第9章 时间数列分析 【学习目的】 本章主要介绍了动态数列的有管理论和知识。包括动态数列的意义、种类和编制原则，掌握各种常用的动态分析指标的计算方法地等。 【基本要求】 通过本章的学习，使学习者明确动态数列的意义种类和编制原则，重点掌握动态分析指标的计算方法。为社会经济管理服务等。 【学习内容】 美国内华达职业健康诊所（Nevada Occupational Health Clinic）是一家私人医疗诊所，它位于内华达州的Sparks市。这个诊所专攻工业医疗，并且在该地区经营已经超过15年。1991年初，该诊所进入了增长的阶段。在其后的26个月里，该诊所每个月的账单收入从57 000美元增长到超过300 000美元。直至1993年4月6日，当诊所的主建筑物被烧毁时，诊所一直经历着戏剧性的增长。 诊所的保险单包括实物财产和设备，也包括出于正常商业经营的中断而引起的收入损失。确定实物财产和设备在火灾中的损失额，受理财产的保险索赔要求是一个相对简单的事情。但是确定在进行重建诊所的7个月中，收入的损失额是很复杂的，它涉及业主和保险公司之间的讨价还价。对如果没有发生火灾，诊所的账单收入“将会有什么变化”的计算，没有预先制定的规则。为了估计失去的收入，诊所用一种预测方法，来测算在7个月的停业期间将要实现的营业增长。在火灾前的账单收入的实际历史资料，将为拥有线性趋势和季节成分的预测模型提供基础资料。这个预测模型使诊所得到损失收入的一个准确的估计值，这个估计值最终被保险公司所接受。 这是一个时间数列分析方法在保险业务中的成功案例。这个案例中的时间序列分析方法的统计思想对现代经济管理同样具有重要的启迪和现实意义。例如对于企业销售收入和销售成本的预测，我们当然要观察过去的实际资料，根据这些历史资料，我们可以对其发展水平、发展速度进行分析，也可能得到销售的一般水平或趋势，如销售收入随时间增长或下降的趋势；对这些资料的进一步观察，还可能显示一种季节轨迹，如每年的销售高峰出现在第三季度，而销售低谷出现在第一季度以后。通过观察历史资料，可以对过去的销售轨迹有较好的了解，因此对产品的未来销售情况，可以做出较为准确、公正地判断。时间数列分析，能反映客观事物的发展变化，能揭示客观事物随时间演变的趋势和规律。 8.1 时间数列及分析方法概述 8.1.1. 时间数列的意义及分类 任何现象，随着时间的推移，都会呈现出一种在时间上的发展和运动过程；时间数列分析，是指从时间的发展变化角度，研究客观事物在不同时间的发展状况，探索其随时间推移的演变趋势和规律，揭示其数量变化和时间的关系，预测客观事物在未来时间上可能达到的数量和规模。时间数列分析的依据是时间数列（又称动态数列）。我们把同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列称为时间数列或时间序列。从表8–1可以看出，时间序列形式上包含两部分：一是现象所属的时间，二是现象在不同时间上的观察值两部分组成，这两部分是任何一个时间数列所应具备的两个基本要素。现象所属的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。现象的观察值根据表现形式不同有绝对数、相对数和平均数，因此，从观察表现形式上看，时间序列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。 表8–1 中国国内生产总值等时间序列表 年份 国内生产总值（亿元） 第三产业占GDP比重（％） 年底总人口（万人） 职工平均货币工资（元）  1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 18547.9 21617.9 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 81910.9 31.3 33.4 34.3 32.7 31.9 30.7 30.1 30.9 32.1 33.0 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122889 123626 124810 125909 2140 2340 2711 3371 4538 5500 6210 6470 7479 8346   资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社，2001年 1. 绝对数时间数列 绝对数时间数列又称总量指标数列，是指将反映现象总规模、总水平的某一总量指标在不同时间上的观察数值按时间先后顺序排列起来所形成的数列。