第 六章
扭 转
§ 6— 1 概述
§ 6— 3 传动轴的外力偶矩 ? 扭矩及扭矩图
§ 6— 2 薄壁圆筒的扭转（虎克定律）
§ 6— 4 圆轴在扭转时的应力 ? 强度条件
§ 6— 5 圆轴扭转时的变形 ? 刚度条件
扭转 的受力特点, 在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁
及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。
§ 6 - 1 概 述
扭转受力简图
扭转 的变形特点, 杆件的任意横截面都发生绕
杆件轴线的相对转动。
m m
一,薄壁筒扭转的应力
用截面法求任一横截面 n— n 上的内力
m m
ln
n
§ 6— 2 薄壁筒的扭转（虎克定律）
m n
n
m m
ln
n
Mn
横截面上的应力只能是 剪应力 。
薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩，记作 Mn。
m m
预先在圆筒的表面画上
等间距的纵向线和圆周
线，从而形成一系列的
正方格子。
观察到的现象
试验
所有的圆周线都保持不变；
所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。
m m设想
薄壁圆筒扭转后，横截面保
持为形状，大小均无改变的
平面，相邻两横截面绕圆筒
轴线发生相对转动。
横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。
m m
A
B C
D
?
?
圆筒两端截面之间相对
转动的角位移，称为
相对扭转角,用 ?表示。
圆筒表面上每个格子的
直角的改变量,称为
剪应变 。用 ?表示 。
dx t
A
B C
D
圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认
为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。
m m
A
B C
D
?
??
?
C
C1
D1
m n
n
x
r
推导公式
由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处
的剪应力 ?都是相等的，而其方向于圆周相切。
τ dA
Mt)r(rdArrdA nAA ???????????? ?? 2
r 为薄壁圆筒平均半径
m n
n
x
r
τ dA
Mn
tr2
M
2
n
?
??
上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式
m n
n
x
r
τ dA
Mn
薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致。
Mnτ
τ
τ
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
(1) 在单元体左，右面（杆的横
截面）上只有剪应力，其方向于
y 轴平行。
可知，两侧面的内力元素 ? dy dz 大小相等，方向相反，
将组成一个力偶。
二,剪应力互等定理
由平衡方程
? ? 0y
(? dy dz) dx
其矩为
0?? x
0?? M Z
(2) 要满足平衡方程 x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
在单元体的上，下两平面上必有
大小相等，指向相反的一对
内力元素
dxdzτ ?
它们组成的力偶，其矩为
dz)d x d y(??
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
此力偶矩与前一力偶矩
数量相等而转向相反，从而可得
????
dz)d x d y(??
(? dy dz) dx
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
（ 6－ 2）
剪应力互等定理,
单元体两个相互垂直平面上
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
两平面的交线。
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
纯剪切应力状态,
单元体平面上只有剪应力
而无正应力，则称该单元体
为纯剪切应力状态。
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
式中,r 为薄壁圆筒的外半徑
m m
A
B C
D ?
l l
rlrtg ????????
?
三，剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
m m
A
B C
D ?
l
?
薄壁圆筒的扭转 试验发现，
当外力偶 m 在某一范围内
时,φ与 m （在数值上等
于 Mn ）成正比
Mn
o ?
o
?
?
??? G
tr
M n
??? 2 2 l
r???
从 Mn与 ?之间的线性关系，
可推出 ?与 ? 间的线性关系。
该式称为材料的 剪切胡克定律
（ 6－ 3）
G 称为材料的 剪切弹性模量 。其常用单位是 G Pa。
剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服 ?S
极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。
??? G
拉 (压 )，剪切弹性模量与泊松比的关系
)1(2 μ
EG
?? （ 6－ 4）
理论和实验研究表明，对于各向同性材料，它们
存在如下关系：
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
四，等直圆杆扭转时的应变能
1，纯剪切应力状态下的比能
?
假设单元体左侧固定，
因此变形后右侧将向下
移动 ?dx。
?dx
因为变形很小，所以在变形过
程中，认为上，下两面上的外
力将不作功 。 只有右侧面的外
力 (?dydz) 对相应的位移 ?dx 作
了功 。
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
?
?dx
当材料在线弹性范围内内工作时，
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为 )(
2
1))((
2
1 d x d y d zdxd y d zdW ??????
?????? 21d x d y d zdWdVdWdVdUu
比能为
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
?
?dx
将 ? = G? 代如上式得
G
Gu
22
2
2 ????
τγ21?u
思考题：指出下面图形的剪应变
?
2?剪应变为 剪应变为 0
§ 6— 3 外力偶矩 ? 扭矩和扭矩图
从动轮 主动轮 从动轮
n
m2 m1 m3
1,传动轴的外力偶矩
从动轮 主动轮 从动轮
n
m2 m1 m3
一传动轴，转速为 n转 /min,轴传递的功率由主动
轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功
率为 Nk千瓦（ KW),则作用在该轮上的外力偶矩 m可按
以下方法求得 。
n —— 轴的转速 ( r/min )
m—— 作用在轴上的力偶矩,( N.m )
P —— 轴传递的功率,(kW)
).(9 55 0 mN
n
Pm ? （ 6－ 1）
n
n
m m
? x
m
? x
在 n— n截面处假想将轴
截开取左侧为研究对象
分析图示圆轴任一横截面
n— n上的内力。仍用 截面法 。
11，扭矩和扭矩图
n
n
m m
? x
m
? x
Mn
横截面上的内力应是一个
力偶称为该横截面上 扭矩
0?? m x
mM n ?
m
? x?
