弯 曲 内 力
第 七 章
§ 7-1 平面弯曲的概念及计算简图
§ 7-2 梁的内力 · 弯矩图
§ 7-3 弯曲时的正应力和强度计算
内容提要
I,弯曲的概念
§ 7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
梁, 以弯曲变形为主的杆件。
弯曲变形
外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
（有时还包括力偶）。
受力特征：
变形特征：梁变形前为直线的轴线,变形后成为曲线。
纵向对称面, 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线
的平面称为 纵向对称面
平面弯曲,作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内
，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的
平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为
对称弯曲 。
A B
P1 P2
RA RB
纵向对称面
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
梁的轴线
非对称弯曲, 梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，
但外力并不作用在纵向对称面内这种弯
曲称为非对称弯曲。
II, 梁的计算简图
R
H m
（ 1） 固定端
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
1 。支座的简化
R
H R
（ 2）固定铰支座
( 3 ) 可动铰支座
2,工程中常用到的静定梁
悬臂梁
外伸梁
简支梁
(3) 几种超静定梁
(例题 1)
(例题 2)
l
A BC
q
2l
P
2l
例 1,计算 悬臂梁的支反力。
RA
mR
Pq
BA
l
C
解, 求梁的支反力 RA 和 mR 。
0P2qlRy A ?????,0
0432,0 ?????? PllqlmM RA
2
ql4
3l
由平衡方程得,
RA
mR
Pq
BA
l
C
2
ql
解得：
8
3
2
2ql
Plm
P
ql
R
R
A
??
??
43l
(例题 2)
例 2：计算图 所示多跨静定梁的支反力
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
再将副梁 CB 的两个支反力 XC, YC 反向，
并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB
的支反力。
C
M=5KN.mmKNq 20?
xC
yC R
B
D K B
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
00 ??? CXX,
055.23205,0 ????????? CB ym
0320,0 ?????? yRy CB
kNRkNyX BCC 29,31,0 ???
解：（ 1）研究 CB梁，由平衡方程
C
M=5KN.mmKNq 20?
xC
yC R
B
D K B
0,0 ??? AXX
mkNmm AA ???????? 5.961505.131,0
kNRy A 813150,0 ?????
yy CC ?'
xx cc ?'X
A
RA
mA
P=50KN
A E
C
（ 2）研究 AC 梁，由平衡方程
xx cc ?'
１,Q 和 M 的定义与计算
§ 7— 2 梁的内力 · 弯矩图
a P
A B
m
m
x
一、梁的剪力和弯矩
Q
用截面法假想地在
横截面 mm处把梁分
为两段，先分析梁左段。
x
x mA
m
y
RA
C
a P
A B
m
m
x
00 ???? QRy A
由平衡方程得
可得 Q = RA
Q 称为 剪力 Q x
x mA
m
y
RA
C
a P
A B
m
m
x
可得 M=RAx
由平衡方程
? ? 0m C
0?? xRM A
Q
x
x mA
m
y
RA
C
M此内力偶称为 弯矩
a P
A B
m
m
x
Q
M
B
m
m
RBP
取右段梁为研究对象。
其上剪力的指向和弯矩
的转向则与取右段梁为
研究对象所示相反。
x
x mA
m
y
RA
C
M
Q
dx
m
m
Q
Q
+
剪力符号
使 dx 微段有 左端向上而右端向下
的相对错动时，横截面 m-m 上
的剪力为 正 。 或使 dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为 正 。
2,Ｑ和 M 的正负号的规定
使 dx 微段有 左端向下而右端向上
的相对错动时，横截面 m-m 上
的剪力为 负 。 或使 dx微段有逆时针
转动趋势的剪力为 负 。
dx
m
m-
m
m+
_
当 dx 微段的弯曲 下凸
（即该段的 下半部受拉 ） 时,
横截面 m-m 上的弯矩为 正 ；
弯矩符号
（受拉）
M M
m
m
（受压）
当 dx 微段的弯曲 上 凸
（即该段的 下半部受 压 ） 时,
横截面 m-m 上的弯矩为为 负 。
例题 3
例题 4
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
例题 3,为图示梁 的计算简图。已知 P1,P2,且 P2 > P1,
尺寸 a,b,c和 l 亦均为已知。试求梁在 E, F 点
处横截面处的剪力和弯矩。
021 ??? bPaPlR B
0)()( 21 ?????? blPalPlR A
解,
0?? m B
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
0?? m A
解得：
l
bPaP
R
l
blPalP
R
B
A
21
21 )()(
?
?
???
?
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
记 E 截面处的剪力
为 QE 和弯矩 ME,
且假设 QE 和弯矩
ME 的指向和转向
均为 正值 。 MEQE
A E
C
RA
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
00 ???? EA QR,y
AE RQ ? M
E
QE
0,0 ????? cRMm AEE
解得
+
cRM AE ?? +
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
A E
C
RA
ME
QEM
E
QE
A E
C
RA
a- c
P1 P2
b- c
c D
RB
l- c
BE
取右段为研究对象
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
? ? 0y 021 ???? PPRQ BE
0?? M E 0)()()( 21 ??????? McbPcaPclR EB
解得,AE RQ ? +
cRM AE ?? +
ME
QEM
E
QE
A E
C
RA
a- c
P1 P2
b- c
c D
RB
l- c
BE
MF
QF RB
F
d
B
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF。
B
d
E
D
P2P1a
b
c
l
C
F
RBRA
MF
QF
00
00
?????
????
dRMm
RQy
BFF
BF
,
,
RQ BF ??
dRM BF ?
-
+
RB
F
d
BB
d
E
D
P2P1a
b
c
l
C
F
RBRA
解得：
例题 4
例题 4,图 示简支梁受线性变化的分布荷载作用,
最大荷载集度为 q0 。 试计算梁在 C 点处横截面上的
剪力和弯矩
l
A B
C
a
q0
解：求梁的支反力 RA和 RB
0322,0 0 ????? llqlRm BA
3,6 00
lqRlqR
BA ??
032,0 0 ????? lRllqm AB
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
由平衡方程得,
解得：
QC
MC
RA
CaA
l
aq
l
aqa
22
2
00 ??
此合力距 C 点的距离为 a/3
laq0
laq2
20 3a
在 C 点处梁上的荷载集度为
该梁段上分布荷载的合力为
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
列出平衡方程
0?? y
02
2
0 ??? Q
l
aqR
cA
0?? m c
032
2
0 ???? a
l
aqaRM
C A
QC
MC
RA
CaA
laq2
20 3a
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
l
alq
l
aqRQ
AC 6
)3(
2
22
0
2
0 ????
解得
当 3
la ?
时 QC 为 正
MC 恒为正
32
2
0 a
l
aqaRM
AC ???
l
alaq
6
)( 220 ??
QC
MC
RA
CaA
laq2
20 3a
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
横截面上的 剪力 在数值上 等于 此横截面的 左侧 或 右
侧 梁段上 外力的代数和 。
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力
向下的外力引起负值的剪力
右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力
向上的外力引起负值的剪力
求剪力和弯矩的简便方法
剪力符号：左上得正，下得负；
右下得正，上得负
横截面上的 弯矩 在数值上 等于 此横截面的 左侧 或 右侧
梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。
不论在截面的 左侧 或 右侧,向上的外力均将引起正
值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩
逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩
顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
例题 5 例题 6 例题 7
弯矩符号：力上得正，下得负；
偶左顺正，逆为负；
偶右逆正，顺为负
例题 5,轴的计算简图如图所示，已知 P1 = P2 = P = 60kN,
a = 230mm, b = 100 mm 和 c = 1000 mm 。求 C, D 点处
横截面上的剪力和弯矩
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
kNPRR BA 60???
RA RB
解：
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
kNPQ C 601 ????
计算 C 横截面上的剪力 QC和弯矩 MC。
K N, m.bPM C 061 ????
RA RB
看左侧
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
计算 D 横截面上的剪力 QD 和弯矩 MD 。
060601 ????? PRQ AD
mKNPacPacRM AD,8.13)( 1 ???????看左侧
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1 R
A RB
例题 6
例题 7
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
解,KNR A 4? KNR B 4??
