轴 向 拉, 压与剪切
第五章
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§ 5-1 直杆的轴向拉伸和压缩
§ 5-2 轴力和轴力图
§ 5-3 横截面上的应力 ? 许用应力
§ 5-5 变形 和应变
§ 5-6 压杆稳定概念
§ 5-4 材料的力学性质
§ 5-7 剪切和挤压的实用计算
§ 5-1 直杆的轴向拉伸和压缩
实例 1
实例 2
杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短
轴向拉伸和 压缩变形的受力特征
作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与
杆的轴线重合 。
变形特征
其计算简图即如图所示。
杆的两端各受一对集中
力 P 作用，两个 P大小
相等, 指向相反, 且作
用线与杆轴线重合 。
P P
PP
a
b称为轴向拉伸，
杆发生纵向伸长 。
a
b 称为轴向压缩
杆发生纵向缩短。
一，截面法求轴力
截面法是求内力的一般方法
截面法
设一等直杆在两端轴向拉力 P 的作用下处于平衡，欲
求杆件 横截面 mm 上的内力
§ 5-2 轴力（内力）和轴力图
m
m
P P
在求内力的截面 mm
处，假想地将杆截为
两部分 。
截开
代替
取一部分作为研究对
象（如左部分）。弃
去部分对研究对象的
作用以截开面上的内
力代替。合力为 N
m
m
P N
平衡
对研究对象列平衡方程
N = P
式中,N 为杆件任一横
截面 m— m 上的内力。
与 杆的轴线重合，即垂
直于横截面并通过其形
心 。 称为 轴力 。
m
m
P P
m
m
P N
N
若取 右侧为研究对象，
则在截开面上的轴力
与左侧上的轴力数值
相等而指向相反
m
m
P P
m
m
P N
m
P
m
N
轴力符号的规定
a 若轴力的指向背离截
面，则规定为 正号,
称为拉力。
b 若轴力的指向指向截面，
则规定为 负号, 称为
压力。
m
m
P P
m
m
P N
m
P
m
+
+
二,轴力图
用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆
轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与
横截面位置关系的图线，称为 轴力图 。 将正的轴力画在上
侧，负的画在下侧。
x
N
例题,一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
解：求支座反力
? ? 0X
R
020255540R ??????
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KN
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
KN10R ?
20KN
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
用力的作用点将杆分段
该杆分为,AB,BC,CD,DE，四段。
分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
求 AB段内的轴力
N1-R=0
N1=R= + 10KN
20KN
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
1
R N1
(+)
040RN 2 ???
求 BC段内的轴力
R R 40KN N2
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
2
)(5040RN 2 ?????
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KNR
3
N3
求 CD段内的轴力
02025N 3 ????
)(5 K NN 3 ???
20KN25KN
求 DE段内的轴力
)(2 0 K NN 4 ??
20KNN4
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KNR
4
N1=10KN （拉力）
N2=50KN （拉力）
N3= - 5KN （压力）
N4=20KN （拉力）
Nmax=50KN 发生在 BC段内任一横截面上
10
50
5
20
+
+
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
注 意
计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为
正值，则轴力的实际符号与其计算符号一致
（ 设正法 ）
§ 5-3 横截面上的应力 ? 许用应力
研究应力的方法,
（ 1）实验
（ 2）观察现象
（ 3）通过观察到的现象得出结论
（ 4）通过结论推导出应力公式
取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵向线和
与轴线垂直的横向线
在两端施加一对轴向拉力 P
实 验
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线
且与纵向线垂直。
P P
观 察 现 象
P P
（ 1）各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。
结 论
（ 2） 平面假设, 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面 。
实验
由结论可知，在横截面上作用着均匀分布的正应力。
P
? N
推 导 公 式
A
N??
式中,N为轴力,A为杆的横截面面积。 ?的符号与
正应力 N 的符号相同
当 轴力为正号时（拉伸）,正应力也 为正号，称为拉 应力，
当 轴力为负号时（压缩）,正应力也 为负号，称为压 应力，
等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面
上。该截面称为 危险截面 。 危险截面上的正应力称为 最
大工作应力 。
二,许用应力 ? 强度条件
对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一
限度材料就要破坏。
应力可能达到的这一限度称为材料极限应力 ?lim 。
杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力 [?] 。
? ? nlim?? ? 式中 n>1,称为安全系数
][ANσ m axm ax ???
强度条件：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
强度计算的三类问题
（ 1） 强度校核
（ 2） 设计截面
（ 3） 确定许可核载 Pmax
][AN m ax ??
][
NA m a x
??
][max ?AN ?
例题 1
例题 2
补充内容
例题 1,简易起重设备中,AC杆由两根 80?8 0 ?7
等边角钢组成,AB杆由两根 10号工字钢组成。材料为
Q235钢，许用应力 [?]=170MPa 。求许可荷载 [P]。
A
B
C
P
300
300
P
A x
y
N1
N2
解：取结点 A为研究对象，受力分析如图 所示。
A
B
C
P
300
结点 A的平衡方程为
由型钢表查得
m10286021430A 242 ?????
300
P
A x
y
N1
N2
? ? 0y 0P30s inN 01 ??
? ? 0X 030c o sNN 012 ??
得到,P2N1 ?
P732.1N 2 ?
2101 10217221086 mA ?????
许可轴力为
A][N ?? KN24.3 6 9A][]N[ 11 ???
KN20.486A][]N[ 22 ???
N1 = 2P
N2 = 1.732P
各杆的许可荷载 KN6.18 4
2
]N[]P[ 1
1 ??
许可荷载 [P]=184.6kN
KN7.2 8 07 3 2.1 ]N[]P[ 22 ?? 补充内容
例题 2
例题 2：刚性杆 ACB有圆杆 CD悬挂在 C点,B端作用集中力
P=25KN，已知 CD杆的直径 d=20mm，许用应力
[?]=160MPa，试校核 CD杆的强度，并求：
（ 1）结构的许可荷载 [P]；
（ 2）若 P=50KN，设计 CD杆的 直径。
2a a
P
A B
D
C
解：求 CD杆受 力
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
2
30 PNm
CDA ???