Mn
取右侧为研究对象
其扭矩与取左侧为研究对象
数值相同但转向相反。
m
? x?
n
n
m m
? x
Mn
m
? x
Mn
右手螺旋法则：当力偶矩矢的
指向背离截面时扭矩为正，
反之为负。
扭矩符号的规定
+
+
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于
杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示
扭矩与截面位置关系的图线,称为扭矩图。
例题 1
m4
A
B C D
m1
m2 m3 n
例题 1：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min,主动轮输
入的功率为有 N1 = 500 kW 。 若不计轴承摩擦所耗的功率，
三个从动轮输出的功率分别为 N2 = 150 kW, N3 = 150 kW
及 N4 = 200 kW。试做扭矩图。
解,计算外力偶矩 mkNm,9.151 ?
mkNm
k N,m.mm
.37.6
784
4
32
?
??
AB C D
m1m2 m3 m4
A
B C D
m1
m2 m3 n
AB C D
m1m3 m4m2
2
2
计算 CA 段内任横一截面
2-2 截面上的扭矩 。假设
M n2为正值。
结果为负号，说明 M n2 应是负值扭矩
B C
x
m2 m3 Mn2
由平衡方程
(-)
0,0 232 ????? Mmm nxm
mkNmmM n ?????? 56.9)( 322
AB C D
m1m3 m4m2同理，在 BC 段内
mKN.-m-M n ??? 78421
在 AD 段内
mKN.mM n ??? 37643
1
1 3
3
m4M
n3
m2 Mn1
注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算结果
符号相同。
(-)
(+)
mKNM n,78.41 ??
mKNM n,37.63 ?
mKNM n ?? 56.9m a x
+
4.78
9.56
6.37
从图可见，最大扭矩
在 CA段内。
AB C D
m1m2 m3 m4
作出扭矩图
mkNM n ??? 56.92
§ 6— 4 等直圆轴扭转时的应力 ? 强度条件
预先在圆杆的表面画上
等间距的纵向线和圆周线,
从而形成一系列的正方格子。
1, 横截面上的应力
m
m
?
?
试验结果：
等直圆杆扭转变形后，
两圆周线绕杆件的轴线相对
旋转了一个角度, 两圆周线的
形状和大小均未改变 ;
在变形微小的情况下，
纵向线则倾斜了一个
相同的角度 ?
刚性平面假设, 变形前轴的圆形横截面,在变形后仍保持
为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。
m
m
?
?
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
几何方面
倾角 ? 是横截面圆周上任一
点 A 处的剪应变,d?是 b— b
截面相对于 a— a截面象刚性
平面一样绕杆轴转动的一个
角度。
?d
经过半径 O2D 上任一
点 G的 纵向线 EG 也倾
斜了一个角度 ??它也就
是横截面半径上任一点
E 处的剪应变
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
dx
d
EG
G G 'tg ???????
??
dx
d ???
? ?
此时式说明,同一半径 ?
圆周上各点剪应变 ?? 均相
同,且其值与 ? 成正比。
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
物理方面
由剪切胡克定律
?? G?
dx
dGG ????
?? ??
同一圆周上各点剪应力
??均相同,且其值与 ?
成正比, ?? 垂直与半径。
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
静力学方面
整个横截面上的内力元素 ??
的合力必等于零，并组成
一个力偶这就是横截面上的
扭矩 Mn。
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
MdAdxd φρGρ nA ?? ????
dAM An ?? ? ??
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
dx
dGG ??????
??
PA IdAρ ?? 2
MdAdxdG nA ?? ?? 2
GI
M
dx
d
P
n??
（ 6－ 6）
只与圆轴的横截面尺
寸有关，它表示截面的一
种几何性质，称为横截面
的 极惯矩。
I
M
p
n ???
?
dx
dGG ??????
??
GI
M
dx
d
P
n??
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式
由
（ 6－ 6）
? ?? Ap dAI 2
称为横截面对圆心的 极惯性矩
式中,Mn为横截面上的扭矩；
?为求应力的点到圆心的距离：
I
M
p
n ???
?
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
(1) 横截面周边各点处，剪应
力将达到最大值。圆心处的
剪应力为零。剪应力与 ?成
正比。且垂直于半径。指向
与 Mn的转向一至。分布图如
图 所示。
说明：
I
M
p
n ???
?
?max
?
?
m a x
IW p
n
n
n
P
n
P
n
W
M
I
M
I
M
?
?
?
?
??
m a x
m a x
m a x
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
?max
Wn 称作抗扭截面系数，单位为 mm3或 m3。
dAI AP ? ?? 2
抗扭截面 模量 公式
11,极惯性矩及 抗扭截面模量
极惯性矩公式
?
?
m a x
I
W pn
?? m a x
IW p
n
d o
实心圆截面
)(2 ???? ddA
?
??
dAI AP ? ?? 2
32
4
2 ddAI
AP
??? ??
16
2
32
2
3
4
m ax
d
d
d
d
II
W PPt
?
?
?
??
?
?
D d o
?
??
空心圆截面
其中 D
d??