例题 6,求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩
C
KNRQQ AC 41 ??? 左
K N, mRMM AC 411 ???? 左
1 2
左侧
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
求 1截面的内力：
KNRQQ BC 442 ??????? )(右
K N, m..RMM BC 65141522 ????????? )()(右
K N, mRMM AC 61012 ?????? 右
1 2
C
右侧
左侧
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
求 2 截面的内力：
例题 7
例题 7：求指定截面上的内力 QA左, QA右, QD左, QD右,
MD左, MD右, QB左, QB右 。
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
解,RA = 14.5 KN, RB = 3.5 KN
?QA左
?QA右
??? QQQ DDD 右左
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
看左侧
看右侧
KNq 62 ???
KNqR A 5.82 ??
KNR B 5.3???
?M D左
?M D左
?M D右
?M D右
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
看右侧
看左侧
看右侧
看左侧
mKNmR B,42 ??
mKNqR A,4364 ???
mKNR B,72 ?
mKNmqR A,7364 ????
KNRQ BB 5.3????左
0?Q B 右
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
Q = Q (x )
M = M（ x）
剪力方程和弯矩方程,用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律, 分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
弯矩图为正值画在 x 轴 上侧,负值画在 x轴 下侧
剪力图和弯矩图
剪力图为正值画在 x 轴 上侧,负值画在 x轴 下侧
绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出
梁的 剪力方程 和 弯矩方程,然后根据它们作图。
x
Q(x)
Q 图的坐标系
o xo
例题 8 例题 11
例题 10
例题 9
A
P
B
l
例题 8,图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 P 作用,
试作此梁的剪力图和弯矩图。
x
解, 将坐标原点取在梁的左端，
写出 梁的 剪力方程和弯矩
方程,
0?Q A左
PQ A ??右
PxQ ??)(
)0( lx ??PxxM ??)(
)0( lx ??
A
P
B
l
Q
x
P
x
M
PxQ ??)(
)0( lx ??PxxM ??)(
)0( lx ??
x
A
P
B
l
例题 9
例题 10
例题 11
2
qlRR
BA ??
解, 求两个支反力
A B
l
RA RB
例题 9, 图 示的简支梁在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用
试作此梁的的剪力图和弯矩图。
q
)2()0(
222
)(
)1(0
2
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
l)x(qx
ql
qxRQ ( x )
A
A
???????
??????
取距左端为 x 的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程 。
x
A B
l
RA RBq
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
X=0 处, 2
qlQ?
X= l 处, 2
qlQ ??
+
2ql
2ql
A B
l
RA RBq
x
剪力图为一 倾斜直线 。
弯矩图为一条 二次抛物线 。
0,0 ?? Mx
x = l,M = 0
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxq l xx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
x
A B
l
RA RBq
02)( ??? qxqldx xdM
令
得驻点,2
lx?
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
x
A B
l
RA RBq
弯矩的极值：
8
2
2m a x
qlMM l
x ?? ?
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
8
2ql
2l
+
0,0 ?? Mx
x = l,M = 0
8
2
2m a x
qlMM l
x ?? ?
x
A B
l
RA RBq
梁在跨中点截面上的弯
矩值为最大
8
2
m a x
qlM ?
但此截面上 Q=0
2
qlQ ?
m ax
两支座内侧横截面上
剪力绝对值为最大
8
2ql
2l
+
x
A B
l
RA RBq
+
2ql
2ql
例题 10
例题 11
l
PbR
A ?
解：梁的支反力为
l
PaR
B ?
例题 10：图 示简支梁在 C 点处受集中荷载 P作用。试作此梁的
剪力图和弯矩图
l
RA P
A Bc
a b RB
因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段
写剪方程力方程和弯矩方程
l
RA P
A Bc
a b RB
)()()(
)()()(
20
10
axx
l
Pb
xM
ax
l
Pb
xQ
???
???将坐标原点取在梁的左端
)()()()()(
)()(
)(
)(
4
3
lxaxl
l
Pa
axPx
l
Pb
xM
lxa
l
Pa
l
blP
P
l
Pb
xQ
???????
????
?
????
AC段：
CB段：
x
x
l
RA P
A Bc
a b RB
由（ 1），（ 3）两式可
知, AC,CB 两段梁的
剪力图各是一条平行于 x
轴的直线。
+
lPb
lPa
)()()( 10 ax
l
PbxQ ???
)()()()( 3lxa
l
Pa
l
blPP
l
PbxQ ?????????
l
RA P
A Bc
a b RB
由（ 2），（ 4）式可知,AC，
CB 两段梁的弯矩图各是一
条斜直线
)()()( 20 axx
l
PbxM ???
)()()()()( 4lxaxl
l
PaaxPx
l
PbxM ???????
+ lPba
l
RA P
A Bc
a b RB
在集中荷载作用处的左，
右 两侧截面上 剪力值
（图）有突变 。 突变 值
等于集中荷载 P。 弯矩图
形成尖角,该处弯矩值
最大, + lPba
l
RA P
A Bc
a b RB
+
lPb
lPa
例题 11
l
mR
A ?
l
mR
B ?? aRM
AC ?左
maRM AC ??右
例题 11, 图 示简支梁在 C点处受矩
为 m 的集中力偶作用。
试作此梁的的剪力图和弯矩图
解：求支座反力
B
l
A
C
a b
m
RA RB
)()()( 10 lxlmxQ ???
将坐标原点取在梁的左端。因为梁上没有横向外力，
所以 全梁只有一个剪力方程 ;
B
l
A
C
a b
m
RA RB
AC段, xl
mxM ?)( )( ax ??0
(2)
CB段, )()( xll
mmx
l
mxM ????? )( lxa ??
（ 3）
x
x
AC 段和 BC 段的 弯矩方程不同
B
l
A
C
a b
m
RA RB
)1()0()( lxlmxQ ???
由（ 1）式可见，整个梁
的剪力图是一条平行于 x
轴的直线。梁的任一横截
面上的剪力为
l
mQ ?
由此绘出梁的剪力图
+
l
m
B
l
A
C
a b
m
RA RB
x = 0, M = 0
x = a, l
maM
C ?左
AC段,
xlmM ( x ) ? )( ax ??0 (2)
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。
)()( xllmmxlmxM ????? )( lxa ?? （ 3）
B
l
A
C
a b
m
RA RB
CB段,
l
mbM
C ??右x = a，
x=l, M = 0
xlmM ( x ) ? )( ax ??0 (2)
)()( xllmmxlmxM ????? )( lxa ?? （ 3）
B
l
A
C
a b
m
RA RB
绘出梁的弯矩图
x = 0, M = 0
x = a, l
maM
C ?左
AC段,
CB段,
l
mbM
C ??右x = a，
x=l, M = 0
+
l
mb
l
ma
B
l
A
C
a b
m
RA RB
梁上集中力偶作用处左、右
两侧横截面上的弯矩值 (图）
发生突变，其突变值等于集
中力偶矩的数值。此处剪力
图没有变化
+
l
m
+
l
mb
l
ma
B
l
A
C
a b
m
RA RB
以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支
座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，
然后绘出剪力图和弯矩图。
作剪力图和 弯矩图的 几条规律
取梁的左端点为座标原点,x 轴向右为正；
剪力图,弯矩图均为 向上为正
梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值
（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处 弯矩图
则形成一个尖角 。
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值
（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值 。 但在
此处剪力 图没有变化。
梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；
梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，
或 Q = 0 的截面处。
例题 12
例题 13
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
例题 12：已知 q=3KN/m,m=3KN.m 列内力方程并画内力图。
解,RA=14.5KN RB=3.5KN
Q(x) = -qx = -3x
xqxxM 22 2321)( ????
(0 ? x ? 2)
CA:
(0 ? x < 2)
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
x
AD:
xqxRxQ A 35.14)( ????
(2<x ? 6)
(2 ? x < 6)
xqxRxM A 22)2()( ???
xx 223)2(5.14 ????
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
x
DB:
53,)( ???? RxQ B
( 6 ? x <8 )
)8(5.3)( xxM ??
