动 荷 载
第十二章
§ 12— 1 概述
§ 12— 2 动静法的应用
§ 12— 4 构件受冲击时的动应力计算
静荷载,荷载由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构
件内各质点加速度很小,可略去不计。
§ 8— 1 动荷应力
动荷载,荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳
定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较
大
一,概述
材料力学中将动荷载分为四类
(1) 构件做变速运动时应力与变形的计算
(2) 在冲击荷载作用下构件的应力与变形的计算
(3) 构件做强迫振动时应力的计算
(4) 交变应力
实验表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动
荷载下应力，应变的计算。弹性模量也与静载下的数值相同
二,动静法的应用
对作加速运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，
则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
动静法（达朗伯原理）
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积，
方向与 a 的方向相反。
动静法在材料力学中的的应用
构件上除外加荷载外，再在构件的各点加上惯性力，
则可按求静荷载应力和变形的程序，求得构件的动
应力和动变形。
例题,一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设绳
索的横截面面积为 A,绳索单位体积的重量 ?,求距绳索下
端为 x 处的 mm 截面上的应力。
G
a x
m m
G
a x
m m
G
a
绳索的重力集度为, ? A
?A
G
a x
m m
G
a
?A
G
a
物体的惯性力为 ag
G
agG
绳索每单位长度的惯性力为 ag
A?
agA?
a x
m m
G
a
?A
G
a
agG
agA?
agAA ?? ?
agGG?
a x
m m
agAA ?? ?
agGG?
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
Kd Nj
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
静止时绳索 mm截面上
的轴力为
AxGN j ???
引入 g
aK
d ?? 1
则 NKN jdd ? Kd 称为动荷系数
A? x
m m
G
Nj
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
AxGN j ???
NKN jdd ? A? x
m m
G
Nj
绳索中的动应力为
????? jdjddd KANKAN
?j 为静荷载下 绳索中的 静 应力
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
A? x
m m
G
Nj强度条件为
][??? ?? jdd K
K dj
][???
或
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
A? x
m m
G
Nj
当材料中的应力不超过
比例极限时荷载与变形
成正比
??? jdd K
?d 表示动 变形
?j 表示静 变形
结论
只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数
Kd 即得动载下的应力与变形。
例题 1
例题 1：一平均直径为 D 的薄圆环，绕通过其圆心且垂于环
平面的轴作等速转动。已知环的角速度为 ?,环的横截面面
积为 A，材料的容重为 ?。求圆环横截面上的正应力。
r o
?
因圆环很薄，可认为圆环上各
点的向心加速度相同，等于圆环中
线上各点的向心加速度。
?22D
r o
?
解：
因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。
r o
?
其上的惯性力集度为
g
DAD
g
Aq
d 2)2)(
1( 22 ????????
加在环上的惯性力必然是沿轴线
均匀分布的线分布力。
qd
Rd
g
DA
d
g
DA
d
D
qR
dd
2
s i n
4
s i n)
2
(
22
0
22
0
??
?????
??
?
??????
?
?
g
DAD
g
Aq
d 2)2)(
1( 22 ????????
g
DARN d
d 42
22??
??
g
D
A
N d
d 4
22??
???
o
qd
y
Nd Nd
)2( ?? dDqd
?
d?
Rd
g
D
A
N d
d 4
22??
???
o
pd
y
Nd Nd
)2( ?? dDqd
?
d?
g
v
d
??? 2
vD ??2 园环轴线上点的
线速度
强度条件是
][
2
????? gvd
在冲击过程中，运动中的物体称为 冲击物
阻止冲击物运动的构件，称为 被冲击物
三、冲击应力与变形
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受
阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用。
U dVT ??
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能。
Ud 是 被冲击物 所 增加的 应变能。
机械能守恒定律
1、自由落体冲击
假设：
（ 1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触后无反
弹，成为一个运动系统。
（ 3） 过程中只有位能，动能与应变能的转化，略去其它能
量
的损失。
（ 2）被冲击物的质量与冲击物相比很小可略去不计，冲击应
力瞬间传遍被冲击物，材料服从虎克定律。
已知：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落,与一块和
直杆 AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积为 A。
求,杆的冲击应力 。
A
P
B
A
Bd?
dP
A
P
B
重物是冲击物，杆 AB（包括圆盘）是被冲击物。
A
Bd?
dP
A
P
B
冲击物减少的势能,)( ??? hPV d
动能无变化,0?T
AB 增加的应变能,?? ddd PU
2
1
A
Bd?
dP
A
P
B
EA
lPd
d
???