?? ???? ?? ddAI AAP 32 2
)-1(3232 4
4
44 ???? D)d-D(π
)1(
16
2
32
)(
2
4
3
44
m ax
??
?
?
??
??
?
?
D
D
dD
D
II
W PPt
圆轴扭转时, 杆内各点均处于纯剪切应力状态。其
强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力 ?max 不超过
材料的许用剪应力 [?]。
111，圆轴扭转时的强度条件
一，强度条件
圆轴扭转时的最大工作剪应力 ?max 发生在最大扭矩所在
横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）,
][m axm ax ????
W
M
n
n
根据上述条件，可以解决三个方面的问题,
（ 1）强度校核 （ 2）截面设计 （ 3）确定许可荷载
强度条件为
例题 2
例题 3
例题 4
例题 2,图示阶梯圆轴,AB段的直径 d1 =120 mm
,BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m，
mB = 36 kN.m, mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力 [?]
= 80MPa，试 校核该轴的强度。
A B C
mA mB mC
A B C
mA mB mC
解, 作轴的扭矩图
+
22
14
mA = 22 kN。 m，
mB = 36 kN。 m
mC =14 kN。 m
][84.64
16
)12.0(
1022
16
3
3
3
1
1
1
1
m a x1 ????
??
?
??? M P a
d
M
W
M nn
][3.71
16
)1.0(
1014
16
3
3
3
2
2
2
2
m a x2 ????
??
?
??? M P a
d
M
W
M nn
因此，该轴满足强度要求。
A B C
mA mB mC
+
22
14
分别校核两段轴的强度
例题 3
例题 4
例题 3,实心圆轴 １ 和空心圆轴 ２ （图 a,b）材料、扭转力
偶矩 m 和长度 l 均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内
外径之比为 ? = 0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径
之比及两轴的重量比。（教材习题 6－ 3）
l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
解：设实心圆截面直径为 d1，
空心圆截面的内、外径分别
为 d2,D2 ; 又扭转力偶矩
相等，则两轴的扭矩也相等，
设为 Mn 。 l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
2m a x1m a x ?? ?
已知：
21 tt WW ?得
2
2m a x
1
1m a x
t
n
t
n
W
M
W
M
??
??
21 t
n
t
n
W
M
W
M ? l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
16
)1(
16
43
2
2
3
1
1
???
?
?
?
D
W
d
W
t
t
16
)1(
16
43
2
3
1 ??? ?? Dd
因此
194.18.01 13 4
1
2 ?
??d
D解得
l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的
横截面积之比,
512.0)8.01(194.1
)1(
4
)(
4 22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2 ???
??
?
?
?
?
?
d
D
d
dD
A
A
在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴
轻，即节省材料。
例题 4
例题 4：图示空心圆轴外径 D=100mm，内径 d=80mm，
m1=6KN.m,m2=4KN.m，材料的剪切弹性模量
G=80GPa。
(1) 画轴的扭矩图
(2) 求轴的最大剪应力，并指出其位置
m1 m2
A B C
l l
(1) 画轴的扭矩图
m1 m2
A B C
l l
BC段：
1
m2
C
Mn1
Mn1+m2=0
(-)
2
m2
C
m1
B
Mn2
Mn2+m2-m1=0
Mn2 =2KN.m
AB段：
(+)
4KN.m
-
+
2KN.m
Mn1 = -4KN.m
最大扭矩发生在 BC段
Mnmax=4KN.m
(2) 求轴的最大剪应力，
并指出其位置
m1 m2
A B C
l l M P a
D
M
W
M n
t
n 5.34
)1(
16
4
3
m axm ax
m ax ?
???
???
?max最大剪应力发生在截面的周边上
，且垂直于半径。
（ 1）圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 ?来度量的
§ 6— 5 圆轴扭转时的变形 ? 刚度条件
GI
M
dx
d
p
n??
是计算等直圆杆相对扭转角的依据。
1，扭转时的变形
GI
M
dx
d
p
n??
dxGIMdφ l
p
n
l ??? ??
其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。
长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 ?可按下式计算
dx
GI
Mdφ
l
p
n
l ??? ??
对于同一材料制成的等直圆轴（ G, Ip 为常量），当
只在两端受一对外力偶作用时（ Mn 为常量 ）,从上
式可得
P
n
GI
lM??
GIP 称作 抗扭刚度
（ 6－ 16）
)( mr a d
GI
M
dx
d
P
n????
（ 2）单位长度扭转角
（ 6－ 17）
在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角 ?max 不
超过许可 扭转角 [?] 。
][m ax ???
[?] 称作许可 单位长度扭转角。
11，刚度条件
圆轴扭转时的刚度条件是
)(][m axm ax mr a dGIM
P
n ????
? ? )(1 8 0 0m axm ax mGIM
P
n ??
?
???? 例题 5
例题 6
例题 7
例题 5,图示传动轴系钢制实心圆截面轴
。已知,m
1 =1592 N ? m,m2 = 955 N?m, m3 = 637 N ? m
截面 A与截面 B,C之间的距离分别为 lAB = 300 mm
和 lAC = 500 mm。轴的直径 d = 70 mm，钢的剪变
模
量为 G =80 GPa。试求截面 C 对截面 B 的对扭转角
m1m2 m3
lAB lACB CA
1 2
m1m2 m3
lAB lAC
B CA
1 2
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?