][KN1 1 94d 2P3AN 2CD ???????
（ 1）结构的许可荷载 [P]；
][AN CDCD ????
][A2P3N CD ???
[P]=33.5KN
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
][AN CDCD ????
（ 2）若 P=50KN，设计 CD杆的
直径。
][
2P3
][
NA CD
????
][
2P3
4
d 2
??
?
d=24.4mm
取 d=25mm
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
斜 切面
P
k
k
?
P
S?
求与横截面成 ?角的任
一斜截面 k— k上的应力
假想地用一平面沿 斜截面
k— k将杆截为二，取左段
为研究对象
斜截面上的正应力 ? 剪应力 ? 全应力
P k
k
x
n
?
P
k
k
?
P
p?
P k
k
x
n
?
p? 为斜截面 K— K上
的 全应力
?为斜截面 K— K 的外法线
n 与轴线的夹角
?符号的规定
自 x 转向 n：
逆时针时 ?为正号
顺时针时 ?为负号
P
k
k
?
P
A?为斜截面的面积
PAp ?? ??
A
Pp
?
? ?
A为横截面的面积
??? ? c o sAA
???????
?
? c o sc o sA
P
A
Pp
故有
A
P??
为横截面上的正应力
p?
P k
k
x
n
?
沿截面法线方向的正应力 ??
沿截面切线方向的剪应力 ??
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
?
p?
??
??
将总应力 p?分解为两个分量：
p?
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
符号的规定：
正应力
拉伸为正
压缩为负
剪应力：对研究对象任一点
取矩。
顺时针为正
逆时针为负
p?
?
p?
??
??
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
??????? ?? c o sc o s 2p
??????? ?? 2s in2s inp
拉压杆最大 正应力发生在横
截面上 。 且在此截面上剪
应力为零。
(1) 当 ? = 0 时, ?max =?
?
p?
??
??
p?
P
k
k
?
P
S?
P k
k
x
n
?
?
S?
??
??
??????? ?? c o sc o sS 2
??????? ?? 2s in2s inS
? = 45时,2τ max
??
(2) 数值上最大的剪应力发生
在与轴线成 ? 450 的斜截面上
? = -45时,2τ m in
???
P
k
k
?
P
S?
P k
k
x
n
?
?
S?
??
??
??????? ?? c o sc o sS 2
??????? ?? 2s in2s inS
(3) ? = 900 时
0???? ??
即，在平行于杆件轴线的
纵向截面上无任合应力。
§ 5— 4 材料的力学性质
力学性质,是指材料在外力作用下在强度与变形方面表现出
来的性能
弹性变形,将荷载完全卸除后，变形能完全消失。
塑性变形,变形不能完全消失，遗留的变形
工程中将处于常温下的材料，根据变形后所发生的塑性
变形的大小分为两类,塑性材料 及 脆性材料 。
d
一,低碳钢拉伸试验
先在试样中间等直部分上划两
条横线，这一段杆称为 标距 l 。
l = 10d 或 l =5d
设备主要有两类，一类称为 万能试验机 。另一类设备是用来
测试变形的 变形仪 。
1，试验方法
l
标距
?l
P
O
拉伸图 ( P— ? l 图 )
2,低碳钢拉伸时的力学性质
1
?l
P
O
试样的变形完全是弹性的。
此阶段内的直线段材料满足
弹性阶段 (1)
材料是线弹性的
Pl ??
1
?l
P
O
2屈服阶段或流动阶段 (2)
试样的荷载基本不变而试样
却不断伸长。
1
?l
P
O
2
3强化阶段 (3)
在强化阶段试样的变形主要
是塑性变形。在此阶段可以
较明显地看到整个试样的横
向尺寸在缩小。
1
?l
P
O
2
3 4
局部变形阶段 (4)
试样在某一段内的横截面面
积显箸地收缩，出现 颈缩 现
象。一直到试样被拉断。
几个概念
卸载定律,若到 强化阶段
的 某一点 停止加载，并逐
渐卸载，在卸载过程中，
荷载与试样伸长量之间遵
循直线关系的规律称为材
料的卸载定律。
C
1
?l
P
O
2
3 4
料预拉到强化阶段然后卸载
当再次加载时,试样在线弹
性范围内所能承受的最大荷
载将增大。
冷作硬化,在常温下把材
lC?lS?
?lC 是试样的弹性变形 ?lS是试样的塑性变形
C
1
?l
P
O
2
3 4
0
A点 是应力与应变成
正比的最高限。
ll???
APσ?
A
应力应变曲线
?P
比例极限σP
?? E?
EA
Nll ??
?
Etg ?? ???
0
ll???
APσ?
A
?P
?
?C
B
B点是弹性阶段的最
高点。
弹性 极限σC D
?SD点为屈服低限
屈服 极限σS
0
ll???
APσ?
A
?P
?
?C
B
D
?S
?bσb 强度 极限
G点是强化阶段的
最高点 G
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长
度由 l 变为 l1,横截面积原为 A,断口处的最小横截面积
为 A1 。
%1 0 01 ??? l ll?
断面收缩率：
延伸率,
?和 ? 均较高的材料，称作塑性材料。
%A AAψ 1 0 01 ???
许用应力 [?],
n
u???][
极限应力,我们把材料的两个强度指标 ?s 和 ?b称
作极限应力或危险应力，并用 ?u 表示。
二，安全系数和许用应力
n 安全系数
n
σ b?][?
脆性材料
n
σ S?][?
塑性材料
§ 5-5 变形和应变
一、虎克定律
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性（ 直线 ）阶
段，在此范围内轴向拉，压杆件的伸长或缩短量 ?l, 与
轴力 N和杆长 l 成正比,与横截面面积 A成反比。
EA
Nll ??
式中 E 称为 弹性模量, EA成为 抗拉（压）刚度 。
E 通过实验测定。查表 5－ 1（教材 P55页）
EA
Nll ??