? ? ddd PhP ???? 21根据能量守恒定理：
?? dd lEAP ???? 2)(2121 dddd lEAPU
A
Bd?
dP
A
P
B
EA
lP
st
???
? ? ???? 2)(21 dd lEAhP
?? stlEAP
A
B
P
st?
A
Bd?
dP
A
P
B
A
B
P
st?
0222 ??????? hstdstd
???
?
???
?
???
st
std
h211
?
??
A
Bd?
dP
A
P
B
A
B
P
st?
???
?
???
? ???
st
std
h211
???
???
?
???
? ???
st
d
h211k
?
称为自由落体冲击的动荷系数
A
P
B
A
B
A
Bd?
dP P
st?
??? stdd K
PKP dd ??
??? stdd K
??? stdd K
PKP dd ??
??? stdd K
???
?
???
?
???
st
d
h211k
?
?St 为冲击物以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移。
动荷系数：
冲击载荷：
冲击应力：
冲击变形：
（ 8－ 5）
（ 8－ 4）
例题, 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲击
已知弹簧刚度 K=100KN/mm,h=50mm,G=1KN，钢梁的
I=3.04× 107mm4,W=3.09 × 105mm3,E=200GPa。试比较
两者的冲击应力。
G
h
l/2 l/2
G
h
l/2 l/2
G
h
l/2 l/2
l/2 l/2
G
解：冲击点的静位移
mmEIGlst 1027.848 23 ???? ?
8.34211 ?????
st
d
hK
M P aWGlst 43.24 ???
M P aK stdd 5.84?????
解：冲击点的静位移
mmKGEIGlst 08.5248 3 ????
55.5211 ?????
st
d
hK
M P aWGlst 43.24 ???
M P aK stdd 5.13?????
G
h
l/2 l/2
G
l/2 l/2
例 题, 图示钢索下端挂重 G=50KN 的物体，其上端绕于
可自由转动的滑轮上，物体以 v=1m/s 匀速下降，当钢索长
度 l=20m 时，将滑轮突然制动，已知钢索材料的弹性模量
E=170GPa，钢索横截面面积为 A=500mm2，重力加速度
g=9.8m/s2,试求动荷系数 Kd 及钢索中动应力 ?d 。
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
解：（ 1）冲击过程中重物
所减少的能量
g
PT
2
2?
?
?d为滑轮被卡住后长为
l 的吊索在 冲击 荷载 Pd
作用下的总伸长
?j为滑轮被卡住前一瞬
间由于重物 P 所引起的
静伸长
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
冲击物位能的减少为
)( ?? jdPV ??
)(2
2
??? jdPgPVT ????
冲击物在冲击过程中
减少的总能量
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
（ 2）计算在冲击过程
中吊索内所增加的应变能
滑轮被卡住前一瞬间，
吊索内已有应变能
? jP21
滑轮被卡后吊索内应变能
?ddP21
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
冲击过程中吊索内所增加
的应变能
?? jdd PPU 2121 ??
????? jddjd PPPgP 2121)(2
2
????
由能量守恒定律
EA
lP d
d ?? EA
lP
j ??
02
2
2 ??? ????? jdjd
g
????? jd
j
jd Kg ???? )1(
2
????? jd
j
jd Kg ???? )1(
2
95.311
22
????? GlEAggK
j
d
?
?
?
M P aAGKK djdd 39 5????? ??
B
A
二,水平冲击
已知：等截面杆 AB在 C 处受一重量为 G，速度为 v 的物体沿
水平方向冲击 。
C
v
求：杆在危险点处的 ?d 。
22
2
1
2
1 v
g
PmvT ??
解：
冲击过程中小球 动能减少 为
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
位能 没有改变
V = 0
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
ddd PU ?? 2
1
杆应变能的可用冲击力
Pd 所 作的功 表示。
?d是被 击 点处的 冲击 挠度
EI
aP d
d 3
3?
?
?? dd aEIP 33 ???? 23 )3(2121 dddd aEIPU
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
由机械能守恒定律
UVT d??
?? 23
2
)3(212 daEIgPv
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ??
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ??
B
A
C
?st
EI
Pa
st 3
3?
