弯 曲 变 形 (2)
第七 章
§ 7—6 用叠加法求弯曲变形 ?梁的刚度条件
* § 7—9 梁的刚度校核 ? 提高梁刚度的措施
* § 7—8 简单超静定梁的解法
* § 7— 5 用积分法求弯曲变形
§ 7— 4 梁的变形
内容提要
§ 7—7 组合变形和叠加原理
作 业
一，基本概念
取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴,
横截面的铅垂对称轴为 y 轴, x y 平面为纵向对称平面
§ 7--4 梁的变形
B
x
y
A
C
y
A B
x
挠度 （ y）, 横截面形心 C (即轴线上的点 )在垂直于 x 轴方向
的线位移，称为该截面的挠度。
y挠度
度量梁变形后横截面位移的两个基本量
C'
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 （ ?）, 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的
转角。
转角 ?
?
挠曲线,梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
挠曲线方程为 )(xfy ?
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标, y为该点的挠度。
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
)('' xfytg ?????
挠度与转角的关系：
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
挠度和转角符号的规定
挠度：向上为正，向下为负。
转角,自 x 转至 切线方向, 逆时针转为正，顺时针转为负。
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
选 学
二、挠曲线近似微分方程
EI
M?
?
1
)()(1 EI xMx ??
横力弯曲时,M 和 ? 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响,则
推导公式
纯弯曲时 曲率 与弯矩的关系为
232 )'1(
|''|
)(
1
y
y
x ???
由几何关系知,平面曲线的曲率可写作
)(EI xM? 232 )'1(
|''|
y
y
?
M M
o x
y
M M0"?y
M>0
M<0
0"?y
在规定的坐标系中,x 轴水平向右
为正,y 轴竖直向上为正。
曲线向上凸 时, y,< 0,M < 0
曲线向下凸 时, y,>0,M > 0
o x
因此,M 与 y‘’ 的正负号相同
EI
xM
y
y )(
)'1(
''
232
?
?
EI
xMy )(" ?
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因, (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y‘2 项。
'2y 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
再积分一次,得挠度方程
上式积分一次得转角方程
若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成
)( xMyEI ???
1)(' CdxxME Iy ???
? ???? 21])([ CxCdxdxxME Iy
选 学
请选择
* § 7— 5 用积分法求弯曲变形
挠度方程：
转角方程：
1)(' CdxxME Iy ???
? ???? 21])([ CxCdxdxxME Iy
式中：积分常数 C1, C2可通过梁挠曲线的 边界条件 和
变形 连续性条件 来确定。
A B
A B
在简支梁中,左右两铰支座处的
挠度 yA 和 yB 都应等于零。
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yＡ
和转角 ?A都应等于零。
边界条件
yA= 0 yB = 0
yA= 0
?A= 0
连续性条件
A B
A B
?
?
在挠曲线的任一点上，
有唯一的挠度和转角。
例题 1 例题 2 例题 3
请选择
例题 1,图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁,在自由端受一
集中力 P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并
确定其最大挠度 fmax 和最大转角 ?max,
l
A B x
y
P
l
A B x
y
P
(1 ) )()( xlPxM ??
弯矩方程为
解：
挠曲线的近似微分方程为
(2 ) )('' PxPlxMEIy ???
x
)( xMyEI ???
( 3 )
2
' 1
2
C
Px
P l xE I y ???
对挠曲线近似微分方程进行积分
)('' PxPlxMEIy ???
l
A B x
y
P
x )4(62 21
32
CxCPxP l xE I y ????
0',0
0,0
??
??
yx
yx边界条件为,
C1=0 C2=0
将边界条件代入 (3) (4)两式中,
可得
l
A B x
y
P
x
( 4)
62
( 3)
2
'
21
32
1
2
CxC
PxP lx
E I y
C
Px
P lxE I y
????
???
C1=0 C2=0
l
A B x
y
P
x
( 4)
62
( 3)
2
'
21
32
1
2
CxC
PxP lx
E I y
C
Px
P lxE I y
????
???
EI
Px
EI
P lxy
62
32 ??
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EI
Px
EI
P lxy
2'
2
????
l
A B x
y
P
x
l
A B x
y
P
?max 及 fmax都发生在自由端截面处
fmax
EI
Pl
EI
Pl
EI
Pl
lx 22|
222
m a x ???? ???
（ ）
θmax
（ ） EI
Pl
yf lx
3
|
3
m a x ?? ?
例题 2
例题 3
请选择
例题 2,图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为
q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,
并确定其最大挠度 fmax 和最大转角 ?max,
l
A
B
q
2
qlRR
BA ??
解, 由对称性可知，梁的两个支反力为
l
A
B
q
RA RB
梁的 弯矩方程 及 挠曲线微分方程 分别为 )(
22
1
2
)( 22 xlxqqxxqlxM ????
x
)(2)('' 2xlxqxME I y ???
l
A
B
q
RA RB
xlxqxME I y ' ' )(2)(
2???
(c) CxlxqE I y ' 1
32 )
32(2 ???
(d) CxCxlxqE I y 21
43 )
126(2 ????
边界条件为,
,0?x 0?y
,lx ? 0?y l
A
B
q
RA RB
将边界条件代入 (c),(d) 两式得
02 ?C 24
3
1
qlC ??
梁的转角方程和挠 度 方程分别为
)2(
24
)46(
24
'
323
323
xlxl
EI
qx
y
xlxl
EI
q
y
????
??????
l
A
B
q
RA RB
?A θB
在 x = 0 和 x = l 处转角的
绝对值相等且都是
最大值，
?θmax θAθB EIql24
3
??
)2(
24
)46(
24
'
323
323
xlxl
EI
qx
y
xlxl
EI
q
y
????
??????
θB
EI
qlyf l
x 384
5 4
2m ax
??? ?
在 梁跨中点 l /2 处 有 最大挠度值
fmax
l
A
B
q
RA RB 例题 3
请选择
例题 3,图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在 D点处受一集中
力 P 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大
挠度和最大转角。
A B
P
D
a b
l
A B
P
D
a b
l
l
bPR
A ? l
aPR
B ?