总量指标数列是计算相对指标和平均指标、进行各种时间数列分析的基础。 按其指标所反映时间状况的不同，总量指标数列又分为时期数列（见表8–1第2栏）和时点数列（见表8–1第4栏）。时期数列中所排列的指标为时期指标，各时期上的数值分别反映现象在这一段时期内所达到的总规模、总水平，是现象在这一段时期内发展过程的累积总量。观察值具有可加性及数值大小与所属时期长短有密切联系的特点。时点数列中所排列的指标为时点指标，各时点上的数值分别反映现象在各该时点上所达到的总规模、总水平，是现象在某一时点上的数量表现。观察值具有时间上的不可加性及各时点上观察值大小与相邻两时点间间隔长短无密切联系的特点。 2. 相对数和平均数时间数列 相对数和平均数时间数列又称为相对指标和平均指标数列。指将反映现象相对水平、平均水平的某一相对指标或平均指标在不同时间上的观察值按时间先后顺序排列起来所形成的数列（分别见表8–1的第3栏和第5栏）。不论是相对指标还是平均指标，其共同点都是由总量指标派生而来，反映一种对比或平均的概念；不同时间上的相对数或平均数不能相加，即相加以后没有意义。 8.1.2. 编制时间数列应注意的问题 编制时间数列的目的，是为了进行时间数列分析，因而，保证数列中各项观察值具有可比性，是编制时间数列的基本原则。所谓可比性，是要求各观察值所属时间、总体范围、经济内容、计算方法、计算价格、计量单位等可比。具体含义如下： 1. 各项观察值所属时间可比 即要求各观察值所属时间的一致性。对时期数列而言，由于各观察值的大小与所属时期的长短直接相关，因此各观察值所属时间的长短应该一致，否则不便于对比分析。对于时点数列，虽然两时点间间隔长短与观察值无明显关系，但为了更好地反映现象的发展变化状况，两时点间的间隔也应尽可能相等。 2. 各项观察值总体范围可比 这是就所属空间范围而言，如地区范围、隶属范围、分组范围等。当时间数列中某些观察值总体范围不一致时，必须进行适当调整使其一致，否则前后期指标数值不能直接对比。 3. 各项观察值经济内容可比 指标的经济内容是由其理论内涵所决定的，随着社会经济条件的变化，有些指标的经济内容发生了变化。对于名称相同而经济内涵不一致的指标，尤其要注意这一点，务必使各时间上的观察值内涵一致，否则也不具备可比性。例如：我国的工业总产值指标，有的年份包括了乡村企业的工业产值，有的年份则不包括。 4. 各项观察值的计算方法可比 对于指标名称总体范围和经济内容都相同的指标计算方法不同也会导致数值差异，有时甚至是极大的差异。例如国内生产总值（GDP），按照生产法、支出法、分配法计算的结果就有差异。因此，同一时间数列中，各个时期（时点）指标值的计算方法要统一。如果从某一时期，计算方法做了重大改变，那么发布资料必须注明，以便动态比较时进行调整。 5. 计算价格和计量单位可比 统计指标的计算价格种类很多，有现行价格和不变价格之分。不变价格为了适应客观经济条件的变化也在不断调整，形成了多个时期的不变价格，编制时间序列遇到前后时期所用的计算价格不同，就需要进行调整，使其统一。对于实物指标的时间序列，则要求计量单位保持一致，否则也要进行调整。 8.1.3. 时间数列常用分析方法 时间数列分析最常用的方法有两种，一是指标分析法，二是构成因素分析法。 1. 时间数列指标分析法 所谓指标分析法，是指通过计算一系列时间数列分析指标，包括发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量、发展速度、平均发展速度、增减速度、平均增减速度等来揭示现象的发展状况和发展变化程度。 2. 时间数列构成因素分析法 这种方法是将时间数列看作是由长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动几种因素所构成，通过对这些因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律，并在揭示这些规律的基础上，假定事物今后的发展趋势遵循这些规律，从而对事物的未来发展做出预测。 时间数列的这两种基本分析方法，各有不同的特点和作用，各揭示不同的问题和状况，分析问题时应视研究的目的和任务，分别采用或综合应用。 8.2 时间数列的水平指标分析 时间数列水平分析指标有：发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量四种。 8.2.1. 发展水平 在时间序列中，用ti （i=1,…,n）表示现象所属的时间，ai表示现象在不同时间上的观察值。