上式改写为 l
lE
A
N ??
??AN
l
l?
表示杆件 单位长度的伸长或缩短,称为 纵 线应变 ?
???ll
??? E
虎克定律, 在弹性范围,正应力与线应变成正比。
二，泊松比
当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆
件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。
PP
b1
h1
b
h
b
b
b
bb
h
h
h
hh ????????? 11
1
设 横向线应变为 ?1，则
???ll
?1与 ?h, ?b 符号相同；与纵向线应变 ?的 符号相反。
横向线应变与纵向线应变之间的关系
????? 1
? 称为 泊松比或横向变形系数
例题 1
例题 2
例题 1,图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，
两杆与铅垂线均成 ?=300 的角度,长度均为 l = 2m，直径均为
d=25mm，钢的弹性模量为 E=210GPa。设在点处悬挂一重物
P=100 kN，试求 A点 的位移 ?A。
A
B C
1 2
? ?
A
P
x
yN
1 N2
? ?
解,列平衡方程，求杆的轴力
A
B C
1 2
? ?
0αs inNαs inN0x 12 ??? ?
0Pαc o sNαc o sN0y 21 ???? ? ?
?? c o s2 PNN 21
两杆的变形为
?????? c o s2
121
EA
Pl
EA
lNll
（伸长）
A
B C
1 2
? ?
A
1 2
B C
? ?
变形的 几何条件相容 是：变形后，两杆仍应铰结在一起。。
A
B C
1 2
? ?
A
1 2
B C
? ?
"A
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A?，即
为 A点的新位置。 AA? 就是 A点的位移。
A
1 2
B C
? ?
"A
"A
1
A
2
? ?
A2 A1
l?1
A
1 2
B C
? ?
"A "A
1
A
2
? ?
A2 A1
因变形很小，故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线，相交于 A?
可认为 "' AAAA ?
A'
4
dA 2??
?
????
c o s'
1lAAA
?? 2c os2 EA
Pl
)(293.1001293.0A ???? mmm所以
A
1 2
B C
? ?
"A
1
A
2
? ?
A2 A1
A'
"A
l?1
注 意
变形图中杆件的伸长（缩短）与
轴力一定要对应。
例题 2
例题 2：图示为一变截面圆杆 ABCD。已知 P1=20KN，
P2=35KN,P3=35KN。 l1=l3=300mm,l2=400mm。
d1=12mm,d2=16mm,d3=24mm。试求：
(1) 1— 1,11— 11,111— 111截面的轴力，作轴力图
(2) 杆的最大正应力 ?max
(3) AD杆的变形
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
解：求支座反力 R = 20－ 35－ 35＝－ 50KN
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
(1) 1— 1,11— 11,111— 111
截面的轴力，作轴力图。
P1N1
-N1+P1=0
N1= 20KN （ +）
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
-N2+P1-P2=0
N2= -15KN （ -）
P2
P1N2
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
N3-R=0
N3=R= - 50KN （ -）
R N3
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
15
+
-
20
50
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
(2) 杆的最大正应力 ?max
AB段,M P aAN
AB
AB
AB 81 7 6,??σ
DC段,)(,??? M P aAN
DC
DC
DC 5110σ
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）BC段,)(6.74 ???? M P a
A
N
Bc
BcBC
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
?max = 176.8MPa 发生在 AB段。
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
(3) AD杆的变形
mEA lNl BCBC 10421 4
2
2 ???? ?.?
mEA lNl ABAB 10532 4
1
1 ??? ?.?
mEA lNl CDCD 10581 4
3
3 ???? ?.?
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
AB段：
BC段：
CD段：
mEA lNl BCBC 10421 4
2
2 ???? ?.?
mEA lNl ABAB 10532 4
1
1 ??? ?.?
mEA lNl CDCD 10581 4
3
3 ???? ?.?
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
?
??? llll CDBCABAD ????
)(,缩短m10470 4?? ?
例题 3：薄壁筒 (其壁厚 t 远小于圆筒中径 d0，通常 t≤ d0 /20
，故不考虑内径 d 和 d0 的区别）受均匀分布的作用,
d
t
p
l
直径平面
假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象。
p
y
O
N N
)(2 ?ddPl
? ????
??? ??
?
?
0
0
s i n
2
s i n)
2
(
pldd
pld
d
d
plR
R
??d
N N
y
O
R
t
p
??
t
pd
lt
pl d
A
N
pl dR
N
22
22
????
??
?
N N
y
O
R
t
p
??
?? 沿圆周切线方向称为 环向应力 或 周向应力
t
p
??
沿圆周切线方向的应变，即 环向应变 是
Et
pd
E 2?
??? ?
?
圆周的总伸长
Et
dpd
S 2
2?
?????? ?
直径改变量为
Et
pdSd
2
2
?????
一、静定与超静定问题
拉、压超静定问题
静定问题, 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，
这种情况称作静 定 问题。
超静定问题, 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，
这种情况称做超静定问题。
超静定的次数, 未知力数超过独立平衡方程数的数目,
称作超静定的次数。
变形几何相容条件（举例以后讲解）
二、超静定问题求解方法
三，一般超静定问题举例
例题,两端固定的等直杆 AB横截面积为 A，弹性模量为 E，在 C
点处承受轴力 P的作用，如图 所示 。计算约束反力。
P
B
A
C
RB
y
P
B
RA
A
C
这是一次超静定问题。
平衡方程为 PRR BA ??
P
B
A
C
B
A
C
C1
lAC?
相容条件 是：杆的总长度不变
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C
变形几何方程为,ll CBAC ?? ?
EA
aRl A
AC ?? EA
bRl B
CB ??
B
A
C
C1
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C l
AC?
补充方程为 EA bREA aR BA ?
平衡方程为 PRR BA ??
l
PbR
A ?
l
PaR
B ?
B
A
C
C1
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C l
AC?