解, 梁的两个支反力为
1 2
RA R
B
)0(1 axx
l
b
PxRM A ????两段梁的弯矩方程分别为
)()(2 lxaaxPxlbPM ?????
x
x
A B
P
D
a b
l
1 2
RA R
B
两段梁的挠曲线方程分别为
xlbPM"E I y ?? 11
CxlbPEI y 1
2
1 2' ???
DxCxlbPEI y 11
3
1 6 ????
)(22 axPxlbPy"E I y ????
CaxPxlbP'E I y 2
22
2 2
)(
2 ?
????
DxCaxPxlbPE I y 22
33
2 6
)(
6 ??
????
1 2
挠曲线方程
转角方程
挠度方程
( 0 ?x ? a) ( a ? x ? )l
D点的连续条件：
在 x = a 处
'' 21 yy ?
yy 21?
边界条件
在 处，
在 X = 0 处,01?y
lx? 02 ?y
A B
P
D
a b
l
1 2
RA R
B
代入方程可解得, 021 ?? DD )(6 2221 lblPbCC ???
两段梁的挠曲线方程分别为
xlbPM"EIy ?? 11
CxlbPE I y 1
2
1 2' ???
DxCxlbPE I y 11
3
1 6 ????
)(22 axPxlbPy"EI y ????
CaxPxlbP'E I y 2
22
2 2
)(
2 ?
????
DxCaxPxlbPE I y 22
33
2 6
)(
6 ??
????
1 2
挠曲线方程
转角方程
挠度方程
( 0 ?x ? a) ( a ? x ? )l
)3(6 22211 lbxl EIPb'y ?????
1 )( ax ??0
? ?xlbxl EIPb xy )(6 221 2 ???
2 )( lxa ??
?????? ???????? )(31)(2 222222 blxaxbllE IPb'y
?????? ?????? xblxaxbllE IPby )()(6 22332
l E I
blP a b
xA 6
)(
| 01
?
??? ???将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
lE I
alP a b
B 6
)(
m ax
?????
当 a > b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大
l E I
alP a b
lxB 6
)(
|2
?
?? ???
3
2
3
22
1
)( baablx ????
简支梁的最大挠度应在 0?y' 处
0'1 ?y先研究第一段梁，令 得
? ? 036 2221 ???? lbxl E IPb'y
3
2
3
22
1
)( baablx ????
EI
P bl.bl
lE I
Pby|f
xx
2
322
m a x 06 4 20)(391 ?????? ?
当 a > b时,x1<a 最大挠度确实在第一段梁中
EI
P b lbl
EI
Pbf
C
2
22 0 6 2 5.0)43(
48 ?????
梁中点 C 处的挠度为
EI
P bl.bl
lE I
Pby|f
xx
2
322
m a x 06 4 20)(391 ?????? ?
结论, 在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上
无 拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,
其精确度是能满足工程要求的,
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上
的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含
前一段梁的弯矩方程。只增加了（ x-a）的项。
对（ x-a）的项作积分时，应该将（ x-a）项作为积分
变量。从而简化了确定积分常数的工作。
积分法的原则
§ 7-6 叠加法求梁变形 ? 梁的刚度条件
叠加原理, 梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时，
梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作
用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截
面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的 挠度为同
一方向 （如均沿 y 轴方向 ),其 转角是在同一平面内 ( 如均在
xy 平面内 ) 时,则 叠加就是代数和 。 这就是叠加原理。
一,叠加法求梁变形
例题 7
例题 6
例题 5
例题 4
请选择
例题 4,一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 a 所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度 fC 和支座处横截面的
转角 ?A,?B 。
A B
m
l
C
(a)
q
解：将梁上荷载分为两项简单
的荷载，如图。 b,c 所示
A B
m
l
C
(a)
q
A
C
(b)
B
q
m(C)
A BC
fff CmCqC ??
θθθ AmAqA ??
θθθ BmBqB ??
)(163 8 45 2
4
??? EImlEIql
EI
ml
EI
ql
324
3
?? ( )
EI
ml
EI
ql
624
3
?? ( )
fcq
fcm
?Aq
?Am
?Bm
A B
m
l
C
(a)
q
A
C
(b)
B
q ?Bq
m(C)
A BC
例题 5:试 利用叠加法,求图 a 所示抗弯刚度为 EI 的简支梁
跨中点的挠度 fC 和两端截面的转角 ?A,?B 。
l
2l
A BC
q
解,图 a可视为正对称
荷载（图 b） 与反对称
荷载（图 c）两种情况
的叠加。
l
2l
A BC
q
2q
C
A B
2q
2
q
C
A B
EI
ql
EI
lqf
C 768
5
384
)2(5 44
1 ????
（ 1）正对称荷载作用下
EI
ql
EI
lq
BA 4824
)2( 33
11 ?????? ??
2q
C
A B
（ 2）反对称荷载作用下
可将 AC 段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度
为 l /2 的简支梁
在跨中 C截面处,挠度 fc 等于零,但 转角不等于零
且该截面的 弯矩也等于零
2q
2
q
C
A B
EI
lq
θθ BA
24
)
2
()
2
(
3
22 ???
02 ?f C
EI
ql
384
3
??
2q
2
q
C
A B
CA B2
q
2q
将相应的位移进行叠加,即得
EI
ql
EI
ql
EI
ql
BBB
3 8 4
7
3 8 448
333
21
????? ???
（ ）
（ ）
)(7 6 85
4
21 ????? EI
qlfff
CCC
EI
ql
EI
ql
EI
qlQQQ
AAA 128
3
38448
333
21 ???????
例题 6：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图 a 所示,
试按叠加原理并利用附表,求截面 B 的转角 ?B以及 A 端和
BC 中点 D 的挠度 f A 和 fD 。
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将 AB 段看成 B 截面
固定的 悬臂梁, BC 段看成 简支梁 。
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
2q
A
B
B 截面两侧的相互作用
力为：
qaM B 2?
2qa
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
就是外伸梁 AC的 ?B, fD
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
简支梁 BC 的受力情况
与外伸梁 AC 的 BC 段的
受力情况相同
由简支梁 BC 求得的
?B, fD
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q 简支梁 BC 的变形就是
MB 和均布荷载 q 分别
引起变形的叠加。
(1)求 ?B, fD
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
EI
qa
EI
ql
Bq 324
33
?????