( 6 < x ? 8 )
x
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
8.5
+
- -
6
3.5
x=4.83
0?? )()( xQdx xdM由 得
14.5 - 3x =0
x=4.83 为弯矩的极值点
CA,Q(x)=-qx =-3x (0 ? x <2)
AD,xqxRXQ A 3514 ????,)(
(2<x ? 6)
DB,53,)( ???? RxQ B(6 ? x <8)
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x = 4.83 为弯矩的极值点
CA,Q(x)=-qx =-3x (0 ? x <2)
AD,xqxRXQ A 3514 ????,)(
(2<x ? 6)
DB,53,)( ???? RxQ B(6 ? x <8)
83.423)283.4(5.14 2m ax ????M
04.6?
8.5
+
- -
6
3.5
x=4.83
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
画弯矩图
046,m a x ?M
xqxxM 22 2321 ????)( (0 ? x ? 2)
xxxqxRxM A 22 23251422 ?????? )(.)()(
(2 ? x < 6)
)(.)( xxM ?? 853(6 < x ? 8)
4
6
6.04 7
+
-
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x=4.83
例题 13
例题 13,画内力图
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
解,3
5qaR
A ? 3
qaR
B ?
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x
AC,qxqaqxRxQ A ???? 3
5)( )20( ax ??
xqxqaxqxRxM A 22 2352)( ????? )20( ax ??
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x
CB,
qaRxQ B 31)( ???? )32( axa ??
)3(3)3()( 2 xaqaqaxaRmxM B ?????? )32( axa ??
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
qaRxQ B 31)( ????
)32( axa ??
qxqaqxRxQ A ???? 35)(
)20( ax ??
+
-
35qa
3qa
x令 Q(x)=0 得弯矩的极
值点
035 ?? qxqa
ax 35?
35a?
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x 35a?
xqxqaxM 2235)( ???
)20( ax ??
)3(3)( 2 xaqaqaxM ???
)32( axa ??
AC：抛物线
0)0( ?M
qaaM 234)2( ?
qaaMM 2m ax 1825)35( ??
1825 2qa 34
2qa
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x 35a?
xqxqaxM 2235)( ???
)20( ax ??
)3(3)( 2 xaqaqaxM ???
)32( axa ??
CB：斜直线 （ ?）
qaaM 234)2( ?
qaaM 2)3( ? qa2
1825 2qa 34
2qa
+
§ 7- 3 梁的内力、弯矩图
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截
面上既又弯矩 M, 又有剪力 Q 。
m
m
Q
M
一、引言 （纯弯曲）
只有与正应力有关的法向内力元素 dN = ? dA 才能合成弯矩
只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ = ? dA 才能合成 剪力
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力, 又有 剪应力
m
m
Q
m
m
M?
?
P P
a a
C D
简支梁 CD 段任一横截面
上, 剪力等于零，而弯矩
为常量，所以该段梁的弯
曲就是 纯弯曲 。
+
+
P
P
+
Pa
若梁在某段内各横截面上的
弯矩为常量, 剪力为零,
则该段梁的弯曲就称为
纯弯曲 。
A B
二,纯弯曲时梁横截面上的正应力
在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时,
要综合考虑 几何, 物理 和 静力学 三方面 。
取 纯弯曲 梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩，
其值等于外力偶 m。
（ 1）试验
梁在加力前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn,
并在两 横向线间靠近顶面和底面处分别划将条纵向线 aa
和 bb。
a a
b b
m
m
n
n
mm
mm
m
m n
n
侧面上的两纵向线 aa, bb 弯成弧线
（ 2）梁变形后，观察到的现象
横向线 mm,nn 仍为直线，但相对转了一个角度且与
弯曲后的 aa, bb垂直。
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短
mm
m
m n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
平面假设,梁在受力弯曲后，原来的横截面仍
为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度,
且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。
（ 3）结论
C
?d
用两个横截面从梁中假想地截取
长为 dx 的一段。
（ 4）推导公式
由平面假设可知，在梁弯曲时
这两个横截面将相对地旋转
一个角度 d?。
变形的几何关系
C
?d
dxo1 o2
横截面的转动将使梁的凹边的纵
向线段缩短，凸边的纵向线段伸
长。 。
由于变形的连续性，中间必有一层
纵向线段（如 O1O2 ）无长度改变 。
此层称为 中性层 。
C
?d
dxo1 o2
中性层与横截面的交线称为
中性轴 。
中性轴与横截面的对称轴成正交。
中性层
中性轴
横截面
横截面的
对称轴
C
?d
dxo1 o2
将梁的轴线取为 x 轴，横截
面的对称轴取为 y 轴, 中性
轴取为 z 轴。
O x
y
Z
C
?d
dxo1 o2
作 O2B1 与 O1A 平行
在横截面上取距中性轴为 y 处
的纵向线 AB。
? 为中性层上的纵向线段 O1O2
变弯后的曲率半径B1
A By
C
?d
dxo1 o2
AB1 为变形前 AB 的长度
B1B 为 AB1 的伸长量 ?AB1
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
B1B = ?AB1
? 为 A 点的纵向线应变 。
为中性层上纵向线段的长度
?d
dx
dy
OO
BB
AB
AB
l
l )(
21
1
1
1 ????????
O1O2 = dx
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
中性层的曲率为
dx
d??
?
1
因为 ? 是个非负的量，于是
?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
dx
d??
?
1
dx
dy
OO
BB
AB
AB
l
l )(
21
1
1
1 ????????
?
? y? （ a）
O
y
Z
x
y
?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
?
? y?
该式说明, ? 和 y 成正比,，
而与 z 无关 。 变 ?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
?
? y?
物理方面
横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态
材料在弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等
由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
假设：
? =E? （ b）
?
????
y
EE
上式为横截面上正应力变化规律的表达式
???
y
??? E
（ b）
xO
y
Z?????
y
EE
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距
离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力
均相等 。
y
?????
yEE
以及中性轴的位置？?
1
中性轴
M
y
Z
O
x
M
静力学方面
在横截面上法向内力元素 ?dA
构成了空间平行力系 。
dA
Z
y
dA?
y
Z
?? A dAN σ
?? Ay dAzM σ
? ?? AZ dAyM
根据梁上只有外力偶 m 这一
条件可知，上式中的 N 和 My
均等于零,而 MZ 就是横截面上
的弯矩 M。
0?
0?
M?
O
x
M
dA dA?
Z
y
?????
yEE
? ?? ????? AA y d AEdAN
MIE z ??
oIE yz ???
0???SE Z
? ?? ???????? A Ay dAyzEdAzM
????? ???? AAZ dAyEdAyM 2
中性轴过形心且与横截面的对称 轴 y 垂直
0?SZ
中性轴必通过横截面的形心
0?? ??? ????? A zA SEy d AEdAN
y y
C Z
C Z
中性轴
y y
C Z
C Z
中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。
M
拉
压 M 拉
压
0?I yz
因为 y 是对称轴，所以
该式自动满足
oIEdAyzEdAzM A yzAy ?? ??? ????????
中性轴是截面的形心主轴
IE
M
Z
?
?
1
EIZ 称为抗弯刚度
?????
yEE
MIEdAyEdAyM zAAZ ??????? ???? 2
M 横截面上的弯矩
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式
y 求应力的点到中性轴的距离
式中,
横截面对中性轴的惯性矩Iz
I Z
yM ???
?? dAyI Az 2 （ 7－ 1）
惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4m
（ 7－ 3）
讨论
应用公式时，一般将 M,y 以绝对值代入。根据梁变
形的情况直接判断 ? 的正，负号。 以中性轴为界，梁
变形后凸出边的应力为拉应力（ ? 为正号）。凹入边
的应力为压应力, （ ? 为负号）。
I Z
yM ???
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
当 中性轴为对称轴时, ymax 表示最大应力点到中性轴
的距离，横截面上的最大正应力为
I Z
yM ???
I
yM
z
m ax
m ax ??
y
ymax
ymax
ZC
y
IW Z
Z
m a x
?
WZ称为抗弯截面模量
（ 7－ 4）
（ 7－ 5）
M
W
M
Z
?? m ax
梁横截面上最大正应力的计算公式为
矩形截面梁横截面上正应力分
部图如图所示
σ maxc
σ maxt
????? m axm axm ax tc
（ 7－ 6）
矩形截面的抗弯截面系数
圆形截面的抗弯截面系数
6
2bh=
2
12
2
3
h
bh
h
I=W z
z ?