画 受 力 图
列静力平衡方程
画 变 形 几 何 关 系 图
列 变 形 几 何关系方 程
建 立 补 充 方 程
解联立方程求出全部约束反力
强 度 计 算
工程实例：
桥梁桁架结点的铆钉（或高强度螺栓）
在构件连接处起连接作用的部分，如铆钉，螺栓，键等,
统称为连接件。
§ 5— 7 剪切与挤压的实用计算
(a)
2P
P
2P
铆钉的受力图如图 b 所示 。
(b)
m m
nn
键的受力如图 b所示。
机械中的轴与齿轮间的键连接
( a )
m
键
( b )
P
P
P ( b )
钢结构中的焊缝连接
1 铆钉在 m— m 和 n— n 截面被剪断
铆钉和钢板在接触面上因挤压使连接松动2
钢板在受铆钉孔削弱的截面处被拉断3
(a) (b)
2P
P
2P
nn
m m
d
a
b
c
P
P
受力特征：受一对大小相等，指向相反，作用线相距佷近的
横向外力的作用。
a
b
P c
d
P
m
m
剪切面
一, 剪切的近似计算
变形特征：横截面沿外力作用方向发生错动。
双剪切实例
m m
P
P
Q = P
m m
P
剪切面
Q
m m
P
P
剪 切面上有 剪力 Q
m m
P
P
假设受剪面上各点的剪应力
相等，则受剪面上的剪应力
称为 名义剪应力 。
m m
P
剪切面
Q
m m
P
P
A
Q
S
??
式中,Q 为受剪面上的剪力
AS 为受剪面的面积。
m m
P
P
m m
P
剪切面
Q
剪切的强度条件为
? ????? AQ
S
[?] 为材料的许用剪应力。且
? ? nuττ ? 极限 剪应力
安全系数
m m
P
P
m m
P
剪切面
Q
[?]由手册查得，对钢制件，
[?]＝ (0.6~0.8) [?]
P
P
C
B
A
l
D
d
例题, 图示的销钉连接中,构件 A 通过安全销 C 将力偶矩
传递到构件 B,已知荷载 P= 2kN,加力臂长 l = 1.2m,构件
B 的直徑 D = 65mm,销钉的极限剪应力 ?u=200MPa 。 求
安全销所需的直径 d 。
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
解, 取构件 B 和 安全销 为研究对象
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
0??mo PlmQD ??
KNDPlQ 92.36??
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
剪断条件为 ??
?
??? u
S d
Q
A
Q
4
2 mmQd
u
3.154 ????
螺栓与钢板相互接触
的侧面上，发生的彼
此间的局部承压现象，
称为 挤压 。
二、挤压的实用计算 PP
P P
在接触面上的压力,称为挤压力，并记为 Pbs 。
挤压面受剪面
（ 1）螺栓压扁
（ 2）钢板在孔缘压皱
挤压破坏的两种形式
在挤压 近似计算中，假设 名义 挤压应力 的 计算式为
A
P
bS
bS
bS ??
AbS 为计算挤压面的面积
PbS 为接触面上的挤压力
d
h
挤压现象的实际受力如图 c 所示 。
图 c
当接触面为圆柱面时,挤压面积
AbS为实际接触面在直径平面
上的 投影面积
hdA bS ??
实际接
触面
直
径
投
影
面
( b )
P
P
当接触面为平面时,AbS 为实际接触面面积。
挤压的强度条件为
][ ???? bS
bS
bS
bS A
P
[?bS] 为许用挤压应力。
[?bS] 由手册查得，对钢制件可取：
[?bS]＝ (1.7~2) [?]
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
例题 1：一销钉连接如图
所示,已知外力 P=18kN,
被连接的构件 A 和 B 的厚度分
别为 t=8mm 和 t1=5mm,销钉
直径 d=15mm,销钉材料的许
用剪应力为 [?]=60 MPa,许
用挤压应力为 [?bS]=200 Mpa
,试校核销钉的强度。
d
P
2
P
2
P
(b)
d
解, 销钉受力如图 b所示
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
d
剪切面
挤压面
(b)
P
2
P
2
P
P
2P 2P
Q
QQ
Q
剪切强度校核
受剪面为 m— m 和 n— n面
由截面法得两个面上的 剪力
2
PQ?
受剪面的面积为
4
2d
A ??
受剪面上的名义 剪应力为
? ?????? M P aAQ
S
51
m
m
n
n
[?]=60 MPa
校核挤压强度
tt 21?
这两部分的挤压力相等，
故应取长度为 t的中间段
进行挤压强度校核,
P
2
P
2
P
挤压面
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
d
][M Pa150 bs?? ????
td
P
A
P
bS
bS
bS
故销钉是安全的。
t
d
dtA bS ??
P
2
P
2
P
挤压面
[?bS]=200 Mpa
作 业
?P66页习题
?必作题,5－ 2,5－ 5、
?选作题, 5－ 11
?思考题全部自己学习
D
d
h
P
销钉的剪切面面积 AS
销钉的挤压面面积 AbS
思考题
h
d
D
d
h
P
剪切面
dhAS ??
D
d
h
P
剪切面
挤压面
挤压面
)(4 22 dDA bS ???
补充题,冲床的最大冲压力 P=400KN，冲头材料的许用压应力
[?]=440MPa，钢板的 剪切强度极限 ?b=360MPa。试求 冲头能冲剪
的最小孔径 d和最大的钢板厚度 ?。
d
钢板
冲模
冲头
P
P
d
钢板
冲模
冲头
P
剪切面
解：冲头为轴向压缩变形
P
][
4
2 ?? ?? d
P
A
P
? =34mm
P
d
钢板
冲模
冲头
P
剪切面
P
由钢板的剪切破坏条件 ????? bd
P
A
Q mm4.10??