EI
qa
EI
lM B
B M B 3
2
3
3
???
EI
qa
EI
qlf
Dq 24
5
3 8 4
5 44 ????
EI
qa
EI
lMf B
D M B 416
42 ??
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
EI
qa
M BBBqB 3
3
??? ???
EI
qafff
M BDDqD 24
4
???
由叠加原理得2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
2q
A
B
(2) 求 fA
由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段一起作刚体运
动，使 A 端产生挠度 f1
悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度 f2
f2
f1
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?A
B
C
D
q
θB
θB
fafff BA 221 ?????? ?
EI a
qf
8
)2( 2
2 ??
EI
qa
EI
qa
EI
qaf
A 12
7
43
444
?????
因此,A端的总挠度应为
由附录 1V 查得
2q
A
Bf
2
f1
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?A
B
C
D
q
θB
θB
例 7,用叠加法求梁中点处的挠度
A C B
e d
l
2l
q
A C B
e d
l
2l
q
解：将均布荷载看作许多微集中力 dP组成
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
A C B
e d
l
2l
q
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
将均布荷载分作 DC 与 CF 两段
D F
先计算 CF段荷载使梁中点产生的挠度
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
)()43(48 22 ???? blEI bqdbdy C
D F
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()43(48 22 ???? blEI bqdbdy C
)()43(48 2221 ???? dbblEIqbf ld
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()43(48 2222 ???? dbblEIqbf le
C 截面左侧荷载使梁中点产生的挠度
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
fff 21 ??
梁中点的挠度
? ???? m ax
梁的刚度条件可表示为
][m ax yy ?
二、梁的刚度条件
按强度要求设计梁时, 主要是依据梁的正应力强度条件
（ 1）合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值
合理地配置梁的荷载
? ????? WM
z
m ax
m ax
三、梁的合理设计 (提高梁承载能力的措施 )
4
Pl
8
Pl
+
P
l
P
4l 4l2l
P/2 P/2
合理地设置支座位置
受均布荷载的简支梁
ql.M 21250?m a x
l
q
当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l 时
qlM 2m ax 0 2 1 5.0?
a a
l
q
（ 2）合理选择截面形状
当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数
与面积之比尽可能地大。即 Wz/A 较大，则截面的形
状就较为经济合理。 一般要使截面面积分布在距中性
轴较远的地方。 。
对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面
如：工字形,矩形,圆形, 圆环形等截面。但圆环
形比圆形，工字形比矩形, 矩形竖放比平放更合理。
对于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等对中性轴不对称的截
面且将翼缘置于受拉侧 。
z
y1
y2
? maxc
?maxt
? ?
? ??
????
?
?
c
t
z
z
c
t
y
y
I
yM
I
yM
2
1
2m a x
1m a x
m a x
m a x
要使 接近下列关系,最大拉应力和最大压应力
同时接近许用应力
y
y
2
1
z
y1
y2
? maxc
?maxt
（ 3）合理设计梁的外形
梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的
许用应力, 则称为 等强度梁 。
例 如
例如,宽度 b 保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若
设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x), 可
按正应力强度条件求得 。
2l 2
l
P
b
? ??????
)()61(
)2(
)(
)(
2m a x
xhb
xP
xW
xM梁任一横截面上最大正应力为
2l 2
l
P
b
? ??????
)()61(
)2(
)(
)(
2m a x
xhb
xP
xW
xM
求得 ? ?
σb
Pxxh 3)( ?
2l 2
l
P
b
但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度
? ??????
hb
P
A
Q
m i n
m ax
2
2
3
2
3
求得 ][4
3
m i n ?? b
Ph
2l 2
l
P
b
按上 确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁 。
][4
3
m i n ?? b
Ph
? ?σb
Pxxh 3)( ?
P
一,组合变形概念, 构件在荷载作用下发生两种或两种
以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。
二,解决组合变形问题的基本方法, 叠加法
§ 7—7 组合变形和叠加原理
叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与
外力之间成 线性关系 。
三,工程实例,
处理组合变形的基本方法
一，将组合变形 分解 为基本变形 ——将外力简化或分解，
使 之每个力 (或力偶 )对应一种基本变形；
三，利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加
二，分别 计算 在每一种 基本变形 下构件的的应力和变形；
= +
+= +
LA
B C
P
扭转与弯曲的组合
研究对象,圆截面杆
受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。
变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。
A B
L
P 一,内力分析
设一直径为 d 的等直圆杆 AB,
B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
研究 AB杆的内力。
BA
A B
L
P
B
横向力,P （引起平面弯曲）
力偶矩,m = Pa （引起扭转）
将力 P 向 AB 杆右端截面的
形心 B简化 得
AB 杆为弯扭组合变形
A
P
m
x
画内力图确定危险截面
固定端为危险截面
AA
P
m
Pl
m
A截面
C3
C4
T
?
?
C3 C4
?
?
C2
C1
二,应力分析
危险点为 C1 和 C2
最大扭转剪应力 ? 发生在截面
周边上的各点处。
?
?
C2
C1
危险截面上的最大弯曲
正应力 ?发生在 C1, C2处
C1
C2
C3
C4
T
A截面
C3
C4
?
?
C2
C1 C1
C2
C3
C4
T
对于许用拉、压应力相等的
塑性材料制成的杆这两点的
危险程度是相同的。 可取任
一点 C1 来研究。
C1 点 处于平面应力状态
C1
? ?? ?
三,强度分析
1、主应力计算
?????????????? 4212 )2(2 222
2
1
3
02 ??
C1
? ?? ?
第三强度理论,计算相当力
2,相当应力计算
τσσσσ 4 22313 ????r
第四强度理论,计算相当应力
224 3 ??? ??r
?????????????? 4212 )2(2 222
2
1
3
02 ??
3,强 度计算
? ??? ?r
C1
? ?? ?
讨 论
例 题 8
选 学 9
选 学 8
作 业
1
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
该公式适用于图示的平面应力状态。 ?是危险点的正应力
? 是危险点的剪应力,且横截面不限于圆形截面。
C1
? ?? ?
讨 论
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
?可以是 弯扭组合 变形中由弯曲产生的正应力；
?是由扭转变形引起的剪应力。
C1
? ?? ?