解法 1：假设 A截面不动，先分别计算截面 B,C 对截
面 A 的相对扭转角 φAB 和 φAC 。
φAB
ra d
GI
lM
P
ABn
AB
3
49
1
1052.1
07.0
32
1080
3.0955 ?
??
?
?
??
?
?
??
与 m2 转向同
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?φAB
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?
ra d
GI
lM
P
ACn
AC
3
49
2
1069.1
07.0
32
1080
5.0637 ?
??
?
?
??
?
?
??
与 m3 转向同
?AC
φAB
截面 C 对截面 B 的相对扭转角 φBC 为
r a d.φφφ ABACBC 41071 ?????
转向与 m3 相同
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
? ?
AC
φAB
AB C
m1?
??
? 1BC
GI
lm
P
AB
BABC
1
1 ????
解法 2,设截面 B固定不动
,先分别计算 m1,m3 单独
作用下截面 C 对截面 B 的
相对扭转角 φ BC1 和 φBC2，
然后叠加，即采用 叠加法 。
m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角 φ BC1
21 BCBCBC φφφ ??
IG
llm
P
ACAB
BC
)( ??? 3
2φ
r a d1071 4-???,
AB C
m3
φ 2BC
GI
lm
P
AB1?
IG
llm
P
ACAB )( ??? 3
转向与 m3同
m3单独作用下截面 C 对
截面 B 的相对扭转角 φBC2，
C 截面对截面 B 的相对
扭转角
m1
AB C
lAB lAC
解法 3,设截面 B 固定不动
????? BAACBC
m3
C
mAC
mAC = - m3
GI
lm
GI
lm
P
AC
P
ACAC
AC
???? 3
m2
m2
A
m3
mAB
mAB = m2
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
ABAB
BA
2???
m1
AB C
lAB lAC
????? BAACBC
m3
C
mAC
GI
lm
GI
lm
P
AC
P
ACAC
AC
???? 3
m2
m2
A
m3
mAB
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
ABAB
BA
2???
????? BAACBC
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
AC 23 ???
rad107.1 4??? ?
转向与 m3 同
例题 6,某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，
钢管外径 D=76mm，壁厚 t=2.5mm，轴传递的转矩 m=1.98KNm,
材料的许用剪应力 [?] = 100MPa,剪变模量为 G = 80GPa,
轴的 许可 扭角 [?] = 2 ?/m 。试校核轴的 强度和刚度。
Dd
t
m m
Dd
t
m m
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
K N mmM n 98.1??
轴的内，外径之比
9 3 4.02 ????? D tDDd
mmDIW pn 341006.22 ???
mmDI P 45
44
1082.732 )1( ??????
Dd
t
m m
由 刚度条件
][81.11 8 0
0m ax
m ax ????
????
mGI
M
P
n
][1.96m axm ax ????? MP aWM
n
n
由 强度条件
M P a
d
M n
1.96
16
3
m ax
m ax ????
将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 ?max=96.1MPa
d=47.2mm实心轴的直径为
实心轴的截面面积为 mmdA 1 7 4 94 2
2 ???
实
空心轴的截面面积为 mmA 5 7 74
)7176( 222 ????
空
两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的
横截面积之比,
512.0)8.01(194.1
)1(
4
)(
4 22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2 ???
??
?
?
?
?
?
d
D
d
dD
A
A
在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴
轻，即节省材料。
例 题 7,轴上有三个齿轮。轴的转速为 n=183.5r/min,
G=80GPa,.齿轮 2 的传动功率 P2=0.756KW，
齿轮 4 的传动功率 P4=2.98K W。 轴的
[?]=40MPa,[?]=1.50/m。设计轴的直径。
m2 m3 m4
m2 m3 m4 mNm ?? 3.392
mNm ?? 1554
画轴的扭矩图 +
-
39.3N.m
155N.m
mNM n ?? 1 5 5m a x
+
-
39.3N.m
155N.m ? ??????? 163
m axm axm ax
D
M
W
M n
n
n
由强度条件
mD 0 2 7 20,?
由刚度条件
? ???
?
??
?
?
?
??? 180
32
180
4
m a xm a x
m a x
DG
M
GI
M n
P
n
mD 02970,? 取 D=30mm
mNM n ?? 1 5 5m a x
本讲总结：
1、根据求 M＝ 9550P/n (单位 N.m)求外力偶矩
2、根据力矩平衡条件用截面法求各截面扭矩，作扭矩图
3、只受扭矩圆轴的任一横截面内只存在纯剪应力，其分布
如图：
即截面内任一点的剪应力与其到
圆心的距离 ρ成正比且与 ρ垂直。
最大剪应力发生在截面的周边上，
且垂直于半径。
?m
ax
n
n
W
M?
m a x?I
M
p
n ??
? ? ?
m a x
IW p
n ?
PA IdAρ ??