第五章
返回
§ 5-1 直杆的轴向拉伸和压缩
§ 5-2 轴力和轴力图
§ 5-3 横截面上的应力 ? 许用应力
§ 5-5 变形 和应变
§ 5-6 压杆稳定概念
§ 5-4 材料的力学性质
§ 5-7 剪切和挤压的实用计算
§ 5-1 直杆的轴向拉伸和压缩
实例 1
实例 2
杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短
轴向拉伸和 压缩变形的受力特征
作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与
杆的轴线重合 。
变形特征
其计算简图即如图所示。
杆的两端各受一对集中
力 P 作用，两个 P大小
相等, 指向相反, 且作
用线与杆轴线重合 。
P P
PP
a
b称为轴向拉伸，
杆发生纵向伸长 。
a
b 称为轴向压缩
杆发生纵向缩短。
一，截面法求轴力
截面法是求内力的一般方法
截面法
设一等直杆在两端轴向拉力 P 的作用下处于平衡，欲
求杆件 横截面 mm 上的内力
§ 5-2 轴力（内力）和轴力图
m
m
P P
在求内力的截面 mm
处，假想地将杆截为
两部分 。
截开
代替
取一部分作为研究对
象（如左部分）。弃
去部分对研究对象的
作用以截开面上的内
力代替。合力为 N
m
m
P N
平衡
对研究对象列平衡方程
N = P
式中,N 为杆件任一横
截面 m— m 上的内力。
与 杆的轴线重合，即垂
直于横截面并通过其形
心 。 称为 轴力 。
m
m
P P
m
m
P N
N
若取 右侧为研究对象，
则在截开面上的轴力
与左侧上的轴力数值
相等而指向相反
m
m
P P
m
m
P N
m
P
m
N
轴力符号的规定
a 若轴力的指向背离截
面，则规定为 正号,
称为拉力。
b 若轴力的指向指向截面，
则规定为 负号, 称为
压力。
m
m
P P
m
m
P N
m
P
m
+
+
二,轴力图
用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆
轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与
横截面位置关系的图线，称为 轴力图 。 将正的轴力画在上
侧，负的画在下侧。
x
N
例题,一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
解：求支座反力
? ? 0X
R
020255540R ??????
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KN
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
KN10R ?
20KN
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
用力的作用点将杆分段
该杆分为,AB,BC,CD,DE，四段。
分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
求 AB段内的轴力
N1-R=0
N1=R= + 10KN
20KN
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
1
R N1
(+)
040RN 2 ???
求 BC段内的轴力
R R 40KN N2
CA B D E
40KN 55KN 25KNR
2
)(5040RN 2 ?????
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KNR
3
N3
求 CD段内的轴力
02025N 3 ????
)(5 K NN 3 ???
20KN25KN
求 DE段内的轴力
)(2 0 K NN 4 ??
20KNN4
CA B D E
40KN 55KN 25KN 20KNR
4
N1=10KN （拉力）
N2=50KN （拉力）
N3= - 5KN （压力）
N4=20KN （拉力）
Nmax=50KN 发生在 BC段内任一横截面上
10
50
5
20
+
+
CA B D600 300 500 400 E
40KN 55KN 25KN 20KN
注 意
计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为
正值，则轴力的实际符号与其计算符号一致
（ 设正法 ）
§ 5-3 横截面上的应力 ? 许用应力
研究应力的方法,
（ 1）实验
（ 2）观察现象
（ 3）通过观察到的现象得出结论
（ 4）通过结论推导出应力公式
取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵向线和
与轴线垂直的横向线
在两端施加一对轴向拉力 P
实 验
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线
且与纵向线垂直。
P P
观 察 现 象
P P
（ 1）各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。
结 论
（ 2） 平面假设, 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面 。
实验
由结论可知，在横截面上作用着均匀分布的正应力。
P
? N
推 导 公 式
A
N??
式中,N为轴力,A为杆的横截面面积。 ?的符号与
正应力 N 的符号相同
当 轴力为正号时（拉伸）,正应力也 为正号，称为拉 应力，
当 轴力为负号时（压缩）,正应力也 为负号，称为压 应力，
等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面
上。该截面称为 危险截面 。 危险截面上的正应力称为 最
大工作应力 。
二,许用应力 ? 强度条件
对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一
限度材料就要破坏。
应力可能达到的这一限度称为材料极限应力 ?lim 。
杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力 [?] 。
? ? nlim?? ? 式中 n>1,称为安全系数
][ANσ m axm ax ???
强度条件：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
强度计算的三类问题
（ 1） 强度校核
（ 2） 设计截面
（ 3） 确定许可核载 Pmax
][AN m ax ??
][
NA m a x
??
][max ?AN ?
例题 1
例题 2
补充内容
例题 1,简易起重设备中,AC杆由两根 80?8 0 ?7
等边角钢组成,AB杆由两根 10号工字钢组成。材料为
Q235钢，许用应力 [?]=170MPa 。求许可荷载 [P]。
A
B
C
P
300
300
P
A x
y
N1
N2
解：取结点 A为研究对象，受力分析如图 所示。
A
B
C
P
300
结点 A的平衡方程为
由型钢表查得
m10286021430A 242 ?????
300
P
A x
y
N1
N2
? ? 0y 0P30s inN 01 ??
? ? 0X 030c o sNN 012 ??
得到,P2N1 ?
P732.1N 2 ?
2101 10217221086 mA ?????
许可轴力为
A][N ?? KN24.3 6 9A][]N[ 11 ???
KN20.486A][]N[ 22 ???
N1 = 2P
N2 = 1.732P
各杆的许可荷载 KN6.18 4
2
]N[]P[ 1
1 ??
许可荷载 [P]=184.6kN
KN7.2 8 07 3 2.1 ]N[]P[ 22 ?? 补充内容
例题 2
例题 2：刚性杆 ACB有圆杆 CD悬挂在 C点,B端作用集中力
P=25KN，已知 CD杆的直径 d=20mm，许用应力
[?]=160MPa，试校核 CD杆的强度，并求：
（ 1）结构的许可荷载 [P]；
（ 2）若 P=50KN，设计 CD杆的 直径。
2a a
P
A B
D
C
解：求 CD杆受 力
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
2
30 PNm
CDA ???