?还可以是 弯曲, 拉 （ 压 ）与 扭转 组合变形中由弯曲与拉（压）
产生的正应力。
?也可以是 拉 （ 压 ）与 扭转 组合变形中由拉（压）产生的正应力；
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
C1
? ?? ?
该公式适用于 弯, 扭 组合变形； 拉 （ 压 ）与 扭转 的组合变形；
以及 拉 （ 压 ）,扭转 与 弯曲 的组合变形。
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
对于圆形截面杆有2
162
3dW
W t ???
W
TM
W
T
W
M
t
r
2222
22
3 )(4)(4
?????????
W
TM
W
T
W
M
t
r
75.0)(3)(3 222222
4
?????????
上两式只适用于 弯，扭 组合变形下的 圆截面杆。
式中 W为杆的抗弯截面系数。 M,T分别为危险截面的
弯矩和扭矩。
W
TM
W
T
W
M
t
r
2222
22
3 )(4)(4
?????????
W
TM
W
T
W
M
t
r
75.0)(3)(3 222222
4
?????????
例题 8, 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅
垂切向力 5 KN,径向力 1.82 KN;齿轮 D上作用有水平切向力
10 KN,径向力 3.64 KN。齿轮 C 的节圆直径 dc = 400mm,齿
轮 D 的节圆直径 dD =200 mm。设许用应力 ???=100 MPa,试
按第四强度理论求轴的直径。
B
A
C D
y
z
5KN
10KN
300mm 300mm 100mm
x
1.82KN
3.64KN
解,1,外力的简化
x
y
z
A
C
B
D
5KN
1KN.m
1.82KN
3.64kN
10kN
1KN.m
将每个齿轮上的外力
向该轴的截面形心
简化，
B
A
C D
y
z
5KN
10KN
300mm 300mm 100mm
x
1.82KN
3.64KN
1 KN.m 使轴产生扭转
5KN, 3.64KN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲。
1.82KN, 10KN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲。
2,轴的变形分析
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
1.82KN 10kN
1KN.m
1KN.m
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
3、绘制轴的内力图
MyC=0.57KN.m
MyB=0.36KN.m
0.57
0.36
C
B
My图
x
y
z
A
C
B
D
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
MZC=0.227KN.m
MZB=1KN.m
x
y
z
A
C
B
D
T=1KN.m
1KN.m
1KN.m
1
C
T图
-
圆杆发生的是斜
弯曲与扭转的组
合变形
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
由于通过圆轴轴线的
任一平面都是纵向对称
平面，故轴在 xz 和 xy
两平面内弯曲的合成
结果仍为平面弯曲
，从而可用总弯矩来
计算该截面正应力。
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B 截面是危险截面
MyC=0.57KN.m
MZC=0.227KN.m
MyB=0.36KN.m
MZB=1KN.m
4、危险截面上的
内力计算x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
x
zy
MyB MzB
MyB
MzB MB
y
z
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B截面的总弯矩为
22 MMM
zByBB ??
mKN,.0641?
MyB
MzB MB
y
z
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B 截面的扭矩值为
mKNT B,1??
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
?
1
C
T图
5，由强度条件求轴的直径
? ?σσ ???? WW TM BBr 1 3 7 2750
22
4
.
32
3dW π?
轴需要的直径为
mmd 9511010 013 72323 6,??? ?? π
请选择
选 学 9
一, 基本概念
P
A B
A B
C
P
超静定梁
* § 7-8 简单超静定梁的解法
单凭静力平衡方程不能求出全
部支反力的梁,称为超静定梁
“多余”约束
多于维持其静力平衡所必需
的 约束
超静定次数
“多余”反力
与,多余”相应的支座反力
超静定梁的“多余”约束的
数目就等于其超静定次数。
P
A B
A B
C
P RC RB
A
B
q
l
(a)二,求解超静定梁的步骤
图示为抗弯刚度为 EI 的一次
超静定梁。
（ 1）解除多余约束，代之以
约束反力。得到原超静定梁
的 基本静定系 。
q
A
B
(b)
RB
0?f B
图（ b）为 基本静定系 。
（ 2）超静定梁在多余约束处
的约束条件，就是原超静定
梁的 变形相容条件 。
A
B
q
l
(a)
q
A
B
(b)
RB
（ 3）根据变形相容条件得
变形几何方程
fff R BBBqB ??
变形几何方程为
0?? ff R BBBq
A
B
q
l
(a)
q
A
B
(b)
RB
fBq
fBRB
（ 4）将力与变形的关系代入
变形几何方程得 补充方程
EI
qlf
Bq 8
4
??
EI
lRf B
B R B 3
3??
查表得
q
A
B
(b)
RB
BA
RB
q
A
B
补充方程为
038 3
4
??? EI lREIql B
由该式解得
qlR B 83?
fBq
fBRB
q
A
B
(b)
RB
BA
RB
q
A
B
qlR A 85?
qlm A 281?
梁固定端的两个支反力
q
A
B
RB
RA
mA
l
A
B
q
l
(a)
代以与其相应的多余反力
偶 mA得基本静定系 mA
变形相容条件为
0??A
请同学们自行完成 ！
方法二
取支座 A处阻止梁转动的约束
为多余约束。
l
A B
q
梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有
关外，还取决于以下三个因素：
材料 —— 梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；
截面 ——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；
跨长 ——梁的位移与跨长 l 的 n 次幂 成正比。
)(" xMEI y ?
* § 7—9 提高梁的刚度的措施
增大梁的抗弯刚度 EI
工程中常采用工字形,箱形截面
为了减小梁的位移，可采取下列措施
)(" xMEI y ?
调整跨长和改变结构
设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。
这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。
A B
q
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短
跨长而减小梁的最大挠度值。
A B
q q
同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的 AB 跨产生向上的
挠度，从而使 AB 跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。
增加梁的支座也可以减小梁的挠度。
作业
? P109页：
? 7－ 6
? 7－ 13
第七 章
§ 7—6 用叠加法求弯曲变形 ?梁的刚度条件
* § 7—9 梁的刚度校核 ? 提高梁刚度的措施
* § 7—8 简单超静定梁的解法
* § 7— 5 用积分法求弯曲变形
§ 7— 4 梁的变形
内容提要
§ 7—7 组合变形和叠加原理
作 业
一，基本概念
取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴,
横截面的铅垂对称轴为 y 轴, x y 平面为纵向对称平面
§ 7--4 梁的变形
B
x
y
A
C
y
A B
x
挠度 （ y）, 横截面形心 C (即轴线上的点 )在垂直于 x 轴方向
的线位移，称为该截面的挠度。
y挠度
度量梁变形后横截面位移的两个基本量
C'
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 （ ?）, 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的
转角。
转角 ?