? 冲击物的重量 P以 静载方式 作用
在冲击点时,冲击点 的静位移
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ?? EI
Pa
st 3
3?
?
????? g
v
EI
Pa
g
v
st
std
232
)3(
???
??
g
vK
stst
d
d
2
Kd称为水平冲击时的动荷系数
??? stdd K
??? stdd K
B
A
C
v
B
A
C
?st
当杆受 静水平力 P 作用时，
杆的固定端外缘是危险点。
W
Pa
W
M
st ??? m ax
?st 是所求点处的静应力。
B
A
C
v
B
A
C
?st
杆危险点处的 冲击应力 为
W
Pa
g
vK
st
stdd ??????
2
§ 8－ 2 交变应力与疲劳失效
一，交变应力
火车轮轴上的力来自车箱。大小，方向基本不变。
即弯矩基本不变。
P P
? ?t
P P
横截面上 A点到中性轴的距离却是随时间 t 变化的。
假设轴以匀角速度 ?转动。
try ?? sin
z
A
? ?t
P P
try ?? sin
z
A
A的弯曲正应力为：
tI rMI yM ?????? s in
? ?t
P P
z
A
tI rMI yM ?????? s in
?是随时间 t 按 正弦曲线变化的
t
?
?1
?2
?3
?4
?1
交变应力,随时间作周期性变化的应力。
二, 疲劳破坏
1，金属材料在 交变应力 作用下的破坏。有以下特点：
（ 1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度
极限值，但经历时间长。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为
脆性断裂，无明显塑性变形。
（ 3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。
裂纹萌生
裂纹扩展
扩展到临界尺寸瞬时断裂
2、疲劳过程一般分三个阶段：
交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异，故表
征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同。
下图为交变应力下具有代表性的 正应力 — 时间曲线 。
* 交变应力的循环特征，应力幅和平均应力
t
?
o
一个应力循环
基本参数
应力每重复变化一次，称为 一个应力循环
r 表示 交变应力的 循环特征
t
?
o
一个应力循环
?max
?min
在拉，压或弯曲交变应力下 ?
??
max
minr
在扭转交变应力下 ?
??
max
minr
t
?
o
一个应力循环
?max
?min
??
最大应力和最小应力的差值，称为交变应力的 应力幅 。
??????
??????
m inm a x
m inm a x
注意
最大应力和最小应力都是代正负号的，这里以 绝对值
较大者为最大应力，并规定它为正号，而与正号应力
反向的最小应力则为负号。
t
?
o
?max
?min
1，在交变应力下若最大应力与小等值而反号
（ ?min = - ?max 或 ? min = - ? max ）
1
m a x
m in ??
?
??r
r= -1 时的交变应力，称为 对称循环 交变应力。
t
?
o ?max
?min=0
2,时的交变应力，称为 非对称循环 交变应力。1??r
（ 1）若 非对称循环 交变应力中的最小应力等于零（ ?min）
0
m a x
m in ?
?
??r
r=0 的交变应力，称为 脉动循环 交变应力
（ 2） r > 0 为同号应力循环； r < 0 为异号应力循环。
（ 3）构件在静应力下，各点处的应力保持恒定，即 ?max= ?min 。
若将静应力视作交变应力的一种特例，则其循环特征
1??r
一，疲劳强度
疲劳寿命,试样疲劳破坏时所经历的应力循环次数（ N）。
通过测定一组承受不同最大应力试样的疲劳寿命，以最大应力
?max 为纵坐标，疲劳寿命 N 为横坐标，即可绘出材料在交
变应力下的 应力 — 疲劳 寿命曲线，即 S-N 曲线。
§ 8— 3 持 久 极 限
750
650
550
410 610510 710 N
)MPa(m a x?