][KN1 1 94d 2P3AN 2CD ???????
（ 1）结构的许可荷载 [P]；
][AN CDCD ????
][A2P3N CD ???
[P]=33.5KN
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
][AN CDCD ????
（ 2）若 P=50KN，设计 CD杆的
直径。
][
2P3
][
NA CD
????
][
2P3
4
d 2
??
?
d=24.4mm
取 d=25mm
2a a
P
A B
D
C
NCD P
A C B
斜 切面
P
k
k
?
P
S?
求与横截面成 ?角的任
一斜截面 k— k上的应力
假想地用一平面沿 斜截面
k— k将杆截为二，取左段
为研究对象
斜截面上的正应力 ? 剪应力 ? 全应力
P k
k
x
n
?
P
k
k
?
P
p?
P k
k
x
n
?
p? 为斜截面 K— K上
的 全应力
?为斜截面 K— K 的外法线
n 与轴线的夹角
?符号的规定
自 x 转向 n：
逆时针时 ?为正号
顺时针时 ?为负号
P
k
k
?
P
A?为斜截面的面积
PAp ?? ??
A
Pp
?
? ?
A为横截面的面积
??? ? c o sAA
???????
?
? c o sc o sA
P
A
Pp
故有
A
P??
为横截面上的正应力
p?
P k
k
x
n
?
沿截面法线方向的正应力 ??
沿截面切线方向的剪应力 ??
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
?
p?
??
??
将总应力 p?分解为两个分量：
p?
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
符号的规定：
正应力
拉伸为正
压缩为负
剪应力：对研究对象任一点
取矩。
顺时针为正
逆时针为负
p?
?
p?
??
??
P
k
k
?
P
P k
k
x
n
?
??????? ?? c o sc o s 2p
??????? ?? 2s in2s inp
拉压杆最大 正应力发生在横
截面上 。 且在此截面上剪
应力为零。
(1) 当 ? = 0 时, ?max =?
?
p?
??
??
p?
P
k
k
?
P
S?
P k
k
x
n
?
?
S?
??
??
??????? ?? c o sc o sS 2
??????? ?? 2s in2s inS
? = 45时,2τ max
??
(2) 数值上最大的剪应力发生
在与轴线成 ? 450 的斜截面上
? = -45时,2τ m in
???
P
k
k
?
P
S?
P k
k
x
n
?
?
S?
??
??
??????? ?? c o sc o sS 2
??????? ?? 2s in2s inS
(3) ? = 900 时
0???? ??
即，在平行于杆件轴线的
纵向截面上无任合应力。
§ 5— 4 材料的力学性质
力学性质,是指材料在外力作用下在强度与变形方面表现出
来的性能
弹性变形,将荷载完全卸除后，变形能完全消失。
塑性变形,变形不能完全消失，遗留的变形
工程中将处于常温下的材料，根据变形后所发生的塑性
变形的大小分为两类,塑性材料 及 脆性材料 。
d
一,低碳钢拉伸试验
先在试样中间等直部分上划两
条横线，这一段杆称为 标距 l 。
l = 10d 或 l =5d
设备主要有两类，一类称为 万能试验机 。另一类设备是用来
测试变形的 变形仪 。
1，试验方法
l
标距
?l
P
O
拉伸图 ( P— ? l 图 )
2,低碳钢拉伸时的力学性质
1
?l
P
O
试样的变形完全是弹性的。
此阶段内的直线段材料满足
弹性阶段 (1)
材料是线弹性的
Pl ??
1
?l
P
O
2屈服阶段或流动阶段 (2)
试样的荷载基本不变而试样
却不断伸长。
1
?l
P
O
2
3强化阶段 (3)
在强化阶段试样的变形主要
是塑性变形。在此阶段可以
较明显地看到整个试样的横
向尺寸在缩小。
1
?l
P
O
2
3 4
局部变形阶段 (4)
试样在某一段内的横截面面
积显箸地收缩，出现 颈缩 现
象。一直到试样被拉断。
几个概念
卸载定律,若到 强化阶段
的 某一点 停止加载，并逐
渐卸载，在卸载过程中，
荷载与试样伸长量之间遵
循直线关系的规律称为材
料的卸载定律。
C
1
?l
P
O
2
3 4
料预拉到强化阶段然后卸载
当再次加载时,试样在线弹
性范围内所能承受的最大荷
载将增大。
冷作硬化,在常温下把材
lC?lS?
?lC 是试样的弹性变形 ?lS是试样的塑性变形
C
1
?l
P
O
2
3 4
0
A点 是应力与应变成
正比的最高限。
ll???
APσ?
A
应力应变曲线
?P
比例极限σP
?? E?
EA
Nll ??
?
Etg ?? ???
0
ll???
APσ?
A
?P
?
?C
B
B点是弹性阶段的最
高点。
弹性 极限σC D
?SD点为屈服低限
屈服 极限σS
0
ll???
APσ?
A
?P
?
?C
B
D
?S
?bσb 强度 极限
G点是强化阶段的
最高点 G
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长
度由 l 变为 l1,横截面积原为 A,断口处的最小横截面积
为 A1 。
%1 0 01 ??? l ll?
断面收缩率：
延伸率,
?和 ? 均较高的材料，称作塑性材料。
%A AAψ 1 0 01 ???
许用应力 [?],
n
u???][
极限应力,我们把材料的两个强度指标 ?s 和 ?b称
作极限应力或危险应力，并用 ?u 表示。
二，安全系数和许用应力
n 安全系数
n
σ b?][?
脆性材料
n
σ S?][?
塑性材料
§ 5-5 变形和应变
一、虎克定律
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性（ 直线 ）阶
段，在此范围内轴向拉，压杆件的伸长或缩短量 ?l, 与
轴力 N和杆长 l 成正比,与横截面面积 A成反比。
EA
Nll ??
式中 E 称为 弹性模量, EA成为 抗拉（压）刚度 。
E 通过实验测定。查表 5－ 1（教材 P55页）
EA
Nll ??