?
挠曲线,梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
挠曲线方程为 )(xfy ?
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标, y为该点的挠度。
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
)('' xfytg ?????
挠度与转角的关系：
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
挠度和转角符号的规定
挠度：向上为正，向下为负。
转角,自 x 转至 切线方向, 逆时针转为正，顺时针转为负。
C
y
A B
x
C'
y挠度
转角 ?
?
挠曲线
选 学
二、挠曲线近似微分方程
EI
M?
?
1
)()(1 EI xMx ??
横力弯曲时,M 和 ? 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响,则
推导公式
纯弯曲时 曲率 与弯矩的关系为
232 )'1(
|''|
)(
1
y
y
x ???
由几何关系知,平面曲线的曲率可写作
)(EI xM? 232 )'1(
|''|
y
y
?
M M
o x
y
M M0"?y
M>0
M<0
0"?y
在规定的坐标系中,x 轴水平向右
为正,y 轴竖直向上为正。
曲线向上凸 时, y,< 0,M < 0
曲线向下凸 时, y,>0,M > 0
o x
因此,M 与 y‘’ 的正负号相同
EI
xM
y
y )(
)'1(
''
232
?
?
EI
xMy )(" ?
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因, (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y‘2 项。
'2y 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
再积分一次,得挠度方程
上式积分一次得转角方程
若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成
)( xMyEI ???
1)(' CdxxME Iy ???
? ???? 21])([ CxCdxdxxME Iy
选 学
请选择
* § 7— 5 用积分法求弯曲变形
挠度方程：
转角方程：
1)(' CdxxME Iy ???
? ???? 21])([ CxCdxdxxME Iy
式中：积分常数 C1, C2可通过梁挠曲线的 边界条件 和
变形 连续性条件 来确定。
A B
A B
在简支梁中,左右两铰支座处的
挠度 yA 和 yB 都应等于零。
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yＡ
和转角 ?A都应等于零。
边界条件
yA= 0 yB = 0
yA= 0
?A= 0
连续性条件
A B
A B
?
?
在挠曲线的任一点上，
有唯一的挠度和转角。
例题 1 例题 2 例题 3
请选择
例题 1,图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁,在自由端受一
集中力 P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并
确定其最大挠度 fmax 和最大转角 ?max,
l
A B x
y
P
l
A B x
y
P
(1 ) )()( xlPxM ??
弯矩方程为
解：
挠曲线的近似微分方程为
(2 ) )('' PxPlxMEIy ???
x
)( xMyEI ???
( 3 )
2
' 1
2
C
Px
P l xE I y ???
对挠曲线近似微分方程进行积分
)('' PxPlxMEIy ???
l
A B x
y
P
x )4(62 21
32
CxCPxP l xE I y ????
0',0
0,0
??
??
yx
yx边界条件为,
C1=0 C2=0
将边界条件代入 (3) (4)两式中,
可得
l
A B x
y
P
x
( 4)
62
( 3)
2
'
21
32
1
2
CxC
PxP lx
E I y
C
Px
P lxE I y
????
???
C1=0 C2=0
l
A B x
y
P
x
( 4)
62
( 3)
2
'
21
32
1
2
CxC
PxP lx
E I y
C
Px
P lxE I y
????
???
EI
Px
EI
P lxy
62
32 ??
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EI
Px
EI
P lxy
2'
2
????
l
A B x
y
P
x
l
A B x
y
P
?max 及 fmax都发生在自由端截面处
fmax
EI
Pl
EI
Pl
EI
Pl
lx 22|
222
m a x ???? ???
（ ）
θmax
（ ） EI
Pl
yf lx
3
|
3
m a x ?? ?
例题 2
例题 3
请选择
例题 2,图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为
q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,
并确定其最大挠度 fmax 和最大转角 ?max,
l
A
B
q
2
qlRR
BA ??
解, 由对称性可知，梁的两个支反力为
l
A
B
q
RA RB
梁的 弯矩方程 及 挠曲线微分方程 分别为 )(
22
1
2
)( 22 xlxqqxxqlxM ????
x
)(2)('' 2xlxqxME I y ???
l
A
B
q
RA RB
xlxqxME I y ' ' )(2)(
2???
(c) CxlxqE I y ' 1
32 )
32(2 ???
(d) CxCxlxqE I y 21
43 )
126(2 ????
边界条件为,
,0?x 0?y
,lx ? 0?y l
A
B
q
RA RB
将边界条件代入 (c),(d) 两式得
02 ?C 24
3
1
qlC ??
梁的转角方程和挠 度 方程分别为
)2(
24
)46(
24
'
323
323
xlxl
EI
qx
y
xlxl
EI
q
y
????
??????
l
A
B
q
RA RB
?A θB
在 x = 0 和 x = l 处转角的
绝对值相等且都是
最大值，
?θmax θAθB EIql24
3
??
)2(
24
)46(
24
'
323
323
xlxl
EI
qx
y
xlxl
EI
q
y
????
??????
θB
EI
qlyf l
x 384
5 4
2m ax
??? ?
在 梁跨中点 l /2 处 有 最大挠度值
fmax
l
A
B
q
RA RB 例题 3
请选择
例题 3,图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在 D点处受一集中
力 P 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大
挠度和最大转角。
A B
P
D
a b
l
A B
P
D
a b
l
l
bPR
A ? l
aPR
B ?
解, 梁的两个支反力为
1 2
RA R
B
)0(1 axx
l
b
PxRM A ????两段梁的弯矩方程分别为
)()(2 lxaaxPxlbPM ?????
x
x
A B
P
D
a b
l
1 2
RA R
B
两段梁的挠曲线方程分别为
xlbPM"E I y ?? 11
CxlbPEI y 1
2
1 2' ???
DxCxlbPEI y 11
3
1 6 ????