2
32
4d
I P ?? 16
3d
W t ?? )-1(32 4
4
??? DI ? )1(16 43 ?? ?? DW t
截面内扭矩 横截面极惯矩
抗扭截面模量
α =D/d
作 业
? P78页：思考题全看
? P79页，习题,6－ 1； 6－ 3； 6－ 5
扭 转
§ 6— 1 概述
§ 6— 3 传动轴的外力偶矩 ? 扭矩及扭矩图
§ 6— 2 薄壁圆筒的扭转（虎克定律）
§ 6— 4 圆轴在扭转时的应力 ? 强度条件
§ 6— 5 圆轴扭转时的变形 ? 刚度条件
扭转 的受力特点, 在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁
及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。
§ 6 - 1 概 述
扭转受力简图
扭转 的变形特点, 杆件的任意横截面都发生绕
杆件轴线的相对转动。
m m
一,薄壁筒扭转的应力
用截面法求任一横截面 n— n 上的内力
m m
ln
n
§ 6— 2 薄壁筒的扭转（虎克定律）
m n
n
m m
ln
n
Mn
横截面上的应力只能是 剪应力 。
薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩，记作 Mn。
m m
预先在圆筒的表面画上
等间距的纵向线和圆周
线，从而形成一系列的
正方格子。
观察到的现象
试验
所有的圆周线都保持不变；
所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。
m m设想
薄壁圆筒扭转后，横截面保
持为形状，大小均无改变的
平面，相邻两横截面绕圆筒
轴线发生相对转动。
横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。
m m
A
B C
D
?
?
圆筒两端截面之间相对
转动的角位移，称为
相对扭转角,用 ?表示。
圆筒表面上每个格子的
直角的改变量,称为
剪应变 。用 ?表示 。
dx t
A
B C
D
圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认
为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。
m m
A
B C
D
?
??
?
C
C1
D1
m n
n
x
r
推导公式
由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处
的剪应力 ?都是相等的，而其方向于圆周相切。
τ dA
Mt)r(rdArrdA nAA ???????????? ?? 2
r 为薄壁圆筒平均半径
m n
n
x
r
τ dA
Mn
tr2
M
2
n
?
??
上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式
m n
n
x
r
τ dA
Mn
薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致。
Mnτ
τ
τ
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
(1) 在单元体左，右面（杆的横
截面）上只有剪应力，其方向于
y 轴平行。
可知，两侧面的内力元素 ? dy dz 大小相等，方向相反，
将组成一个力偶。
二,剪应力互等定理
由平衡方程
? ? 0y
(? dy dz) dx
其矩为
0?? x
0?? M Z
(2) 要满足平衡方程 x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
在单元体的上，下两平面上必有
大小相等，指向相反的一对
内力元素
dxdzτ ?
它们组成的力偶，其矩为
dz)d x d y(??
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
此力偶矩与前一力偶矩
数量相等而转向相反，从而可得
????
dz)d x d y(??
(? dy dz) dx
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
（ 6－ 2）
剪应力互等定理,
单元体两个相互垂直平面上
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
两平面的交线。
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
纯剪切应力状态,
单元体平面上只有剪应力
而无正应力，则称该单元体
为纯剪切应力状态。
x
y
dy
a
b
d
z dx
c
??
??
??
式中,r 为薄壁圆筒的外半徑
m m
A
B C
D ?
l l
rlrtg ????????
?
三，剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
m m
A
B C
D ?
l
?
薄壁圆筒的扭转 试验发现，
当外力偶 m 在某一范围内
时,φ与 m （在数值上等
于 Mn ）成正比
Mn
o ?
o
?
?
??? G
tr
M n
??? 2 2 l
r???
从 Mn与 ?之间的线性关系，
可推出 ?与 ? 间的线性关系。
该式称为材料的 剪切胡克定律
（ 6－ 3）
G 称为材料的 剪切弹性模量 。其常用单位是 G Pa。
剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服 ?S
极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。
??? G
拉 (压 )，剪切弹性模量与泊松比的关系
)1(2 μ
EG
?? （ 6－ 4）
理论和实验研究表明，对于各向同性材料，它们
存在如下关系：
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
四，等直圆杆扭转时的应变能
1，纯剪切应力状态下的比能
?
假设单元体左侧固定，
因此变形后右侧将向下
移动 ?dx。
?dx
因为变形很小，所以在变形过
程中，认为上，下两面上的外
力将不作功 。 只有右侧面的外
力 (?dydz) 对相应的位移 ?dx 作
了功 。
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
?
?dx
当材料在线弹性范围内内工作时，
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为 )(
2
1))((
2
1 d x d y d zdxd y d zdW ??????
?????? 21d x d y d zdWdVdWdVdUu
比能为
dx
x
y
z
a
b
d?
'
?
?
?dx
将 ? = G? 代如上式得
G
Gu
22
2
2 ????
τγ21?u
思考题：指出下面图形的剪应变
?
2?剪应变为 剪应变为 0
§ 6— 3 外力偶矩 ? 扭矩和扭矩图
从动轮 主动轮 从动轮
n
m2 m1 m3
1,传动轴的外力偶矩
从动轮 主动轮 从动轮
n
m2 m1 m3
一传动轴，转速为 n转 /min,轴传递的功率由主动
轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功
率为 Nk千瓦（ KW),则作用在该轮上的外力偶矩 m可按
以下方法求得 。
n —— 轴的转速 ( r/min )
m—— 作用在轴上的力偶矩,( N.m )
P —— 轴传递的功率,(kW)
).(9 55 0 mN
n
Pm ? （ 6－ 1）
n
n
m m
? x
m
? x
在 n— n截面处假想将轴
截开取左侧为研究对象
分析图示圆轴任一横截面
n— n上的内力。仍用 截面法 。
11，扭矩和扭矩图
n
n
m m
? x
m
? x
Mn
横截面上的内力应是一个
力偶称为该横截面上 扭矩
0?? m x
mM n ?
m
? x?