上式改写为 l
lE
A
N ??
??AN
l
l?
表示杆件 单位长度的伸长或缩短,称为 纵 线应变 ?
???ll
??? E
虎克定律, 在弹性范围,正应力与线应变成正比。
二，泊松比
当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆
件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。
PP
b1
h1
b
h
b
b
b
bb
h
h
h
hh ????????? 11
1
设 横向线应变为 ?1，则
???ll
?1与 ?h, ?b 符号相同；与纵向线应变 ?的 符号相反。
横向线应变与纵向线应变之间的关系
????? 1
? 称为 泊松比或横向变形系数
例题 1
例题 2
例题 1,图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，
两杆与铅垂线均成 ?=300 的角度,长度均为 l = 2m，直径均为
d=25mm，钢的弹性模量为 E=210GPa。设在点处悬挂一重物
P=100 kN，试求 A点 的位移 ?A。
A
B C
1 2
? ?
A
P
x
yN
1 N2
? ?
解,列平衡方程，求杆的轴力
A
B C
1 2
? ?
0αs inNαs inN0x 12 ??? ?
0Pαc o sNαc o sN0y 21 ???? ? ?
?? c o s2 PNN 21
两杆的变形为
?????? c o s2
121
EA
Pl
EA
lNll
（伸长）
A
B C
1 2
? ?
A
1 2
B C
? ?
变形的 几何条件相容 是：变形后，两杆仍应铰结在一起。。
A
B C
1 2
? ?
A
1 2
B C
? ?
"A
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A?，即
为 A点的新位置。 AA? 就是 A点的位移。
A
1 2
B C
? ?
"A
"A
1
A
2
? ?
A2 A1
l?1
A
1 2
B C
? ?
"A "A
1
A
2
? ?
A2 A1
因变形很小，故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线，相交于 A?
可认为 "' AAAA ?
A'
4
dA 2??
?
????
c o s'
1lAAA
?? 2c os2 EA
Pl
)(293.1001293.0A ???? mmm所以
A
1 2
B C
? ?
"A
1
A
2
? ?
A2 A1
A'
"A
l?1
注 意
变形图中杆件的伸长（缩短）与
轴力一定要对应。
例题 2
例题 2：图示为一变截面圆杆 ABCD。已知 P1=20KN，
P2=35KN,P3=35KN。 l1=l3=300mm,l2=400mm。
d1=12mm,d2=16mm,d3=24mm。试求：
(1) 1— 1,11— 11,111— 111截面的轴力，作轴力图
(2) 杆的最大正应力 ?max
(3) AD杆的变形
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
解：求支座反力 R = 20－ 35－ 35＝－ 50KN
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
(1) 1— 1,11— 11,111— 111
截面的轴力，作轴力图。
P1N1
-N1+P1=0
N1= 20KN （ +）
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
-N2+P1-P2=0
N2= -15KN （ -）
P2
P1N2
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
N3-R=0
N3=R= - 50KN （ -）
R N3
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
15
+
-
20
50
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
(2) 杆的最大正应力 ?max
AB段,M P aAN
AB
AB
AB 81 7 6,??σ
DC段,)(,??? M P aAN
DC
DC
DC 5110σ
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）BC段,)(6.74 ???? M P a
A
N
Bc
BcBC
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
R
?max = 176.8MPa 发生在 AB段。
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
N2=-15KN （ -）
N1=20KN （ +）
N3=- 50KN （ -）
(3) AD杆的变形
mEA lNl BCBC 10421 4
2
2 ???? ?.?
mEA lNl ABAB 10532 4
1
1 ??? ?.?
mEA lNl CDCD 10581 4
3
3 ???? ?.?
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
AB段：
BC段：
CD段：
mEA lNl BCBC 10421 4
2
2 ???? ?.?
mEA lNl ABAB 10532 4
1
1 ??? ?.?
mEA lNl CDCD 10581 4
3
3 ???? ?.?
P1
P2P3
1
1
11
11
111
111
l1l2l3
ABC
D
?
??? llll CDBCABAD ????
)(,缩短m10470 4?? ?
例题 3：薄壁筒 (其壁厚 t 远小于圆筒中径 d0，通常 t≤ d0 /20
，故不考虑内径 d 和 d0 的区别）受均匀分布的作用,
d
t
p
l
直径平面
假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象。
p
y
O
N N
)(2 ?ddPl
? ????
??? ??
?
?
0
0
s i n
2
s i n)
2
(
pldd
pld
d
d
plR
R
??d
N N
y
O
R
t
p
??
t
pd
lt
pl d
A
N
pl dR
N
22
22
????
??
?
N N
y
O
R
t
p
??
?? 沿圆周切线方向称为 环向应力 或 周向应力
t
p
??
沿圆周切线方向的应变，即 环向应变 是
Et
pd
E 2?
??? ?
?
圆周的总伸长
Et
dpd
S 2
2?
?????? ?
直径改变量为
Et
pdSd
2
2
?????
一、静定与超静定问题
拉、压超静定问题
静定问题, 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，
这种情况称作静 定 问题。
超静定问题, 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，
这种情况称做超静定问题。
超静定的次数, 未知力数超过独立平衡方程数的数目,
称作超静定的次数。
变形几何相容条件（举例以后讲解）
二、超静定问题求解方法
三，一般超静定问题举例
例题,两端固定的等直杆 AB横截面积为 A，弹性模量为 E，在 C
点处承受轴力 P的作用，如图 所示 。计算约束反力。
P
B
A
C
RB
y
P
B
RA
A
C
这是一次超静定问题。
平衡方程为 PRR BA ??
P
B
A
C
B
A
C
C1
lAC?
相容条件 是：杆的总长度不变
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C
变形几何方程为,ll CBAC ?? ?
EA
aRl A
AC ?? EA
bRl B
CB ??
B
A
C
C1
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C l
AC?
补充方程为 EA bREA aR BA ?
平衡方程为 PRR BA ??
l
PbR
A ?
l
PaR
B ?