)(22 axPxlbPy"E I y ????
CaxPxlbP'E I y 2
22
2 2
)(
2 ?
????
DxCaxPxlbPE I y 22
33
2 6
)(
6 ??
????
1 2
挠曲线方程
转角方程
挠度方程
( 0 ?x ? a) ( a ? x ? )l
D点的连续条件：
在 x = a 处
'' 21 yy ?
yy 21?
边界条件
在 处，
在 X = 0 处,01?y
lx? 02 ?y
A B
P
D
a b
l
1 2
RA R
B
代入方程可解得, 021 ?? DD )(6 2221 lblPbCC ???
两段梁的挠曲线方程分别为
xlbPM"EIy ?? 11
CxlbPE I y 1
2
1 2' ???
DxCxlbPE I y 11
3
1 6 ????
)(22 axPxlbPy"EI y ????
CaxPxlbP'E I y 2
22
2 2
)(
2 ?
????
DxCaxPxlbPE I y 22
33
2 6
)(
6 ??
????
1 2
挠曲线方程
转角方程
挠度方程
( 0 ?x ? a) ( a ? x ? )l
)3(6 22211 lbxl EIPb'y ?????
1 )( ax ??0
? ?xlbxl EIPb xy )(6 221 2 ???
2 )( lxa ??
?????? ???????? )(31)(2 222222 blxaxbllE IPb'y
?????? ?????? xblxaxbllE IPby )()(6 22332
l E I
blP a b
xA 6
)(
| 01
?
??? ???将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
lE I
alP a b
B 6
)(
m ax
?????
当 a > b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大
l E I
alP a b
lxB 6
)(
|2
?
?? ???
3
2
3
22
1
)( baablx ????
简支梁的最大挠度应在 0?y' 处
0'1 ?y先研究第一段梁，令 得
? ? 036 2221 ???? lbxl E IPb'y
3
2
3
22
1
)( baablx ????
EI
P bl.bl
lE I
Pby|f
xx
2
322
m a x 06 4 20)(391 ?????? ?
当 a > b时,x1<a 最大挠度确实在第一段梁中
EI
P b lbl
EI
Pbf
C
2
22 0 6 2 5.0)43(
48 ?????
梁中点 C 处的挠度为
EI
P bl.bl
lE I
Pby|f
xx
2
322
m a x 06 4 20)(391 ?????? ?
结论, 在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上
无 拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,
其精确度是能满足工程要求的,
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上
的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含
前一段梁的弯矩方程。只增加了（ x-a）的项。
对（ x-a）的项作积分时，应该将（ x-a）项作为积分
变量。从而简化了确定积分常数的工作。
积分法的原则
§ 7-6 叠加法求梁变形 ? 梁的刚度条件
叠加原理, 梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时，
梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作
用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截
面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的 挠度为同
一方向 （如均沿 y 轴方向 ),其 转角是在同一平面内 ( 如均在
xy 平面内 ) 时,则 叠加就是代数和 。 这就是叠加原理。
一,叠加法求梁变形
例题 7
例题 6
例题 5
例题 4
请选择
例题 4,一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 a 所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度 fC 和支座处横截面的
转角 ?A,?B 。
A B
m
l
C
(a)
q
解：将梁上荷载分为两项简单
的荷载，如图。 b,c 所示
A B
m
l
C
(a)
q
A
C
(b)
B
q
m(C)
A BC
fff CmCqC ??
θθθ AmAqA ??
θθθ BmBqB ??
)(163 8 45 2
4
??? EImlEIql
EI
ml
EI
ql
324
3
?? ( )
EI
ml
EI
ql
624
3
?? ( )
fcq
fcm
?Aq
?Am
?Bm
A B
m
l
C
(a)
q
A
C
(b)
B
q ?Bq
m(C)
A BC
例题 5:试 利用叠加法,求图 a 所示抗弯刚度为 EI 的简支梁
跨中点的挠度 fC 和两端截面的转角 ?A,?B 。
l
2l
A BC
q
解,图 a可视为正对称
荷载（图 b） 与反对称
荷载（图 c）两种情况
的叠加。
l
2l
A BC
q
2q
C
A B
2q
2
q
C
A B
EI
ql
EI
lqf
C 768
5
384
)2(5 44
1 ????
（ 1）正对称荷载作用下
EI
ql
EI
lq
BA 4824
)2( 33
11 ?????? ??
2q
C
A B
（ 2）反对称荷载作用下
可将 AC 段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度
为 l /2 的简支梁
在跨中 C截面处,挠度 fc 等于零,但 转角不等于零
且该截面的 弯矩也等于零
2q
2
q
C
A B
EI
lq
θθ BA
24
)
2
()
2
(
3
22 ???
02 ?f C
EI
ql
384
3
??
2q
2
q
C
A B
CA B2
q
2q
将相应的位移进行叠加,即得
EI
ql
EI
ql
EI
ql
BBB
3 8 4
7
3 8 448
333
21
????? ???
（ ）
（ ）
)(7 6 85
4
21 ????? EI
qlfff
CCC
EI
ql
EI
ql
EI
qlQQQ
AAA 128
3
38448
333
21 ???????
例题 6：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图 a 所示,
试按叠加原理并利用附表,求截面 B 的转角 ?B以及 A 端和
BC 中点 D 的挠度 f A 和 fD 。
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将 AB 段看成 B 截面
固定的 悬臂梁, BC 段看成 简支梁 。
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
2q
A
B
B 截面两侧的相互作用
力为：
qaM B 2?
2qa
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
就是外伸梁 AC的 ?B, fD
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
简支梁 BC 的受力情况
与外伸梁 AC 的 BC 段的
受力情况相同
由简支梁 BC 求得的
?B, fD
A
B
C
D
a
a
2a
2q
q
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q 简支梁 BC 的变形就是
MB 和均布荷载 q 分别
引起变形的叠加。
(1)求 ?B, fD
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
EI
qa
EI
ql
Bq 324
33
?????
EI
qa
EI
lM B
B M B 3
2
3
3
???
EI
qa
EI
qlf
Dq 24
5
3 8 4
5 44 ????
EI
qa
EI
lMf B
D M B 416
42 ??
2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
EI
qa
M BBBqB 3
3
??? ???