当最大应力降低至某一值后,S— N曲线趋一水平，
表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏，相应的
最大应力值 ?max 称为材料的 疲劳极限 或 耐劳极限 。用
?r 表示。
?r
二，对于铝合金等有色金属,S— N曲线通常没有明显
的水平部分，一般规定疲劳寿命 N0 = 5?106— 107
时的最大应力值为 条件疲劳极限,用 ?N0r。
N0 表示疲劳寿命
r 表示循环特征
如 ?-1 表示对称循环材料的疲劳极限。
第十二章
§ 12— 1 概述
§ 12— 2 动静法的应用
§ 12— 4 构件受冲击时的动应力计算
静荷载,荷载由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构
件内各质点加速度很小,可略去不计。
§ 8— 1 动荷应力
动荷载,荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳
定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较
大
一,概述
材料力学中将动荷载分为四类
(1) 构件做变速运动时应力与变形的计算
(2) 在冲击荷载作用下构件的应力与变形的计算
(3) 构件做强迫振动时应力的计算
(4) 交变应力
实验表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动
荷载下应力，应变的计算。弹性模量也与静载下的数值相同
二,动静法的应用
对作加速运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，
则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。
动静法（达朗伯原理）
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积，
方向与 a 的方向相反。
动静法在材料力学中的的应用
构件上除外加荷载外，再在构件的各点加上惯性力，
则可按求静荷载应力和变形的程序，求得构件的动
应力和动变形。
例题,一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设绳
索的横截面面积为 A,绳索单位体积的重量 ?,求距绳索下
端为 x 处的 mm 截面上的应力。
G
a x
m m
G
a x
m m
G
a
绳索的重力集度为, ? A
?A
G
a x
m m
G
a
?A
G
a
物体的惯性力为 ag
G
agG
绳索每单位长度的惯性力为 ag
A?
agA?
a x
m m
G
a
?A
G
a
agG
agA?
agAA ?? ?
agGG?
a x
m m
agAA ?? ?
agGG?
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
Kd Nj
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
静止时绳索 mm截面上
的轴力为
AxGN j ???
引入 g
aK
d ?? 1
则 NKN jdd ? Kd 称为动荷系数
A? x
m m
G
Nj
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
))(1( AxGgaN d ????
AxGN j ???
NKN jdd ? A? x
m m
G
Nj
绳索中的动应力为
????? jdjddd KANKAN
?j 为静荷载下 绳索中的 静 应力
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
A? x
m m
G
Nj强度条件为
][??? ?? jdd K
K dj
][???
或
agAA ?? ? x
m m
agGG?
Nd
A? x
m m
G
Nj
当材料中的应力不超过
比例极限时荷载与变形
成正比
??? jdd K
?d 表示动 变形
?j 表示静 变形
结论
只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数
Kd 即得动载下的应力与变形。
例题 1
例题 1：一平均直径为 D 的薄圆环，绕通过其圆心且垂于环
平面的轴作等速转动。已知环的角速度为 ?,环的横截面面
积为 A，材料的容重为 ?。求圆环横截面上的正应力。
r o
?
因圆环很薄，可认为圆环上各
点的向心加速度相同，等于圆环中
线上各点的向心加速度。
?22D
r o
?
解：
因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。
r o
?
其上的惯性力集度为
g
DAD
g
Aq
d 2)2)(
1( 22 ????????
加在环上的惯性力必然是沿轴线
均匀分布的线分布力。
qd
Rd
g
DA
d
g
DA
d
D
qR
dd
2
s i n
4
s i n)
2
(
22
0
22
0
??
?????
??
?
??????
?
?
g
DAD
g
Aq
d 2)2)(
1( 22 ????????
g
DARN d
d 42
22??
??
g
D
A
N d
d 4
22??
???
o
qd
y
Nd Nd
)2( ?? dDqd
?
d?
Rd
g
D
A
N d
d 4
22??
???
o
pd
y
Nd Nd
)2( ?? dDqd
?
d?
g
v
d
??? 2
vD ??2 园环轴线上点的
线速度
强度条件是
][
2
????? gvd
在冲击过程中，运动中的物体称为 冲击物
阻止冲击物运动的构件，称为 被冲击物
三、冲击应力与变形
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受
阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用。
U dVT ??
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能。
Ud 是 被冲击物 所 增加的 应变能。
机械能守恒定律
1、自由落体冲击
假设：
（ 1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触后无反
弹，成为一个运动系统。
（ 3） 过程中只有位能，动能与应变能的转化，略去其它能
量
的损失。
（ 2）被冲击物的质量与冲击物相比很小可略去不计，冲击应
力瞬间传遍被冲击物，材料服从虎克定律。
已知：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落,与一块和
直杆 AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积为 A。
求,杆的冲击应力 。
A
P
B
A
Bd?
dP
A
P
B
重物是冲击物，杆 AB（包括圆盘）是被冲击物。
A
Bd?
dP
A
P
B
冲击物减少的势能,)( ??? hPV d
动能无变化,0?T
AB 增加的应变能,?? ddd PU
2
1
A
Bd?
dP
A
P
B
EA
lPd
d
???