2
64
2
4
d
π d
d
IW z
z ??
32
3d=?
y
h
b
z
d
y
z
常见简单形状截面的惯性矩见教材表 7－ 1
z
y
应分别以横截面上受拉和
受压部分距中性轴最远的
距离 和 直
接代入公式
ycmaxyt max
对于中性轴不是对称轴的横截面
求得相应的最大正应力
ycmax
yt max
M
拉边
压边
I Z
My??
I
Myσ
Z
t
t
m a x
m a x ?
I
Myσ
Z
c
c
m a x
m a x ?
z
y
ycmax
yt max
M
拉边
压边 σ
maxc
σ maxt
当梁上有横向力作用时，横截面上既又 弯矩 又有 剪力 。
梁在此种情况下的弯曲称为 横力弯曲 。
三,纯弯曲理论在横力弯曲中的推广
梁的正应力强度条件
I, 纯弯曲理论的推广
横力弯曲 时，梁的横截面上既有正应力 ?，
又有剪应力 ?。
剪应力使横截面发生翘曲
横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力
纯弯曲时所作的 平面假设 和 各纵向线段间互不挤压
的假设都不成立 。
但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的
计算横力弯曲时横截面上的正应力 。
等直梁 横力弯曲 时横截面上的最大正应力公式为
W
xM
Z
)(
m ax ??
BA C
P
10m
z
12.5
166
a
5m
例题,图示简支梁由 56 a 工字钢制成,其横截面见图
p = 150kN。求
RA RB
(1) 梁上的最大正应力 ?max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
查型钢表,56 a 工字钢
cmW z 22 3 4 2?
cmI z 66 5 5 8 6?
解,
mKNM,375m a x ?
C 截面为危险截面 。 最大弯矩 +
M P a
W
M
Z
160σ m a xm a x ??
(1) 梁的最大正应力
+
(2) a点的正应力
M P aI yM
Z
aa 1 4 5?? m a xσ
a点到中性轴的距离为
2125 6 0 ??y a
所以 a 点的正应力为
z
12.5
166
a
II 梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在 最大弯矩 的横截面上 距中性轴
最远的各点处 。
该处的 剪应力都等于零,纵截面上由横向力引起的挤压
应力可略去不计 。
因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，
看作 单轴应力状态 。
梁的正应力强度条件为：
梁的横截面上最大工作正应力 ?max 不得超过材料的
许用弯曲正应力 [?] 即
? ???? m ax
还可将上式写为
? ?σm ax ?
W
M
Z
可对梁按正应力进行强度校核
选择梁的截面
确定梁的许可荷载
? ? ? ???? ct
对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的
（两者有时并不发生在同一横截面上）
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
??? m axm ax ct
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
][m a x ??? tt
? ???? cc m ax
例题 14
例题 15
例题 16
例题 17
? ?,90σ M P ac ?
例题 14, 跨长 l = 2m 的铸铁
梁受力如图所示。已知材料的
拉, 压许用应力分别为? ?,30σ M P a
t ?
试根据截面 合理的要求：最为
A B
1m
2m
P=80KN
确定 T 字形截面梁横截面
的一个尺寸 ?
校核梁的强度
220
?
y
解,要使截面最合理，必须使同一截面的
? ?
? ??
??
?
?
c
t
c
t
m ax
m ax
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
I
My
Z
t 1m ax ?? I
My
Z
c 2m ax ??
已知 ? ?? ? 319030 ????
c
t
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
? ?
? ? 3
1
2
1
m ax
m ax ?
?
???
?
?
c
t
c
t
y
y
mmyy 2 8021 ??
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
2102 ?? yy
以上边缘为参考边
y
AA
yAyAy
21
2211
?
??
δ)(A ??? 602 8 01
2
60280
1
??y
602202 ??A
2
60280
2 ??y
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
22060)60280(
)260280(22060)2 60280()60280(
?????
????????
?y
2102 ?? yy
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
AA
yAyAy
21
2211
?
??
mmδ 24?
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
? ? 12 602201102102202412 22024
323 ??
?????I z
?????? ????? 2602 1 02 8 0602 2 0
2
m 46103.99 ???
(2) 校核梁的强度1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
][m a xm a xm a x ?? c
Z
cc
I
yM ??
][m a xm a xm a x ?? t
Z
tt
I
yM ??
M P a.I yM
Z
c 8842
m a x
m a x ???
? ??? c
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
mKNPlM,404m ax ??
2102 ?y
][1m axm ax ?? t
Z
t I
yM ??
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
mKNPlM,404m ax ??
2102 ?y
例题 15, 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知,b = 2 m,
Iz = 5493?104 mm4, 铸铁的许用拉应力 [?t] = 30MPa,许用压应力
[?C] = 90MPa 。 试求梁的许可荷载 [P]。
b
C
b
D
A
P
b
b
Pq?
B
2
PbM
B ?
4
PbM
C ?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
解, 弯矩图如图所示。
最大负弯矩在 B 截面上，
最大正弯矩在 C 上 。 b
C
b
D
A
P
b
b
Pq?
B
mmy 861 ?
mmy 1342 ?
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
梁的截面图如图所示，中性轴
到上，下边缘的距离分别为
C 截面
? ????? t
Z
Ct
I
yM 2
m ax
? ????? C
Z
Cc
I
yM 1
m ax
yy 12 ?
? ? ? ?σσ Ct ?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
1030105 9 63
134024
6
6
2
m a x ???
??
??? ?
.)P(
I
yM
z
c
t
C截面的强度条件由最的拉应
力控制。
KNP 6.24?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
B 截面
? ????? t
Z
Bt
I
yM 1
m ax
? ? M P aP 219,?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
? ????? c
Z
Bc
I
yM 2
m ax
? ? M P aP 836,?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
KNP 2.19][ ?
取其中较小者，得该梁的
许可荷载为
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
例题 16, 图示梁由工字钢制成 。 钢的许用弯曲正应力
[?]=152MPa, 试选择工字钢的号码 。
解：
由弯矩图可知，梁的最
大弯矩为
mKNM,375m a x ?
+
375
281 281
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
RA RB
RA = RB = 112.5 KN
梁所必需的抗弯截面系数为
? ? m
MW
Z
36m ax 102 4 6 0 ???
??
由型钢表查得 56 b 号工字钢的
cmW Z 32447?+
375
281 281
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
RA RB
此值小于所必需的 mW Z 3610246 0 ???
? ?σMP aWM
Z
???? 153m axm ax
但也不到 1%,故可选用 56 b 号工字钢 。
但不到 1%,采 用此工字钢时最大正应力
80
y1
y2
20
20
120
z
例题 17,T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的
抗拉许用应力为 [?t]=30MPa,抗压许用应力为 [?C]=160MPa
。已知截面对形心轴 Z的惯性矩为 Iz=763cm4,y1 =52mm.
校核梁的强度。
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
RA RB
80
y1
y2
20
20
120
z
解,KN.R A 52? KN.R B 510?
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
80
y1
y2
20
20
120
z
最大正弯矩在截面 C上 mKNM C,,52?
最大负弯矩在截面 B上 mKNM B,4?