EI
qafff
M BDDqD 24
4
???
由叠加原理得2qa
qaMB 2?
B
C
D
q
fDqθBq
f MBDθ MBB
q
B
C
D
B
C
D
qaM B 2?
2q
A
B
(2) 求 fA
由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段一起作刚体运
动，使 A 端产生挠度 f1
悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度 f2
f2
f1
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?A
B
C
D
q
θB
θB
fafff BA 221 ?????? ?
EI a
qf
8
)2( 2
2 ??
EI
qa
EI
qa
EI
qaf
A 12
7
43
444
?????
因此,A端的总挠度应为
由附录 1V 查得
2q
A
Bf
2
f1
qaM B 2?
2qa
2qa
qaMB 2?A
B
C
D
q
θB
θB
例 7,用叠加法求梁中点处的挠度
A C B
e d
l
2l
q
A C B
e d
l
2l
q
解：将均布荷载看作许多微集中力 dP组成
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
A C B
e d
l
2l
q
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
将均布荷载分作 DC 与 CF 两段
D F
先计算 CF段荷载使梁中点产生的挠度
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()()43(48 22 bablEI bdPy C ?????
)()43(48 22 ???? blEI bqdbdy C
D F
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()43(48 22 ???? blEI bqdbdy C
)()43(48 2221 ???? dbblEIqbf ld
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
)()43(48 2222 ???? dbblEIqbf le
C 截面左侧荷载使梁中点产生的挠度
bdb
A C B
e d
l
2l
q
dP=qdb
fff 21 ??
梁中点的挠度
? ???? m ax
梁的刚度条件可表示为
][m ax yy ?
二、梁的刚度条件
按强度要求设计梁时, 主要是依据梁的正应力强度条件
（ 1）合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值
合理地配置梁的荷载
? ????? WM
z
m ax
m ax
三、梁的合理设计 (提高梁承载能力的措施 )
4
Pl
8
Pl
+
P
l
P
4l 4l2l
P/2 P/2
合理地设置支座位置
受均布荷载的简支梁
ql.M 21250?m a x
l
q
当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l 时
qlM 2m ax 0 2 1 5.0?
a a
l
q
（ 2）合理选择截面形状
当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数
与面积之比尽可能地大。即 Wz/A 较大，则截面的形
状就较为经济合理。 一般要使截面面积分布在距中性
轴较远的地方。 。
对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面
如：工字形,矩形,圆形, 圆环形等截面。但圆环
形比圆形，工字形比矩形, 矩形竖放比平放更合理。
对于脆性材料制成的梁，宜采用 T 字形等对中性轴不对称的截
面且将翼缘置于受拉侧 。
z
y1
y2
? maxc
?maxt
? ?
? ??
????
?
?
c
t
z
z
c
t
y
y
I
yM
I
yM
2
1
2m a x
1m a x
m a x
m a x
要使 接近下列关系,最大拉应力和最大压应力
同时接近许用应力
y
y
2
1
z
y1
y2
? maxc
?maxt
（ 3）合理设计梁的外形
梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的
许用应力, 则称为 等强度梁 。
例 如
例如,宽度 b 保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若
设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x), 可
按正应力强度条件求得 。
2l 2
l
P
b
? ??????
)()61(
)2(
)(
)(
2m a x
xhb
xP
xW
xM梁任一横截面上最大正应力为
2l 2
l
P
b
? ??????
)()61(
)2(
)(
)(
2m a x
xhb
xP
xW
xM
求得 ? ?
σb
Pxxh 3)( ?
2l 2
l
P
b
但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度
? ??????
hb
P
A
Q
m i n
m ax
2
2
3
2
3
求得 ][4
3
m i n ?? b
Ph
2l 2
l
P
b
按上 确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁 。
][4
3
m i n ?? b
Ph
? ?σb
Pxxh 3)( ?
P
一,组合变形概念, 构件在荷载作用下发生两种或两种
以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。
二,解决组合变形问题的基本方法, 叠加法
§ 7—7 组合变形和叠加原理
叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与
外力之间成 线性关系 。
三,工程实例,
处理组合变形的基本方法
一，将组合变形 分解 为基本变形 ——将外力简化或分解，
使 之每个力 (或力偶 )对应一种基本变形；
三，利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加
二，分别 计算 在每一种 基本变形 下构件的的应力和变形；
= +
+= +
LA
B C
P
扭转与弯曲的组合
研究对象,圆截面杆
受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。
变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。
A B
L
P 一,内力分析
设一直径为 d 的等直圆杆 AB,
B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
研究 AB杆的内力。
BA
A B
L
P
B
横向力,P （引起平面弯曲）
力偶矩,m = Pa （引起扭转）
将力 P 向 AB 杆右端截面的
形心 B简化 得
AB 杆为弯扭组合变形
A
P
m
x
画内力图确定危险截面
固定端为危险截面
AA
P
m
Pl
m
A截面
C3
C4
T
?
?
C3 C4
?
?
C2
C1
二,应力分析
危险点为 C1 和 C2
最大扭转剪应力 ? 发生在截面
周边上的各点处。
?
?
C2
C1
危险截面上的最大弯曲
正应力 ?发生在 C1, C2处
C1
C2
C3
C4
T
A截面
C3
C4
?
?
C2
C1 C1
C2
C3
C4
T
对于许用拉、压应力相等的
塑性材料制成的杆这两点的
危险程度是相同的。 可取任
一点 C1 来研究。
C1 点 处于平面应力状态
C1
? ?? ?
三,强度分析
1、主应力计算
?????????????? 4212 )2(2 222
2
1
3
02 ??
C1
? ?? ?
第三强度理论,计算相当力
2,相当应力计算
τσσσσ 4 22313 ????r
第四强度理论,计算相当应力
224 3 ??? ??r
?????????????? 4212 )2(2 222
2
1
3
02 ??
3,强 度计算
? ??? ?r
C1
? ?? ?
讨 论
例 题 8
选 学 9
选 学 8
作 业
1
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
该公式适用于图示的平面应力状态。 ?是危险点的正应力
? 是危险点的剪应力,且横截面不限于圆形截面。
C1
? ?? ?