Mn
取右侧为研究对象
其扭矩与取左侧为研究对象
数值相同但转向相反。
m
? x?
n
n
m m
? x
Mn
m
? x
Mn
右手螺旋法则：当力偶矩矢的
指向背离截面时扭矩为正，
反之为负。
扭矩符号的规定
+
+
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于
杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示
扭矩与截面位置关系的图线,称为扭矩图。
例题 1
m4
A
B C D
m1
m2 m3 n
例题 1：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min,主动轮输
入的功率为有 N1 = 500 kW 。 若不计轴承摩擦所耗的功率，
三个从动轮输出的功率分别为 N2 = 150 kW, N3 = 150 kW
及 N4 = 200 kW。试做扭矩图。
解,计算外力偶矩 mkNm,9.151 ?
mkNm
k N,m.mm
.37.6
784
4
32
?
??
AB C D
m1m2 m3 m4
A
B C D
m1
m2 m3 n
AB C D
m1m3 m4m2
2
2
计算 CA 段内任横一截面
2-2 截面上的扭矩 。假设
M n2为正值。
结果为负号，说明 M n2 应是负值扭矩
B C
x
m2 m3 Mn2
由平衡方程
(-)
0,0 232 ????? Mmm nxm
mkNmmM n ?????? 56.9)( 322
AB C D
m1m3 m4m2同理，在 BC 段内
mKN.-m-M n ??? 78421
在 AD 段内
mKN.mM n ??? 37643
1
1 3
3
m4M
n3
m2 Mn1
注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算结果
符号相同。
(-)
(+)
mKNM n,78.41 ??
mKNM n,37.63 ?
mKNM n ?? 56.9m a x
+
4.78
9.56
6.37
从图可见，最大扭矩
在 CA段内。
AB C D
m1m2 m3 m4
作出扭矩图
mkNM n ??? 56.92
§ 6— 4 等直圆轴扭转时的应力 ? 强度条件
预先在圆杆的表面画上
等间距的纵向线和圆周线,
从而形成一系列的正方格子。
1, 横截面上的应力
m
m
?
?
试验结果：
等直圆杆扭转变形后，
两圆周线绕杆件的轴线相对
旋转了一个角度, 两圆周线的
形状和大小均未改变 ;
在变形微小的情况下，
纵向线则倾斜了一个
相同的角度 ?
刚性平面假设, 变形前轴的圆形横截面,在变形后仍保持
为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。
m
m
?
?
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
几何方面
倾角 ? 是横截面圆周上任一
点 A 处的剪应变,d?是 b— b
截面相对于 a— a截面象刚性
平面一样绕杆轴转动的一个
角度。
?d
经过半径 O2D 上任一
点 G的 纵向线 EG 也倾
斜了一个角度 ??它也就
是横截面半径上任一点
E 处的剪应变
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
dx
d
EG
G G 'tg ???????
??
dx
d ???
? ?
此时式说明,同一半径 ?
圆周上各点剪应变 ?? 均相
同,且其值与 ? 成正比。
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
物理方面
由剪切胡克定律
?? G?
dx
dGG ????
?? ??
同一圆周上各点剪应力
??均相同,且其值与 ?
成正比, ?? 垂直与半径。
a
a
b
A
O1 O2
Mn Mn
dx
D
b
D'
?
?d? GE
G?
??
静力学方面
整个横截面上的内力元素 ??
的合力必等于零，并组成
一个力偶这就是横截面上的
扭矩 Mn。
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
MdAdxd φρGρ nA ?? ????
dAM An ?? ? ??
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
dx
dGG ??????
??
PA IdAρ ?? 2
MdAdxdG nA ?? ?? 2
GI
M
dx
d
P
n??
（ 6－ 6）
只与圆轴的横截面尺
寸有关，它表示截面的一
种几何性质，称为横截面
的 极惯矩。
I
M
p
n ???
?
dx
dGG ??????
??
GI
M
dx
d
P
n??
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式
由
（ 6－ 6）
? ?? Ap dAI 2
称为横截面对圆心的 极惯性矩
式中,Mn为横截面上的扭矩；
?为求应力的点到圆心的距离：
I
M
p
n ???
?
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
(1) 横截面周边各点处，剪应
力将达到最大值。圆心处的
剪应力为零。剪应力与 ?成
正比。且垂直于半径。指向
与 Mn的转向一至。分布图如
图 所示。
说明：
I
M
p
n ???
?
?max
?
?
m a x
IW p
n
n
n
P
n
P
n
W
M
I
M
I
M
?
?
?
?
??
m a x
m a x
m a x
r
o?
?
??
Mn
dA
dA
?
?
?max
Wn 称作抗扭截面系数，单位为 mm3或 m3。
dAI AP ? ?? 2
抗扭截面 模量 公式
11,极惯性矩及 抗扭截面模量
极惯性矩公式
?
?
m a x
I
W pn
?? m a x
IW p
n
d o
实心圆截面
)(2 ???? ddA
?
??
dAI AP ? ?? 2
32
4
2 ddAI
AP
??? ??
16
2
32
2
3
4
m ax
d
d
d
d
II
W PPt
?
?
?
??
?
?
D d o
?
??
空心圆截面
其中 D
d??