ai （i=1,…,n）也称为现象在时间ti上的发展水平，它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。若观察的时间范围为t1，t2，…，tn，相应的观察值表示为a1，a2，…，an，其中a1称为最初发展水平，an称为最末发展水平。若将整个观察时期内的各观察值与某个特定时期t0作比较时，时间t可表示为t0，t1，…，tn，相应的观察值表示为a0，a1，…，an，其中a0称为基期水平，an 称为报告期水平。 8.2.2. 平均发展水平 平均发展水平是现象在时间ti （i=1,…,n）上取值的平均数，又称为序时平均数或动态平均数。它可以概括性地描述出现象在一段时期内所达到的一般水平。序时平均数作为一种平均数，与静态平均数有相同点，即它们都抽象了现象的个别差异，以反映现象总体的一般水平。但二者又有明显的区别，主要表现在：序时平均数抽象的是现象在不同时间上的数量差异，因而它能够从动态上说明现象在一定时期内发展变化的一般趋势；静态平均数抽象的是总体各单位某一数量标志值在同一时间上的差异，因此，它是从静态上说明现象总体各单位的一般水平。由于不同时间序列中观察值的表现形式不同，序时平均数有不同的计算方法。 1. 绝对数时间数列的序时平均数 绝对数时间数列序时平均数的计算方法是最基本的，它是计算相对数或平均数时间数列序时平均数的基础。绝对数时间数列有时期数列和时点数列之分，序时平均数的计算方法也有所区别。 ( 1)．时期数列的序时平均数，其计算公式为：  （8–1） 式中为序时平均数，n为观察值的个数。 例8–1 对表8–1中的国内生产总值序列，计算年度平均国内生产总值。 解：根据时期数列序时平均数公式有：  (2)．由时点数列计算序时平均数。在社会经济统计中一般是将一天看作一个时点，即以“一天”作为最小时间单位。这样时点数列可认为有连续时点和间断时点数列之分；而间断时点数列又有间隔相等与间隔不等之别。其序时平均数的计算方法略有不同，分述如下： a. 连续时点数列计算序时平均数。在统计中，对于逐日排列的时点资料，视其为连续时点资料。这样的连续时点数列，其序时平均数公式可按8–1计算，即  （8–2） 例如，存款（贷款）平均余额指标，通常就是由报告期内每日存款（贷款）余额之和除以报告期日历数而求得。 另一种情形是，资料登记的时间单位仍然是1天，但实际上只在指标值发生变动时才记录一次。此时需采用加权算术平均数的方法计算序时平均数，权数是每一指标值的持续天数。 计算公式如下：  （8–3） 例8–2 某种商品5月份的库存量记录如表8–2，计算5月份平均日库存量。 表8–2 某种商品5月份库存资料 日期 1－4 5－10 8–20 21－26 27－31  库存量（台） 50 55 40 35 30   解：该商品5月份平均日库存量为  b. 间断时点数列计算序时平均数。实际统计工作中，很多现象并不是逐日对其时点数据进行统计，而是隔一段时间（如一月、一季度、一年等）对其期末时点数据进行登记。这样得到的时点数列称为间断时点数列。如果每隔相同的时间登记一次，所得数列称为间隔相等的间断时点数列；如果每两次登记时间的间隔不尽相同，所得数列称为间隔不等的间断时点数列。 当其时点资料是以月度、季度、年度为时间间隔单位，我们已不可能像连续时点资料那样求得准确的时点平均数。这种情况下，我们可以根据资料所属时间的间隔特点，选用不同的计算公式。对于间隔相等的资料，采用“首末折半”；对于间隔不等的资料，采用“间隔加权”的方法计算序时平均数。 例8–3 某商业企业1999年第二季度某种商品的库存量如表8–3，试求该商品第二季度月平均库存量。 表8–3 某商业企业1999年第二季度某商品库存量 3月末 4月末 5月末 6月末  库存量（百件） 66 72 64 68   解：4月份平均库存量＝ 5月份平均库存量＝ 6月份平均库存量＝  为简化计算过程，上述计算步骤可表示为： 第二季度平均库存量＝ ＝67.67（百件） 根据上述计算过程可推导出计算公式为：  （8–4） 该公式形式上表现为首末两项观察值折半，故称为“首末折半法”。这种方法适用于间隔相等的间断时点数列求序时平均数。 例8–4 表8–4列示了我国1990～1999年年末人口的部分年份资料，计算年平均人口数。 表8–4 中国1990－1999年部分年份年末人口数 年份 1990 1992 1995 1998 1999  年底总人口（万人） 114333 117171 121121 124810 125909   解：对资料进行观察分析，属间隔不等的间断时点资料，采用“间隔加权”方法。  （8–5）  2. 相对数或平均数时间数列的序时平均数 相对数和平均数是两个有联系的相对数对比求得，用符号表示即。因此，由相对数或平均数数列计算序时平均数，不能直接根据该相对数或平均数数列中各项观察值简单平均计算（即不应当用的公式），而应当先分别计算构成该相对数或平均数数列的分子数列和分母数列的序时平均数，再对比求得。用公式表示为：  （8–6） 例8–5 某企业1999年第四季度职工人数资料如表8–5，计算工人占职工人数的平均比重。 表8–5 某企业1999年四季度职工人数资料 9月末 10月末 11月末 12月末  工人人数/人 职工人数/人 工人占职工比重/％ 342 448 76.34 355 456 77.85 358 469 76.33 364 474 76.79    例8–6 某企业下半年劳动生产率资料如表8–6，计算平均月劳动生产率和下半年平均职工劳动生产率。 表8–6 某企业下半年劳动生产率资料 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月  （a）总产值/万元 （b）月末职工人数/人 （c）劳动生产率/（元/人） 87 460 1948 91 470 1957 94 480 1979 96 480 2000 102 490 2103 98 480 2021 91 450 1957   解：从表8–6中可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标，分母职工人数是时点指标，计算平均月劳动生产率应用下列公式：  代入表中资料：  若计算下半年平均职工劳动生产率，则有两种计算形式。一种是用下半年平均月劳动生产率乘月份个数n即=2003.5×6=12021元/人得出，另一种则采用下列公式计算：  8.2.3. 增减量 增减量是报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期内增减的绝对数量。由于所选择基期的不同，增减量可分为逐期增减量和累积增减量。 逐期增减量是报告期水平与其前一期水平之差，说明本期较上期增减的绝对数量，用公式表示为：  （8–7） 累积增减量是报告期水平与某一固定基期水平之差，说明报告期与某一固定时期相比增减的绝对数量。用公式表示为：  （8–8） 逐期增减量与累积增减量之间存在一定的关系：各逐期增减量的和等于相应时期的累积增减量；两相邻时期累积增减量之差等于相应时期的逐期增减量。用公式分别表示为：  （8–9）  具体计算实例见表8–7。 表8–7 1990－1999年国内生产总值 单位：亿元 年 份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999  国内生产总值 逐期增长量 累积增长量 18547.9 － － 21617.9 3070 3070 26638.1 5020.2 8090.2 34634.4 7996.3 16086.5 46759.4 12125 28211.5 58478.1 11718.7 39930.2 67884.6 9406.5 49336.7 74462.6 6578 55914.7 78345.2 3882.6 59797.3 81910.9 3565.7 63363  8.2.4. 平均增减量 平均增减量是观察期各逐期增减量的序时平均数，用于描述现象在观察期内平均每期增减的数量。它可以根据逐期增减量求得，也可以根据累积增减量求得。计算公式为：  （8–10） 其中n为逐期增减量个数。 例8–7 以表8–7资料，计算国内生产总值平均增长量 解：  8.3 时间数列的速度指标分析 时间数列的速度指标有：发展速度、增减速度、平均发展速度、平均增减速度。 8.3.1. 发展速度 发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比，用于描述现象在观察期内相对的发展变化程度。 由于采用的基期不同，发展速度可以分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度；定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在整个观察期内总的发展变化程度。 