讨 论
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
?可以是 弯扭组合 变形中由弯曲产生的正应力；
?是由扭转变形引起的剪应力。
C1
? ?? ?
?还可以是 弯曲, 拉 （ 压 ）与 扭转 组合变形中由弯曲与拉（压）
产生的正应力。
?也可以是 拉 （ 压 ）与 扭转 组合变形中由拉（压）产生的正应力；
τσσσσ 4 22313 ????r
224 3 ??? ??r
C1
? ?? ?
该公式适用于 弯, 扭 组合变形； 拉 （ 压 ）与 扭转 的组合变形；
以及 拉 （ 压 ）,扭转 与 弯曲 的组合变形。
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
对于圆形截面杆有2
162
3dW
W t ???
W
TM
W
T
W
M
t
r
2222
22
3 )(4)(4
?????????
W
TM
W
T
W
M
t
r
75.0)(3)(3 222222
4
?????????
上两式只适用于 弯，扭 组合变形下的 圆截面杆。
式中 W为杆的抗弯截面系数。 M,T分别为危险截面的
弯矩和扭矩。
W
TM
W
T
W
M
t
r
2222
22
3 )(4)(4
?????????
W
TM
W
T
W
M
t
r
75.0)(3)(3 222222
4
?????????
例题 8, 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅
垂切向力 5 KN,径向力 1.82 KN;齿轮 D上作用有水平切向力
10 KN,径向力 3.64 KN。齿轮 C 的节圆直径 dc = 400mm,齿
轮 D 的节圆直径 dD =200 mm。设许用应力 ???=100 MPa,试
按第四强度理论求轴的直径。
B
A
C D
y
z
5KN
10KN
300mm 300mm 100mm
x
1.82KN
3.64KN
解,1,外力的简化
x
y
z
A
C
B
D
5KN
1KN.m
1.82KN
3.64kN
10kN
1KN.m
将每个齿轮上的外力
向该轴的截面形心
简化，
B
A
C D
y
z
5KN
10KN
300mm 300mm 100mm
x
1.82KN
3.64KN
1 KN.m 使轴产生扭转
5KN, 3.64KN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲。
1.82KN, 10KN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲。
2,轴的变形分析
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
1.82KN 10kN
1KN.m
1KN.m
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
3、绘制轴的内力图
MyC=0.57KN.m
MyB=0.36KN.m
0.57
0.36
C
B
My图
x
y
z
A
C
B
D
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
MZC=0.227KN.m
MZB=1KN.m
x
y
z
A
C
B
D
T=1KN.m
1KN.m
1KN.m
1
C
T图
-
圆杆发生的是斜
弯曲与扭转的组
合变形
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
由于通过圆轴轴线的
任一平面都是纵向对称
平面，故轴在 xz 和 xy
两平面内弯曲的合成
结果仍为平面弯曲
，从而可用总弯矩来
计算该截面正应力。
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B 截面是危险截面
MyC=0.57KN.m
MZC=0.227KN.m
MyB=0.36KN.m
MZB=1KN.m
4、危险截面上的
内力计算x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
x
zy
MyB MzB
MyB
MzB MB
y
z
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B截面的总弯矩为
22 MMM
zByBB ??
mKN,.0641?
MyB
MzB MB
y
z
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B
My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
B 截面的扭矩值为
mKNT B,1??
x
y
z
A
C
B
D
5KN 3.64kN
0.57
0.36
C
B My图
1.82KN 10kN
0.227
1
C B
Mz图
?
1
C
T图
5，由强度条件求轴的直径
? ?σσ ???? WW TM BBr 1 3 7 2750
22
4
.
32
3dW π?
轴需要的直径为
mmd 9511010 013 72323 6,??? ?? π
请选择
选 学 9
一, 基本概念
P
A B
A B
C
P
超静定梁
* § 7-8 简单超静定梁的解法
单凭静力平衡方程不能求出全
部支反力的梁,称为超静定梁
“多余”约束
多于维持其静力平衡所必需
的 约束
超静定次数
“多余”反力
与,多余”相应的支座反力
超静定梁的“多余”约束的
数目就等于其超静定次数。
P
A B
A B
C
P RC RB
A
B
q
l
(a)二,求解超静定梁的步骤
图示为抗弯刚度为 EI 的一次
超静定梁。
（ 1）解除多余约束，代之以
约束反力。得到原超静定梁
的 基本静定系 。
q
A
B
(b)
RB
0?f B
图（ b）为 基本静定系 。
（ 2）超静定梁在多余约束处
的约束条件，就是原超静定
梁的 变形相容条件 。
A
B
q
l
(a)
q
A
B
(b)
RB
（ 3）根据变形相容条件得
变形几何方程
fff R BBBqB ??
变形几何方程为
0?? ff R BBBq
A
B
q
l
(a)
q
A
B
(b)
RB
fBq
fBRB
（ 4）将力与变形的关系代入
变形几何方程得 补充方程
EI
qlf
Bq 8
4
??
EI
lRf B
B R B 3
3??
查表得
q
A
B
(b)
RB
BA
RB
q
A
B
补充方程为
038 3
4
??? EI lREIql B
由该式解得
qlR B 83?
fBq
fBRB
q
A
B
(b)
RB
BA
RB
q
A
B
qlR A 85?
qlm A 281?
梁固定端的两个支反力
q
A
B
RB
RA
mA
l
A
B
q
l
(a)
代以与其相应的多余反力
偶 mA得基本静定系 mA
变形相容条件为
0??A
请同学们自行完成 ！
方法二
取支座 A处阻止梁转动的约束
为多余约束。
l
A B
q
梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有
关外，还取决于以下三个因素：
材料 —— 梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；
截面 ——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；
跨长 ——梁的位移与跨长 l 的 n 次幂 成正比。
)(" xMEI y ?
* § 7—9 提高梁的刚度的措施
增大梁的抗弯刚度 EI
工程中常采用工字形,箱形截面
为了减小梁的位移，可采取下列措施
)(" xMEI y ?
调整跨长和改变结构
设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。
这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。
A B
q
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短
跨长而减小梁的最大挠度值。
A B
q q
同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的 AB 跨产生向上的
挠度，从而使 AB 跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。
增加梁的支座也可以减小梁的挠度。
作业
? P109页：
? 7－ 6
? 7－ 13
