偶的等效条件, 力偶矩矢相等
三个推论,只要力偶矩矢保持不变：
推论 1.力偶可以从刚体的一个平面平移到另一个
平行的平面,不改变其对刚体的转动效应,
推论 2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会
改变它对刚体的转动效应,
推论 3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任
意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,
而不改变它对刚体的转动效应,
F
Fd =
= M
37
5.力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢分别为,
M1,M2,…,Mn,由于力偶矩矢是自由矢量,则 n 个力偶矩矢
组成一个汇交矢量系，合成结果是一个合矢量（合力偶矩
矢）；利用合矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡,
(1)力偶系的合成
Mx = ? Mix
My = ? Miy
Mz = ? Miz
对于平面力偶系则有, M = ? Mi（ 合力偶矩
等于各分力偶矩的代数和）
M = ? Mi
38
例,已知 M1=10Nm,M2= - 20Nm,M3= - 15Nm.
求,合力偶矩 M.
M1 M2
M3
解,M =∑ Mi=10 -20 -15= -25Nm (顺时针转动）
=
M
39
(2)力偶系的平衡
空间力偶系平衡的必要和充分条件是,
合力偶矩矢等于零。 即：力偶系中所有各
力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影
的代数和等于零,
? Mix = 0
? Miy = 0
? Miz = 0
对于平面力偶系则有, ? Mi = 0
空间平衡的力偶系最多能解三个未知量。
* 平面平衡的力偶系最多能解一个未知量。
40
例题,不计自重的杆 AB与 DC在 C处为光滑接触,它们分
别受力偶矩为 M1与 M2的力偶作用,转向如图,问 m1与 m2
的比值为多大,结构才能平衡?
60o 60oA
B
C
D
M1 M2
41
解,取杆 AB为研究对象画受力图
杆 AB只 受力偶的作用而平衡且 C
处为光滑面约束,则 A处约束反力的
方位可定,
A
B
C
M1
RA
RC? Mi = 0
RA = RC = R,AC = a
a R - M1 = 0
M1 = a R (1)
42
取杆 CD为研究对象,因 C点约束方
位已定,则 D点约束反力方
位亦可确定,画受力图,
60o 60o D
M2
B
C
A
RD
R C?
RD = RC? = R CD = a
? Mi = 0
- 0.5a R + M2 = 0
M2 = 0.5 a R (2)
联立 (1)(2)两式得,M1/M2=2
43
作 业,
P30页,3--1,3--3,
44
再 见