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
B截面 { ][2.271m ax ????? tz
Bt MP a
I
yM
][2.462m ax ????? c
z
Bc MP a
I
yM
80
y1
y2
20
20
120
z
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
C截面 ][8.28
2m ax ????? t
z
ct MP a
I
yM
80
y1
y2
20
20
120
z
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
作业
? P110页
? 7－ 1、
第 七 章
§ 7-1 平面弯曲的概念及计算简图
§ 7-2 梁的内力 · 弯矩图
§ 7-3 弯曲时的正应力和强度计算
内容提要
I,弯曲的概念
§ 7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
梁, 以弯曲变形为主的杆件。
弯曲变形
外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
（有时还包括力偶）。
受力特征：
变形特征：梁变形前为直线的轴线,变形后成为曲线。
纵向对称面, 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线
的平面称为 纵向对称面
平面弯曲,作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内
，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的
平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为
对称弯曲 。
A B
P1 P2
RA RB
纵向对称面
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
梁的轴线
非对称弯曲, 梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，
但外力并不作用在纵向对称面内这种弯
曲称为非对称弯曲。
II, 梁的计算简图
R
H m
（ 1） 固定端
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
1 。支座的简化
R
H R
（ 2）固定铰支座
( 3 ) 可动铰支座
2,工程中常用到的静定梁
悬臂梁
外伸梁
简支梁
(3) 几种超静定梁
(例题 1)
(例题 2)
l
A BC
q
2l
P
2l
例 1,计算 悬臂梁的支反力。
RA
mR
Pq
BA
l
C
解, 求梁的支反力 RA 和 mR 。
0P2qlRy A ?????,0
0432,0 ?????? PllqlmM RA
2
ql4
3l
由平衡方程得,
RA
mR
Pq
BA
l
C
2
ql
解得：
8
3
2
2ql
Plm
P
ql
R
R
A
??
??
43l
(例题 2)
例 2：计算图 所示多跨静定梁的支反力
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
再将副梁 CB 的两个支反力 XC, YC 反向，
并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB
的支反力。
C
M=5KN.mmKNq 20?
xC
yC R
B
D K B
1m 1m 1m0.5m 3m
P=50KN mKNq 20? M=5KN.m
A E C D K B
00 ??? CXX,
055.23205,0 ????????? CB ym
0320,0 ?????? yRy CB
kNRkNyX BCC 29,31,0 ???
解：（ 1）研究 CB梁，由平衡方程
C
M=5KN.mmKNq 20?
xC
yC R
B
D K B
0,0 ??? AXX
mkNmm AA ???????? 5.961505.131,0
kNRy A 813150,0 ?????
yy CC ?'
xx cc ?'X
A
RA
mA
P=50KN
A E
C
（ 2）研究 AC 梁，由平衡方程
xx cc ?'
１,Q 和 M 的定义与计算
§ 7— 2 梁的内力 · 弯矩图
a P
A B
m
m
x
一、梁的剪力和弯矩
Q
用截面法假想地在
横截面 mm处把梁分
为两段，先分析梁左段。
x
x mA
m
y
RA
C
a P
A B
m
m
x
00 ???? QRy A
由平衡方程得
可得 Q = RA
Q 称为 剪力 Q x
x mA
m
y
RA
C
a P
A B
m
m
x
可得 M=RAx
由平衡方程
? ? 0m C
0?? xRM A
Q
x
x mA
m
y
RA
C
M此内力偶称为 弯矩
a P
A B
m
m
x
Q
M
B
m
m
RBP
取右段梁为研究对象。
其上剪力的指向和弯矩
的转向则与取右段梁为
研究对象所示相反。
x
x mA
m
y
RA
C
M
Q
dx
m
m
Q
Q
+
剪力符号
使 dx 微段有 左端向上而右端向下
的相对错动时，横截面 m-m 上
的剪力为 正 。 或使 dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为 正 。
2,Ｑ和 M 的正负号的规定
使 dx 微段有 左端向下而右端向上
的相对错动时，横截面 m-m 上
的剪力为 负 。 或使 dx微段有逆时针
转动趋势的剪力为 负 。
dx
m
m-
m
m+
_
当 dx 微段的弯曲 下凸
（即该段的 下半部受拉 ） 时,
横截面 m-m 上的弯矩为 正 ；
弯矩符号
（受拉）
M M
m
m
（受压）
当 dx 微段的弯曲 上 凸
（即该段的 下半部受 压 ） 时,
横截面 m-m 上的弯矩为为 负 。
例题 3
例题 4
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
例题 3,为图示梁 的计算简图。已知 P1,P2,且 P2 > P1,
尺寸 a,b,c和 l 亦均为已知。试求梁在 E, F 点
处横截面处的剪力和弯矩。
021 ??? bPaPlR B
0)()( 21 ?????? blPalPlR A
解,
0?? m B
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
0?? m A
解得：
l
bPaP
R
l
blPalP
R
B
A
21
21 )()(
?
?
???
?
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
记 E 截面处的剪力
为 QE 和弯矩 ME,
且假设 QE 和弯矩
ME 的指向和转向
均为 正值 。 MEQE
A E
C
RA
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
00 ???? EA QR,y
AE RQ ? M
E
QE
0,0 ????? cRMm AEE
解得
+
cRM AE ?? +
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
A E
C
RA
ME
QEM
E
QE
A E
C
RA
a- c
P1 P2
b- c
c D
RB
l- c
BE
取右段为研究对象
B
d
E
D
P2P1
A
a
b
c
l
C
F
RBRA
? ? 0y 021 ???? PPRQ BE
0?? M E 0)()()( 21 ??????? McbPcaPclR EB
解得,AE RQ ? +
cRM AE ?? +
ME
QEM
E
QE
A E
C
RA
a- c
P1 P2
b- c
c D
RB
l- c
BE
MF
QF RB
F
d
B
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF。
B
d
E
D
P2P1a
b
c
l
C
F
RBRA
MF
QF
00
00
?????
????
dRMm
RQy
BFF
BF
,
,
RQ BF ??
dRM BF ?
-
+
RB
F
d
BB
d
E
D
P2P1a
b
c
l
C
F
RBRA
解得：
例题 4
例题 4,图 示简支梁受线性变化的分布荷载作用,
最大荷载集度为 q0 。 试计算梁在 C 点处横截面上的
剪力和弯矩
l
A B
C
a
q0
解：求梁的支反力 RA和 RB
0322,0 0 ????? llqlRm BA
3,6 00
lqRlqR
BA ??
032,0 0 ????? lRllqm AB
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
由平衡方程得,
解得：
QC
MC
RA
CaA
l
aq
l
aqa
22
2
00 ??
此合力距 C 点的距离为 a/3
laq0
laq2
20 3a
在 C 点处梁上的荷载集度为
该梁段上分布荷载的合力为
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
列出平衡方程
0?? y
02
2
0 ??? Q
l
aqR
cA
0?? m c
032
2
0 ???? a
l
aqaRM
C A
QC
MC
RA
CaA
laq2
20 3a
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
l
alq
l
aqRQ
AC 6
)3(
2
22
0
2
0 ????
解得
当 3
la ?
时 QC 为 正
MC 恒为正
32
2
0 a
l
aqaRM
AC ???
l
alaq
6
)( 220 ??
QC
MC
RA
CaA
laq2
20 3a
3l20
lq32l
l
A B
C
a
q0
RA RB
横截面上的 剪力 在数值上 等于 此横截面的 左侧 或 右
侧 梁段上 外力的代数和 。
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力
向下的外力引起负值的剪力
右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力
向上的外力引起负值的剪力
求剪力和弯矩的简便方法
剪力符号：左上得正，下得负；
右下得正，上得负
横截面上的 弯矩 在数值上 等于 此横截面的 左侧 或 右侧
梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。
不论在截面的 左侧 或 右侧,向上的外力均将引起正
值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩
逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩
顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
例题 5 例题 6 例题 7
弯矩符号：力上得正，下得负；
偶左顺正，逆为负；
偶右逆正，顺为负
例题 5,轴的计算简图如图所示，已知 P1 = P2 = P = 60kN,
a = 230mm, b = 100 mm 和 c = 1000 mm 。求 C, D 点处
横截面上的剪力和弯矩
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
kNPRR BA 60???
RA RB
解：
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
kNPQ C 601 ????
计算 C 横截面上的剪力 QC和弯矩 MC。
K N, m.bPM C 061 ????
RA RB
看左侧
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1
计算 D 横截面上的剪力 QD 和弯矩 MD 。
060601 ????? PRQ AD
mKNPacPacRM AD,8.13)( 1 ???????看左侧
A
PP ?2
C
D B
b
a
c
PP?1 R
A RB
例题 6
例题 7
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
解,KNR A 4? KNR B 4??