? ? ddd PhP ???? 21根据能量守恒定理：
?? dd lEAP ???? 2)(2121 dddd lEAPU
A
Bd?
dP
A
P
B
EA
lP
st
???
? ? ???? 2)(21 dd lEAhP
?? stlEAP
A
B
P
st?
A
Bd?
dP
A
P
B
A
B
P
st?
0222 ??????? hstdstd
???
?
???
?
???
st
std
h211
?
??
A
Bd?
dP
A
P
B
A
B
P
st?
???
?
???
? ???
st
std
h211
???
???
?
???
? ???
st
d
h211k
?
称为自由落体冲击的动荷系数
A
P
B
A
B
A
Bd?
dP P
st?
??? stdd K
PKP dd ??
??? stdd K
??? stdd K
PKP dd ??
??? stdd K
???
?
???
?
???
st
d
h211k
?
?St 为冲击物以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移。
动荷系数：
冲击载荷：
冲击应力：
冲击变形：
（ 8－ 5）
（ 8－ 4）
例题, 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲击
已知弹簧刚度 K=100KN/mm,h=50mm,G=1KN，钢梁的
I=3.04× 107mm4,W=3.09 × 105mm3,E=200GPa。试比较
两者的冲击应力。
G
h
l/2 l/2
G
h
l/2 l/2
G
h
l/2 l/2
l/2 l/2
G
解：冲击点的静位移
mmEIGlst 1027.848 23 ???? ?
8.34211 ?????
st
d
hK
M P aWGlst 43.24 ???
M P aK stdd 5.84?????
解：冲击点的静位移
mmKGEIGlst 08.5248 3 ????
55.5211 ?????
st
d
hK
M P aWGlst 43.24 ???
M P aK stdd 5.13?????
G
h
l/2 l/2
G
l/2 l/2
例 题, 图示钢索下端挂重 G=50KN 的物体，其上端绕于
可自由转动的滑轮上，物体以 v=1m/s 匀速下降，当钢索长
度 l=20m 时，将滑轮突然制动，已知钢索材料的弹性模量
E=170GPa，钢索横截面面积为 A=500mm2，重力加速度
g=9.8m/s2,试求动荷系数 Kd 及钢索中动应力 ?d 。
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
解：（ 1）冲击过程中重物
所减少的能量
g
PT
2
2?
?
?d为滑轮被卡住后长为
l 的吊索在 冲击 荷载 Pd
作用下的总伸长
?j为滑轮被卡住前一瞬
间由于重物 P 所引起的
静伸长
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
冲击物位能的减少为
)( ?? jdPV ??
)(2
2
??? jdPgPVT ????
冲击物在冲击过程中
减少的总能量
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
（ 2）计算在冲击过程
中吊索内所增加的应变能
滑轮被卡住前一瞬间，
吊索内已有应变能
? jP21
滑轮被卡后吊索内应变能
?ddP21
A
B
G
l
A
B
G
l
?d
?j
冲击过程中吊索内所增加
的应变能
?? jdd PPU 2121 ??
????? jddjd PPPgP 2121)(2
2
????
由能量守恒定律
EA
lP d
d ?? EA
lP
j ??
02
2
2 ??? ????? jdjd
g
????? jd
j
jd Kg ???? )1(
2
????? jd
j
jd Kg ???? )1(
2
95.311
22
????? GlEAggK
j
d
?
?
?
M P aAGKK djdd 39 5????? ??
B
A
二,水平冲击
已知：等截面杆 AB在 C 处受一重量为 G，速度为 v 的物体沿
水平方向冲击 。
C
v
求：杆在危险点处的 ?d 。
22
2
1
2
1 v
g
PmvT ??
解：
冲击过程中小球 动能减少 为
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
位能 没有改变
V = 0
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
ddd PU ?? 2
1
杆应变能的可用冲击力
Pd 所 作的功 表示。
?d是被 击 点处的 冲击 挠度
EI
aP d
d 3
3?
?
?? dd aEIP 33 ???? 23 )3(2121 dddd aEIPU
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
由机械能守恒定律
UVT d??
?? 23
2
)3(212 daEIgPv
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ??
B
A
C
v
B
A
C G
?d
Pd
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ??