?? ???? ?? ddAI AAP 32 2
)-1(3232 4
4
44 ???? D)d-D(π
)1(
16
2
32
)(
2
4
3
44
m ax
??
?
?
??
??
?
?
D
D
dD
D
II
W PPt
圆轴扭转时, 杆内各点均处于纯剪切应力状态。其
强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力 ?max 不超过
材料的许用剪应力 [?]。
111，圆轴扭转时的强度条件
一，强度条件
圆轴扭转时的最大工作剪应力 ?max 发生在最大扭矩所在
横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）,
][m axm ax ????
W
M
n
n
根据上述条件，可以解决三个方面的问题,
（ 1）强度校核 （ 2）截面设计 （ 3）确定许可荷载
强度条件为
例题 2
例题 3
例题 4
例题 2,图示阶梯圆轴,AB段的直径 d1 =120 mm
,BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m，
mB = 36 kN.m, mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力 [?]
= 80MPa，试 校核该轴的强度。
A B C
mA mB mC
A B C
mA mB mC
解, 作轴的扭矩图
+
22
14
mA = 22 kN。 m，
mB = 36 kN。 m
mC =14 kN。 m
][84.64
16
)12.0(
1022
16
3
3
3
1
1
1
1
m a x1 ????
??
?
??? M P a
d
M
W
M nn
][3.71
16
)1.0(
1014
16
3
3
3
2
2
2
2
m a x2 ????
??
?
??? M P a
d
M
W
M nn
因此，该轴满足强度要求。
A B C
mA mB mC
+
22
14
分别校核两段轴的强度
例题 3
例题 4
例题 3,实心圆轴 １ 和空心圆轴 ２ （图 a,b）材料、扭转力
偶矩 m 和长度 l 均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内
外径之比为 ? = 0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径
之比及两轴的重量比。（教材习题 6－ 3）
l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
解：设实心圆截面直径为 d1，
空心圆截面的内、外径分别
为 d2,D2 ; 又扭转力偶矩
相等，则两轴的扭矩也相等，
设为 Mn 。 l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
2m a x1m a x ?? ?
已知：
21 tt WW ?得
2
2m a x
1
1m a x
t
n
t
n
W
M
W
M
??
??
21 t
n
t
n
W
M
W
M ? l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
16
)1(
16
43
2
2
3
1
1
???
?
?
?
D
W
d
W
t
t
16
)1(
16
43
2
3
1 ??? ?? Dd
因此
194.18.01 13 4
1
2 ?
??d
D解得
l
d2 D2
l
d1
(a)
(b)
两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的
横截面积之比,
512.0)8.01(194.1
)1(
4
)(
4 22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2 ???
??
?
?
?
?
?
d
D
d
dD
A
A
在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴
轻，即节省材料。
例题 4
例题 4：图示空心圆轴外径 D=100mm，内径 d=80mm，
m1=6KN.m,m2=4KN.m，材料的剪切弹性模量
G=80GPa。
(1) 画轴的扭矩图
(2) 求轴的最大剪应力，并指出其位置
m1 m2
A B C
l l
(1) 画轴的扭矩图
m1 m2
A B C
l l
BC段：
1
m2
C
Mn1
Mn1+m2=0
(-)
2
m2
C
m1
B
Mn2
Mn2+m2-m1=0
Mn2 =2KN.m
AB段：
(+)
4KN.m
-
+
2KN.m
Mn1 = -4KN.m
最大扭矩发生在 BC段
Mnmax=4KN.m
(2) 求轴的最大剪应力，
并指出其位置
m1 m2
A B C
l l M P a
D
M
W
M n
t
n 5.34
)1(
16
4
3
m axm ax
m ax ?
???
???
?max最大剪应力发生在截面的周边上
，且垂直于半径。
（ 1）圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 ?来度量的
§ 6— 5 圆轴扭转时的变形 ? 刚度条件
GI
M
dx
d
p
n??
是计算等直圆杆相对扭转角的依据。
1，扭转时的变形
GI
M
dx
d
p
n??
dxGIMdφ l
p
n
l ??? ??
其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。
长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 ?可按下式计算
dx
GI
Mdφ
l
p
n
l ??? ??
对于同一材料制成的等直圆轴（ G, Ip 为常量），当
只在两端受一对外力偶作用时（ Mn 为常量 ）,从上
式可得
P
n
GI
lM??
GIP 称作 抗扭刚度
（ 6－ 16）
)( mr a d
GI
M
dx
d
P
n????
（ 2）单位长度扭转角
（ 6－ 17）
在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角 ?max 不
超过许可 扭转角 [?] 。
][m ax ???
[?] 称作许可 单位长度扭转角。
11，刚度条件
圆轴扭转时的刚度条件是
)(][m axm ax mr a dGIM
P
n ????
? ? )(1 8 0 0m axm ax mGIM
P
n ??
?
???? 例题 5
例题 6
例题 7
例题 5,图示传动轴系钢制实心圆截面轴
。已知,m
1 =1592 N ? m,m2 = 955 N?m, m3 = 637 N ? m
截面 A与截面 B,C之间的距离分别为 lAB = 300 mm
和 lAC = 500 mm。轴的直径 d = 70 mm，钢的剪变
模
量为 G =80 GPa。试求截面 C 对截面 B 的对扭转角
m1m2 m3
lAB lACB CA
1 2
m1m2 m3
lAB lAC
B CA
1 2
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?