例题 6,求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩
C
KNRQQ AC 41 ??? 左
K N, mRMM AC 411 ???? 左
1 2
左侧
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
求 1截面的内力：
KNRQQ BC 442 ??????? )(右
K N, m..RMM BC 65141522 ????????? )()(右
K N, mRMM AC 61012 ?????? 右
1 2
C
右侧
左侧
1m
2.5m
10KN.m
A B
C1
2
RA RB
求 2 截面的内力：
例题 7
例题 7：求指定截面上的内力 QA左, QA右, QD左, QD右,
MD左, MD右, QB左, QB右 。
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
解,RA = 14.5 KN, RB = 3.5 KN
?QA左
?QA右
??? QQQ DDD 右左
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
看左侧
看右侧
KNq 62 ???
KNqR A 5.82 ??
KNR B 5.3???
?M D左
?M D左
?M D右
?M D右
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
看右侧
看左侧
看右侧
看左侧
mKNmR B,42 ??
mKNqR A,4364 ???
mKNR B,72 ?
mKNmqR A,7364 ????
KNRQ BB 5.3????左
0?Q B 右
mKNq 3? m=3KN.m
2m 2m4m
C A D B
RA R
B
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
Q = Q (x )
M = M（ x）
剪力方程和弯矩方程,用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律, 分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
弯矩图为正值画在 x 轴 上侧,负值画在 x轴 下侧
剪力图和弯矩图
剪力图为正值画在 x 轴 上侧,负值画在 x轴 下侧
绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出
梁的 剪力方程 和 弯矩方程,然后根据它们作图。
x
Q(x)
Q 图的坐标系
o xo
例题 8 例题 11
例题 10
例题 9
A
P
B
l
例题 8,图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 P 作用,
试作此梁的剪力图和弯矩图。
x
解, 将坐标原点取在梁的左端，
写出 梁的 剪力方程和弯矩
方程,
0?Q A左
PQ A ??右
PxQ ??)(
)0( lx ??PxxM ??)(
)0( lx ??
A
P
B
l
Q
x
P
x
M
PxQ ??)(
)0( lx ??PxxM ??)(
)0( lx ??
x
A
P
B
l
例题 9
例题 10
例题 11
2
qlRR
BA ??
解, 求两个支反力
A B
l
RA RB
例题 9, 图 示的简支梁在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用
试作此梁的的剪力图和弯矩图。
q
)2()0(
222
)(
)1(0
2
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
l)x(qx
ql
qxRQ ( x )
A
A
???????
??????
取距左端为 x 的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程 。
x
A B
l
RA RBq
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
X=0 处, 2
qlQ?
X= l 处, 2
qlQ ??
+
2ql
2ql
A B
l
RA RBq
x
剪力图为一 倾斜直线 。
弯矩图为一条 二次抛物线 。
0,0 ?? Mx
x = l,M = 0
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxq l xx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
x
A B
l
RA RBq
02)( ??? qxqldx xdM
令
得驻点,2
lx?
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
x
A B
l
RA RBq
弯矩的极值：
8
2
2m a x
qlMM l
x ?? ?
)2()0(
222
)(
)1()0(
2
)(
2
lx
qxqlxx
qxxRxM
lxqx
ql
qxRxQ
A
A
???????
??????
8
2ql
2l
+
0,0 ?? Mx
x = l,M = 0
8
2
2m a x
qlMM l
x ?? ?
x
A B
l
RA RBq
梁在跨中点截面上的弯
矩值为最大
8
2
m a x
qlM ?
但此截面上 Q=0
2
qlQ ?
m ax
两支座内侧横截面上
剪力绝对值为最大
8
2ql
2l
+
x
A B
l
RA RBq
+
2ql
2ql
例题 10
例题 11
l
PbR
A ?
解：梁的支反力为
l
PaR
B ?
例题 10：图 示简支梁在 C 点处受集中荷载 P作用。试作此梁的
剪力图和弯矩图
l
RA P
A Bc
a b RB
因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段
写剪方程力方程和弯矩方程
l
RA P
A Bc
a b RB
)()()(
)()()(
20
10
axx
l
Pb
xM
ax
l
Pb
xQ
???
???将坐标原点取在梁的左端
)()()()()(
)()(
)(
)(
4
3
lxaxl
l
Pa
axPx
l
Pb
xM
lxa
l
Pa
l
blP
P
l
Pb
xQ
???????
????
?
????
AC段：
CB段：
x
x
l
RA P
A Bc
a b RB
由（ 1），（ 3）两式可
知, AC,CB 两段梁的
剪力图各是一条平行于 x
轴的直线。
+
lPb
lPa
)()()( 10 ax
l
PbxQ ???
)()()()( 3lxa
l
Pa
l
blPP
l
PbxQ ?????????
l
RA P
A Bc
a b RB
由（ 2），（ 4）式可知,AC，
CB 两段梁的弯矩图各是一
条斜直线
)()()( 20 axx
l
PbxM ???
)()()()()( 4lxaxl
l
PaaxPx
l
PbxM ???????
+ lPba
l
RA P
A Bc
a b RB
在集中荷载作用处的左，
右 两侧截面上 剪力值
（图）有突变 。 突变 值
等于集中荷载 P。 弯矩图
形成尖角,该处弯矩值
最大, + lPba
l
RA P
A Bc
a b RB
+
lPb
lPa
例题 11
l
mR
A ?
l
mR
B ?? aRM
AC ?左
maRM AC ??右
例题 11, 图 示简支梁在 C点处受矩
为 m 的集中力偶作用。
试作此梁的的剪力图和弯矩图
解：求支座反力
B
l
A
C
a b
m
RA RB
)()()( 10 lxlmxQ ???
将坐标原点取在梁的左端。因为梁上没有横向外力，
所以 全梁只有一个剪力方程 ;
B
l
A
C
a b
m
RA RB
AC段, xl
mxM ?)( )( ax ??0
(2)
CB段, )()( xll
mmx
l
mxM ????? )( lxa ??
（ 3）
x
x
AC 段和 BC 段的 弯矩方程不同
B
l
A
C
a b
m
RA RB
)1()0()( lxlmxQ ???
由（ 1）式可见，整个梁
的剪力图是一条平行于 x
轴的直线。梁的任一横截
面上的剪力为
l
mQ ?
由此绘出梁的剪力图
+
l
m
B
l
A
C
a b
m
RA RB
x = 0, M = 0
x = a, l
maM
C ?左
AC段,
xlmM ( x ) ? )( ax ??0 (2)
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。
)()( xllmmxlmxM ????? )( lxa ?? （ 3）
B
l
A
C
a b
m
RA RB
CB段,
l
mbM
C ??右x = a，
x=l, M = 0
xlmM ( x ) ? )( ax ??0 (2)
)()( xllmmxlmxM ????? )( lxa ?? （ 3）
B
l
A
C
a b
m
RA RB
绘出梁的弯矩图
x = 0, M = 0
x = a, l
maM
C ?左
AC段,
CB段,
l
mbM
C ??右x = a，
x=l, M = 0
+
l
mb
l
ma
B
l
A
C
a b
m
RA RB
梁上集中力偶作用处左、右
两侧横截面上的弯矩值 (图）
发生突变，其突变值等于集
中力偶矩的数值。此处剪力
图没有变化
+
l
m
+
l
mb
l
ma
B
l
A
C
a b
m
RA RB
以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支
座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，
然后绘出剪力图和弯矩图。
作剪力图和 弯矩图的 几条规律
取梁的左端点为座标原点,x 轴向右为正；
剪力图,弯矩图均为 向上为正
梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值
（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处 弯矩图
则形成一个尖角 。
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值
（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值 。 但在
此处剪力 图没有变化。
梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；
梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，
或 Q = 0 的截面处。
例题 12
例题 13
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
例题 12：已知 q=3KN/m,m=3KN.m 列内力方程并画内力图。
解,RA=14.5KN RB=3.5KN
Q(x) = -qx = -3x
xqxxM 22 2321)( ????
(0 ? x ? 2)
CA:
(0 ? x < 2)
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
x
AD:
xqxRxQ A 35.14)( ????
(2<x ? 6)
(2 ? x < 6)
xqxRxM A 22)2()( ???
xx 223)2(5.14 ????
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
x
DB:
53,)( ???? RxQ B
( 6 ? x <8 )
)8(5.3)( xxM ??