B
A
C
?st
EI
Pa
st 3
3?
? 冲击物的重量 P以 静载方式 作用
在冲击点时,冲击点 的静位移
)3(
32
EI
Pa
g
v
d ?? EI
Pa
st 3
3?
?
????? g
v
EI
Pa
g
v
st
std
232
)3(
???
??
g
vK
stst
d
d
2
Kd称为水平冲击时的动荷系数
??? stdd K
??? stdd K
B
A
C
v
B
A
C
?st
当杆受 静水平力 P 作用时，
杆的固定端外缘是危险点。
W
Pa
W
M
st ??? m ax
?st 是所求点处的静应力。
B
A
C
v
B
A
C
?st
杆危险点处的 冲击应力 为
W
Pa
g
vK
st
stdd ??????
2
§ 8－ 2 交变应力与疲劳失效
一，交变应力
火车轮轴上的力来自车箱。大小，方向基本不变。
即弯矩基本不变。
P P
? ?t
P P
横截面上 A点到中性轴的距离却是随时间 t 变化的。
假设轴以匀角速度 ?转动。
try ?? sin
z
A
? ?t
P P
try ?? sin
z
A
A的弯曲正应力为：
tI rMI yM ?????? s in
? ?t
P P
z
A
tI rMI yM ?????? s in
?是随时间 t 按 正弦曲线变化的
t
?
?1
?2
?3
?4
?1
交变应力,随时间作周期性变化的应力。
二, 疲劳破坏
1，金属材料在 交变应力 作用下的破坏。有以下特点：
（ 1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度
极限值，但经历时间长。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为
脆性断裂，无明显塑性变形。
（ 3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。
裂纹萌生
裂纹扩展
扩展到临界尺寸瞬时断裂
2、疲劳过程一般分三个阶段：
交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异，故表
征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同。
下图为交变应力下具有代表性的 正应力 — 时间曲线 。
* 交变应力的循环特征，应力幅和平均应力
t
?
o
一个应力循环
基本参数
应力每重复变化一次，称为 一个应力循环
r 表示 交变应力的 循环特征
t
?
o
一个应力循环
?max
?min
在拉，压或弯曲交变应力下 ?
??
max
minr
在扭转交变应力下 ?
??
max
minr
t
?
o
一个应力循环
?max
?min
??
最大应力和最小应力的差值，称为交变应力的 应力幅 。
??????
??????
m inm a x
m inm a x
注意
最大应力和最小应力都是代正负号的，这里以 绝对值
较大者为最大应力，并规定它为正号，而与正号应力
反向的最小应力则为负号。
t
?
o
?max
?min
1，在交变应力下若最大应力与小等值而反号
（ ?min = - ?max 或 ? min = - ? max ）
1
m a x
m in ??
?
??r
r= -1 时的交变应力，称为 对称循环 交变应力。
t
?
o ?max
?min=0
2,时的交变应力，称为 非对称循环 交变应力。1??r
（ 1）若 非对称循环 交变应力中的最小应力等于零（ ?min）
0
m a x
m in ?
?
??r
r=0 的交变应力，称为 脉动循环 交变应力
（ 2） r > 0 为同号应力循环； r < 0 为异号应力循环。
（ 3）构件在静应力下，各点处的应力保持恒定，即 ?max= ?min 。
若将静应力视作交变应力的一种特例，则其循环特征
1??r
一，疲劳强度
疲劳寿命,试样疲劳破坏时所经历的应力循环次数（ N）。
通过测定一组承受不同最大应力试样的疲劳寿命，以最大应力
?max 为纵坐标，疲劳寿命 N 为横坐标，即可绘出材料在交
变应力下的 应力 — 疲劳 寿命曲线，即 S-N 曲线。
§ 8— 3 持 久 极 限
750
650
550
410 610510 710 N
)MPa(m a x?
当最大应力降低至某一值后,S— N曲线趋一水平，
表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏，相应的
最大应力值 ?max 称为材料的 疲劳极限 或 耐劳极限 。用
?r 表示。
?r
二，对于铝合金等有色金属,S— N曲线通常没有明显
的水平部分，一般规定疲劳寿命 N0 = 5?106— 107
时的最大应力值为 条件疲劳极限,用 ?N0r。
N0 表示疲劳寿命
r 表示循环特征
如 ?-1 表示对称循环材料的疲劳极限。