B
A
C
C1
lCB?=
RB
y
P
B
RA
A
C
P
B
A
C l
AC?
画 受 力 图
列静力平衡方程
画 变 形 几 何 关 系 图
列 变 形 几 何关系方 程
建 立 补 充 方 程
解联立方程求出全部约束反力
强 度 计 算
工程实例：
桥梁桁架结点的铆钉（或高强度螺栓）
在构件连接处起连接作用的部分，如铆钉，螺栓，键等,
统称为连接件。
§ 5— 7 剪切与挤压的实用计算
(a)
2P
P
2P
铆钉的受力图如图 b 所示 。
(b)
m m
nn
键的受力如图 b所示。
机械中的轴与齿轮间的键连接
( a )
m
键
( b )
P
P
P ( b )
钢结构中的焊缝连接
1 铆钉在 m— m 和 n— n 截面被剪断
铆钉和钢板在接触面上因挤压使连接松动2
钢板在受铆钉孔削弱的截面处被拉断3
(a) (b)
2P
P
2P
nn
m m
d
a
b
c
P
P
受力特征：受一对大小相等，指向相反，作用线相距佷近的
横向外力的作用。
a
b
P c
d
P
m
m
剪切面
一, 剪切的近似计算
变形特征：横截面沿外力作用方向发生错动。
双剪切实例
m m
P
P
Q = P
m m
P
剪切面
Q
m m
P
P
剪 切面上有 剪力 Q
m m
P
P
假设受剪面上各点的剪应力
相等，则受剪面上的剪应力
称为 名义剪应力 。
m m
P
剪切面
Q
m m
P
P
A
Q
S
??
式中,Q 为受剪面上的剪力
AS 为受剪面的面积。
m m
P
P
m m
P
剪切面
Q
剪切的强度条件为
? ????? AQ
S
[?] 为材料的许用剪应力。且
? ? nuττ ? 极限 剪应力
安全系数
m m
P
P
m m
P
剪切面
Q
[?]由手册查得，对钢制件，
[?]＝ (0.6~0.8) [?]
P
P
C
B
A
l
D
d
例题, 图示的销钉连接中,构件 A 通过安全销 C 将力偶矩
传递到构件 B,已知荷载 P= 2kN,加力臂长 l = 1.2m,构件
B 的直徑 D = 65mm,销钉的极限剪应力 ?u=200MPa 。 求
安全销所需的直径 d 。
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
解, 取构件 B 和 安全销 为研究对象
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
0??mo PlmQD ??
KNDPlQ 92.36??
D o
Plm?Q
Q
P
P
C
B
A
l
D
d
剪断条件为 ??
?
??? u
S d
Q
A
Q
4
2 mmQd
u
3.154 ????
螺栓与钢板相互接触
的侧面上，发生的彼
此间的局部承压现象，
称为 挤压 。
二、挤压的实用计算 PP
P P
在接触面上的压力,称为挤压力，并记为 Pbs 。
挤压面受剪面
（ 1）螺栓压扁
（ 2）钢板在孔缘压皱
挤压破坏的两种形式
在挤压 近似计算中，假设 名义 挤压应力 的 计算式为
A
P
bS
bS
bS ??
AbS 为计算挤压面的面积
PbS 为接触面上的挤压力
d
h
挤压现象的实际受力如图 c 所示 。
图 c
当接触面为圆柱面时,挤压面积
AbS为实际接触面在直径平面
上的 投影面积
hdA bS ??
实际接
触面
直
径
投
影
面
( b )
P
P
当接触面为平面时,AbS 为实际接触面面积。
挤压的强度条件为
][ ???? bS
bS
bS
bS A
P
[?bS] 为许用挤压应力。
[?bS] 由手册查得，对钢制件可取：
[?bS]＝ (1.7~2) [?]
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
例题 1：一销钉连接如图
所示,已知外力 P=18kN,
被连接的构件 A 和 B 的厚度分
别为 t=8mm 和 t1=5mm,销钉
直径 d=15mm,销钉材料的许
用剪应力为 [?]=60 MPa,许
用挤压应力为 [?bS]=200 Mpa
,试校核销钉的强度。
d
P
2
P
2
P
(b)
d
解, 销钉受力如图 b所示
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
d
剪切面
挤压面
(b)
P
2
P
2
P
P
2P 2P
Q
Q
剪切强度校核
受剪面为 m— m 和 n— n面
由截面法得两个面上的 剪力
2
PQ?
受剪面的面积为
4
2d
A ??
受剪面上的名义 剪应力为
? ?????? M P aAQ
S
51
m
m
n
n
[?]=60 MPa
校核挤压强度
tt 21?
这两部分的挤压力相等，
故应取长度为 t的中间段
进行挤压强度校核,
P
2
P
2
P
挤压面
P
P
A
B
(a)
t1 t t1
d
][M Pa150 bs?? ????
td
P
A
P
bS
bS
bS
故销钉是安全的。
t
d
dtA bS ??
P
2
P
2
P
挤压面
[?bS]=200 Mpa
作 业
?P66页习题
?必作题,5－ 2,5－ 5、
?选作题, 5－ 11
?思考题全部自己学习
D
d
h
P
销钉的剪切面面积 AS
销钉的挤压面面积 AbS
思考题
h
d
D
d
h
P
剪切面
dhAS ??
D
d
h
P
剪切面
挤压面
挤压面
)(4 22 dDA bS ???
补充题,冲床的最大冲压力 P=400KN，冲头材料的许用压应力
[?]=440MPa，钢板的 剪切强度极限 ?b=360MPa。试求 冲头能冲剪
的最小孔径 d和最大的钢板厚度 ?。
d
钢板
冲模
冲头
P
P
d
钢板
冲模
冲头
P
剪切面
解：冲头为轴向压缩变形
P
][
4
2 ?? ?? d
P
A
P
? =34mm
P
d
钢板
冲模
冲头
P
剪切面
P
由钢板的剪切破坏条件 ????? bd
P
A
Q mm4.10??