( 6 < x ? 8 )
x
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x
8.5
+
- -
6
3.5
x=4.83
0?? )()( xQdx xdM由 得
14.5 - 3x =0
x=4.83 为弯矩的极值点
CA,Q(x)=-qx =-3x (0 ? x <2)
AD,xqxRXQ A 3514 ????,)(
(2<x ? 6)
DB,53,)( ???? RxQ B(6 ? x <8)
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x = 4.83 为弯矩的极值点
CA,Q(x)=-qx =-3x (0 ? x <2)
AD,xqxRXQ A 3514 ????,)(
(2<x ? 6)
DB,53,)( ???? RxQ B(6 ? x <8)
83.423)283.4(5.14 2m ax ????M
04.6?
8.5
+
- -
6
3.5
x=4.83
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
画弯矩图
046,m a x ?M
xqxxM 22 2321 ????)( (0 ? x ? 2)
xxxqxRxM A 22 23251422 ?????? )(.)()(
(2 ? x < 6)
)(.)( xxM ?? 853(6 < x ? 8)
4
6
6.04 7
+
-
AC
B
D
q
m
2m 2m4m
RA RB
x=4.83
例题 13
例题 13,画内力图
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
解,3
5qaR
A ? 3
qaR
B ?
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x
AC,qxqaqxRxQ A ???? 3
5)( )20( ax ??
xqxqaxqxRxM A 22 2352)( ????? )20( ax ??
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x
CB,
qaRxQ B 31)( ???? )32( axa ??
)3(3)3()( 2 xaqaqaxaRmxM B ?????? )32( axa ??
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
qaRxQ B 31)( ????
)32( axa ??
qxqaqxRxQ A ???? 35)(
)20( ax ??
+
-
35qa
3qa
x令 Q(x)=0 得弯矩的极
值点
035 ?? qxqa
ax 35?
35a?
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x 35a?
xqxqaxM 2235)( ???
)20( ax ??
)3(3)( 2 xaqaqaxM ???
)32( axa ??
AC：抛物线
0)0( ?M
qaaM 234)2( ?
qaaMM 2m ax 1825)35( ??
1825 2qa 34
2qa
A BC
RA
RB2a a
q m=qa2
x 35a?
xqxqaxM 2235)( ???
)20( ax ??
)3(3)( 2 xaqaqaxM ???
)32( axa ??
CB：斜直线 （ ?）
qaaM 234)2( ?
qaaM 2)3( ? qa2
1825 2qa 34
2qa
+
§ 7- 3 梁的内力、弯矩图
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截
面上既又弯矩 M, 又有剪力 Q 。
m
m
Q
M
一、引言 （纯弯曲）
只有与正应力有关的法向内力元素 dN = ? dA 才能合成弯矩
只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ = ? dA 才能合成 剪力
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力, 又有 剪应力
m
m
Q
m
m
M?
?
P P
a a
C D
简支梁 CD 段任一横截面
上, 剪力等于零，而弯矩
为常量，所以该段梁的弯
曲就是 纯弯曲 。
+
+
P
P
+
Pa
若梁在某段内各横截面上的
弯矩为常量, 剪力为零,
则该段梁的弯曲就称为
纯弯曲 。
A B
二,纯弯曲时梁横截面上的正应力
在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时,
要综合考虑 几何, 物理 和 静力学 三方面 。
取 纯弯曲 梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩，
其值等于外力偶 m。
（ 1）试验
梁在加力前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn,
并在两 横向线间靠近顶面和底面处分别划将条纵向线 aa
和 bb。
a a
b b
m
m
n
n
mm
mm
m
m n
n
侧面上的两纵向线 aa, bb 弯成弧线
（ 2）梁变形后，观察到的现象
横向线 mm,nn 仍为直线，但相对转了一个角度且与
弯曲后的 aa, bb垂直。
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短
mm
m
m n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
平面假设,梁在受力弯曲后，原来的横截面仍
为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度,
且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。
（ 3）结论
C
?d
用两个横截面从梁中假想地截取
长为 dx 的一段。
（ 4）推导公式
由平面假设可知，在梁弯曲时
这两个横截面将相对地旋转
一个角度 d?。
变形的几何关系
C
?d
dxo1 o2
横截面的转动将使梁的凹边的纵
向线段缩短，凸边的纵向线段伸
长。 。
由于变形的连续性，中间必有一层
纵向线段（如 O1O2 ）无长度改变 。
此层称为 中性层 。
C
?d
dxo1 o2
中性层与横截面的交线称为
中性轴 。
中性轴与横截面的对称轴成正交。
中性层
中性轴
横截面
横截面的
对称轴
C
?d
dxo1 o2
将梁的轴线取为 x 轴，横截
面的对称轴取为 y 轴, 中性
轴取为 z 轴。
O x
y
Z
C
?d
dxo1 o2
作 O2B1 与 O1A 平行
在横截面上取距中性轴为 y 处
的纵向线 AB。
? 为中性层上的纵向线段 O1O2
变弯后的曲率半径B1
A By
C
?d
dxo1 o2
AB1 为变形前 AB 的长度
B1B 为 AB1 的伸长量 ?AB1
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
B1B = ?AB1
? 为 A 点的纵向线应变 。
为中性层上纵向线段的长度
?d
dx
dy
OO
BB
AB
AB
l
l )(
21
1
1
1 ????????
O1O2 = dx
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
中性层的曲率为
dx
d??
?
1
因为 ? 是个非负的量，于是
?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
dx
d??
?
1
dx
dy
OO
BB
AB
AB
l
l )(
21
1
1
1 ????????
?
? y? （ a）
O
y
Z
x
y
?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
?
? y?
该式说明, ? 和 y 成正比,，
而与 z 无关 。 变 ?d
B1A B
y
C
?d
dxo1 o2
?
? y?
物理方面
横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态
材料在弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等
由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
假设：
? =E? （ b）
?
????
y
EE
上式为横截面上正应力变化规律的表达式
???
y
??? E
（ b）
xO
y
Z?????
y
EE
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距
离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力
均相等 。
y
?????
yEE
以及中性轴的位置？?
1
中性轴
M
y
Z
O
x
M
静力学方面
在横截面上法向内力元素 ?dA
构成了空间平行力系 。
dA
Z
y
dA?
y
Z
?? A dAN σ
?? Ay dAzM σ
? ?? AZ dAyM
根据梁上只有外力偶 m 这一
条件可知，上式中的 N 和 My
均等于零,而 MZ 就是横截面上
的弯矩 M。
0?
0?
M?
O
x
M
dA dA?
Z
y
?????
yEE
? ?? ????? AA y d AEdAN
MIE z ??
oIE yz ???
0???SE Z
? ?? ???????? A Ay dAyzEdAzM
????? ???? AAZ dAyEdAyM 2
中性轴过形心且与横截面的对称 轴 y 垂直
0?SZ
中性轴必通过横截面的形心
0?? ??? ????? A zA SEy d AEdAN
y y
C Z
C Z
中性轴
y y
C Z
C Z
中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。
M
拉
压 M 拉
压
0?I yz
因为 y 是对称轴，所以
该式自动满足
oIEdAyzEdAzM A yzAy ?? ??? ????????
中性轴是截面的形心主轴
IE
M
Z
?
?
1
EIZ 称为抗弯刚度
?????
yEE
MIEdAyEdAyM zAAZ ??????? ???? 2
M 横截面上的弯矩
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式
y 求应力的点到中性轴的距离
式中,
横截面对中性轴的惯性矩Iz
I Z
yM ???
?? dAyI Az 2 （ 7－ 1）
惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4m
（ 7－ 3）
讨论
应用公式时，一般将 M,y 以绝对值代入。根据梁变
形的情况直接判断 ? 的正，负号。 以中性轴为界，梁
变形后凸出边的应力为拉应力（ ? 为正号）。凹入边
的应力为压应力, （ ? 为负号）。
I Z
yM ???
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
当 中性轴为对称轴时, ymax 表示最大应力点到中性轴
的距离，横截面上的最大正应力为
I Z
yM ???
I
yM
z
m ax
m ax ??
y
ymax
ymax
ZC
y
IW Z
Z
m a x
?