解法 1：假设 A截面不动，先分别计算截面 B,C 对截
面 A 的相对扭转角 φAB 和 φAC 。
φAB
ra d
GI
lM
P
ABn
AB
3
49
1
1052.1
07.0
32
1080
3.0955 ?
??
?
?
??
?
?
??
与 m2 转向同
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?φAB
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
?
ra d
GI
lM
P
ACn
AC
3
49
2
1069.1
07.0
32
1080
5.0637 ?
??
?
?
??
?
?
??
与 m3 转向同
?AC
φAB
截面 C 对截面 B 的相对扭转角 φBC 为
r a d.φφφ ABACBC 41071 ?????
转向与 m3 相同
m1m2 m3
lAB lACB
CA
1 2
? ?
AC
φAB
AB C
m1?
??
? 1BC
GI
lm
P
AB
BABC
1
1 ????
解法 2,设截面 B固定不动
,先分别计算 m1,m3 单独
作用下截面 C 对截面 B 的
相对扭转角 φ BC1 和 φBC2，
然后叠加，即采用 叠加法 。
m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角 φ BC1
21 BCBCBC φφφ ??
IG
llm
P
ACAB
BC
)( ??? 3
2φ
r a d1071 4-???,
AB C
m3
φ 2BC
GI
lm
P
AB1?
IG
llm
P
ACAB )( ??? 3
转向与 m3同
m3单独作用下截面 C 对
截面 B 的相对扭转角 φBC2，
C 截面对截面 B 的相对
扭转角
m1
AB C
lAB lAC
解法 3,设截面 B 固定不动
????? BAACBC
m3
C
mAC
mAC = - m3
GI
lm
GI
lm
P
AC
P
ACAC
AC
???? 3
m2
m2
A
m3
mAB
mAB = m2
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
ABAB
BA
2???
m1
AB C
lAB lAC
????? BAACBC
m3
C
mAC
GI
lm
GI
lm
P
AC
P
ACAC
AC
???? 3
m2
m2
A
m3
mAB
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
ABAB
BA
2???
????? BAACBC
GI
lm
GI
lm
P
AB
P
AC 23 ???
rad107.1 4??? ?
转向与 m3 同
例题 6,某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，
钢管外径 D=76mm，壁厚 t=2.5mm，轴传递的转矩 m=1.98KNm,
材料的许用剪应力 [?] = 100MPa,剪变模量为 G = 80GPa,
轴的 许可 扭角 [?] = 2 ?/m 。试校核轴的 强度和刚度。
Dd
t
m m
Dd
t
m m
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
K N mmM n 98.1??
轴的内，外径之比
9 3 4.02 ????? D tDDd
mmDIW pn 341006.22 ???
mmDI P 45
44
1082.732 )1( ??????
Dd
t
m m
由 刚度条件
][81.11 8 0
0m ax
m ax ????
????
mGI
M
P
n
][1.96m axm ax ????? MP aWM
n
n
由 强度条件
M P a
d
M n
1.96
16
3
m ax
m ax ????
将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 ?max=96.1MPa
d=47.2mm实心轴的直径为
实心轴的截面面积为 mmdA 1 7 4 94 2
2 ???
实
空心轴的截面面积为 mmA 5 7 74
)7176( 222 ????
空
两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的
横截面积之比,
512.0)8.01(194.1
)1(
4
)(
4 22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2 ???
??
?
?
?
?
?
d
D
d
dD
A
A
在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴
轻，即节省材料。
例 题 7,轴上有三个齿轮。轴的转速为 n=183.5r/min,
G=80GPa,.齿轮 2 的传动功率 P2=0.756KW，
齿轮 4 的传动功率 P4=2.98K W。 轴的
[?]=40MPa,[?]=1.50/m。设计轴的直径。
m2 m3 m4
m2 m3 m4 mNm ?? 3.392
mNm ?? 1554
画轴的扭矩图 +
-
39.3N.m
155N.m
mNM n ?? 1 5 5m a x
+
-
39.3N.m
155N.m ? ??????? 163
m axm axm ax
D
M
W
M n
n
n
由强度条件
mD 0 2 7 20,?
由刚度条件
? ???
?
??
?
?
?
??? 180
32
180
4
m a xm a x
m a x
DG
M
GI
M n
P
n
mD 02970,? 取 D=30mm
mNM n ?? 1 5 5m a x
本讲总结：
1、根据求 M＝ 9550P/n (单位 N.m)求外力偶矩
2、根据力矩平衡条件用截面法求各截面扭矩，作扭矩图
3、只受扭矩圆轴的任一横截面内只存在纯剪应力，其分布
如图：
即截面内任一点的剪应力与其到
圆心的距离 ρ成正比且与 ρ垂直。
最大剪应力发生在截面的周边上，
且垂直于半径。
?m
ax
n
n
W
M?
m a x?I
M
p
n ??
? ? ?
m a x
IW p
n ?
PA IdAρ ??
2
32
4d
I P ?? 16
3d
W t ?? )-1(32 4
4
??? DI ? )1(16 43 ?? ?? DW t
截面内扭矩 横截面极惯矩
抗扭截面模量
α =D/d
作 业
? P78页：思考题全看
? P79页，习题,6－ 1； 6－ 3； 6－ 5