WZ称为抗弯截面模量
（ 7－ 4）
（ 7－ 5）
M
W
M
Z
?? m ax
梁横截面上最大正应力的计算公式为
矩形截面梁横截面上正应力分
部图如图所示
σ maxc
σ maxt
????? m axm axm ax tc
（ 7－ 6）
矩形截面的抗弯截面系数
圆形截面的抗弯截面系数
6
2bh=
2
12
2
3
h
bh
h
I=W z
z ?
2
64
2
4
d
π d
d
IW z
z ??
32
3d=?
y
h
b
z
d
y
z
常见简单形状截面的惯性矩见教材表 7－ 1
z
y
应分别以横截面上受拉和
受压部分距中性轴最远的
距离 和 直
接代入公式
ycmaxyt max
对于中性轴不是对称轴的横截面
求得相应的最大正应力
ycmax
yt max
M
拉边
压边
I Z
My??
I
Myσ
Z
t
t
m a x
m a x ?
I
Myσ
Z
c
c
m a x
m a x ?
z
y
ycmax
yt max
M
拉边
压边 σ
maxc
σ maxt
当梁上有横向力作用时，横截面上既又 弯矩 又有 剪力 。
梁在此种情况下的弯曲称为 横力弯曲 。
三,纯弯曲理论在横力弯曲中的推广
梁的正应力强度条件
I, 纯弯曲理论的推广
横力弯曲 时，梁的横截面上既有正应力 ?，
又有剪应力 ?。
剪应力使横截面发生翘曲
横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力
纯弯曲时所作的 平面假设 和 各纵向线段间互不挤压
的假设都不成立 。
但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的
计算横力弯曲时横截面上的正应力 。
等直梁 横力弯曲 时横截面上的最大正应力公式为
W
xM
Z
)(
m ax ??
BA C
P
10m
z
12.5
166
a
5m
例题,图示简支梁由 56 a 工字钢制成,其横截面见图
p = 150kN。求
RA RB
(1) 梁上的最大正应力 ?max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
查型钢表,56 a 工字钢
cmW z 22 3 4 2?
cmI z 66 5 5 8 6?
解,
mKNM,375m a x ?
C 截面为危险截面 。 最大弯矩 +
M P a
W
M
Z
160σ m a xm a x ??
(1) 梁的最大正应力
+
(2) a点的正应力
M P aI yM
Z
aa 1 4 5?? m a xσ
a点到中性轴的距离为
2125 6 0 ??y a
所以 a 点的正应力为
z
12.5
166
a
II 梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在 最大弯矩 的横截面上 距中性轴
最远的各点处 。
该处的 剪应力都等于零,纵截面上由横向力引起的挤压
应力可略去不计 。
因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，
看作 单轴应力状态 。
梁的正应力强度条件为：
梁的横截面上最大工作正应力 ?max 不得超过材料的
许用弯曲正应力 [?] 即
? ???? m ax
还可将上式写为
? ?σm ax ?
W
M
Z
可对梁按正应力进行强度校核
选择梁的截面
确定梁的许可荷载
? ? ? ???? ct
对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的
（两者有时并不发生在同一横截面上）
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
??? m axm ax ct
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
][m a x ??? tt
? ???? cc m ax
例题 14
例题 15
例题 16
例题 17
? ?,90σ M P ac ?
例题 14, 跨长 l = 2m 的铸铁
梁受力如图所示。已知材料的
拉, 压许用应力分别为? ?,30σ M P a
t ?
试根据截面 合理的要求：最为
A B
1m
2m
P=80KN
确定 T 字形截面梁横截面
的一个尺寸 ?
校核梁的强度
220
?
y
解,要使截面最合理，必须使同一截面的
? ?
? ??
??
?
?
c
t
c
t
m ax
m ax
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
I
My
Z
t 1m ax ?? I
My
Z
c 2m ax ??
已知 ? ?? ? 319030 ????
c
t
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
? ?
? ? 3
1
2
1
m ax
m ax ?
?
???
?
?
c
t
c
t
y
y
mmyy 2 8021 ??
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
2102 ?? yy
以上边缘为参考边
y
AA
yAyAy
21
2211
?
??
δ)(A ??? 602 8 01
2
60280
1
??y
602202 ??A
2
60280
2 ??y
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
22060)60280(
)260280(22060)2 60280()60280(
?????
????????
?y
2102 ?? yy
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
AA
yAyAy
21
2211
?
??
mmδ 24?
1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
? ? 12 602201102102202412 22024
323 ??
?????I z
?????? ????? 2602 1 02 8 0602 2 0
2
m 46103.99 ???
(2) 校核梁的强度1
2
220
?
y
z
y
y1
y2
][m a xm a xm a x ?? c
Z
cc
I
yM ??
][m a xm a xm a x ?? t
Z
tt
I
yM ??
M P a.I yM
Z
c 8842
m a x
m a x ???
? ??? c
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
mKNPlM,404m ax ??
2102 ?y
][1m axm ax ?? t
Z
t I
yM ??
220
?
y
z
y1
y2
o z
? maxt
? maxc
mKNPlM,404m ax ??
2102 ?y
例题 15, 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知,b = 2 m,
Iz = 5493?104 mm4, 铸铁的许用拉应力 [?t] = 30MPa,许用压应力
[?C] = 90MPa 。 试求梁的许可荷载 [P]。
b
C
b
D
A
P
b
b
Pq?
B
2
PbM
B ?
4
PbM
C ?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
解, 弯矩图如图所示。
最大负弯矩在 B 截面上，
最大正弯矩在 C 上 。 b
C
b
D
A
P
b
b
Pq?
B
mmy 861 ?
mmy 1342 ?
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
梁的截面图如图所示，中性轴
到上，下边缘的距离分别为
C 截面
? ????? t
Z
Ct
I
yM 2
m ax
? ????? C
Z
Cc
I
yM 1
m ax
yy 12 ?
? ? ? ?σσ Ct ?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
1030105 9 63
134024
6
6
2
m a x ???
??
??? ?
.)P(
I
yM
z
c
t
C截面的强度条件由最的拉应
力控制。
KNP 6.24?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
B 截面
? ????? t
Z
Bt
I
yM 1
m ax
? ? M P aP 219,?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
? ????? c
Z
Bc
I
yM 2
m ax
? ? M P aP 836,?
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
KNP 2.19][ ?
取其中较小者，得该梁的
许可荷载为
-
+
4Pb
2Pb
C
B
y 2020
86
120
180
z
C
y1
y2
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
例题 16, 图示梁由工字钢制成 。 钢的许用弯曲正应力
[?]=152MPa, 试选择工字钢的号码 。
解：
由弯矩图可知，梁的最
大弯矩为
mKNM,375m a x ?
+
375
281 281
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
RA RB
RA = RB = 112.5 KN
梁所必需的抗弯截面系数为
? ? m
MW
Z
36m ax 102 4 6 0 ???
??
由型钢表查得 56 b 号工字钢的
cmW Z 32447?+
375
281 281
10m
2.5m
75KN 75KN 75KN
2.5m 2.5m
A B
RA RB
此值小于所必需的 mW Z 3610246 0 ???
? ?σMP aWM
Z
???? 153m axm ax
但也不到 1%,故可选用 56 b 号工字钢 。
但不到 1%,采 用此工字钢时最大正应力
80
y1
y2
20
20
120
z
例题 17,T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的
抗拉许用应力为 [?t]=30MPa,抗压许用应力为 [?C]=160MPa
。已知截面对形心轴 Z的惯性矩为 Iz=763cm4,y1 =52mm.
校核梁的强度。
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
RA RB
80
y1
y2
20
20
120
z
解,KN.R A 52? KN.R B 510?
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
80
y1
y2
20
20
120
z
最大正弯矩在截面 C上 mKNM C,,52?
最大负弯矩在截面 B上 mKNM B,4?
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
B截面 { ][2.271m ax ????? tz
Bt MP a
I
yM
][2.462m ax ????? c
z
Bc MP a
I
yM
80
y1
y2
20
20
120
z
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
C截面 ][8.28
2m ax ????? t
z
ct MP a
I
yM
80
y1
y2
20
20
120
z
+
-
2.5KN
4KN
C
B
P1=9KN P2=4KN
A c B D
1m 1m 1m
作业
? P110页
? 7－ 1、