设时间序列的观察值为，发展速度为R，环比发展速度和定基发展速度的一般形式可以写为： 环比发展速度： （8–11） 定基发展速度： （8–12） 环比发展速度与定基发展速度之间存在着重要的数量关系：观察期内各个环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度；两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应时期的环比发展速度。即  （8–13）  （8–14） 利用上述关系，可以根据一种发展速度去推算另一种发展速度。 8.3.2. 增减速度 增减速度也称增减率，是增减量与基期水平之比，用于说明报告期水平较基期水平的相对增减程度。它可以根据增减量求得，也可以根据发展速度求得。其基本计算公式为：  （8–15） 从上式可以看出，增减速度等于发展速度减1，但各自说明的问题是不同的。发展速度说明报告期水平较基期发展到多少；而增减速度说明报告期水平较基期增减多少（扣除了基数）。当发展速度大于1时，增减速度为正值，表示现象的增长程度；当发展速度小于1时，增减速度为负值，表示现象的降低程度。 由于采用的基期不同，增减速度也可分为环比增减速度和定基增减速度。前者是逐期增减量与前一时期水平之比，用于描述现象逐期增减的程度，后者是累积增减量与某一固定时期水平之比，用于描述现象在观察期内总的增减程度。 设增减速度为G，环比增减速度和定基增减速度的公式可写为： 环比增减速度： （8–16） 定基增减速度： （8–17） 需要指出，环比增减速度与定基增减速度之间没有直接的换算关系。在由环比增减速度推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加1后连乘，再将结果减1，即得定基增减速度。 例8–8 以表8–1中的国内生产总值为例，计算见表8–8 表8–8 国内生产总值计算表 年 份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999  国内生产总值 18547.9 21617.9 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 81910.9  增减量 逐期 累积 － 3070 5020.2 7996.3 12125 11718.7 9406.5 6578 3882.6 3565.7    － 3070 8090.2 16086.5 28211.5 39930.2 49336.7 55914.7 59797.3 63363.0  发展速度（％） 环比 － 116.6 123.2 130.0 135.0 125.1 116.1 109.7 105.2 104.6   定基 － 116.6 143.6 186.7 252.1 315.3 366.0 401.5 422.4 441.6  增减速度（％） 环比 － 16.6 23.2 30.0 35.0 25.1 16.1 9.7 5.2 4.6   定基 － 16.6 43.6 86.7 152.1 215.3 266.0 301.5 322.4 341.6   8.3.3 平均发展速度 平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。 计算平均发展速度的常用方法是水平法。水平法又称几何平均法，它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。计算公式 （8–18） 式中，为平均发展速度；n为环比发展速度的个数，它等于观察数据的个数减1。 例8–9 已知国内生产总值1990～1999年环比发展速度见表8–8，计算平均发展速度。 解：  从水平法计算平均发展速度的公式中可以看出，实际上只与序列的最初观察值a0 和最末观察值an 有关，而与其他各观察值无关，这一特点表明，水平法旨在考察现象在最后一期所达到的发展水平。因此，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 8.3.4. 平均增减速度 平均增减速度说明现象逐期增减的平均程度。平均增减速度（）与平均发展速度仅相差一个基数，即：  （8–19） 平均增减速度为正值，表明现象在某段时期内逐期平均递增的程度，也称为平均递增率；若为负值，表明现象在某段时间内逐期平均递减的程度，也称为平均递减率。 8.3.5. 速度指标的分析与应用 对于大多数时间序列，特别是有关社会经济现象的时间序列，我们经常利用速度来描述其发展的数量特征。尽管速度在计算与分析上都比较简单，但实际应用中，有时也会出现误用乃至滥用速度的现象。因此，在应用速度分析实际问题时，应注意以下几方面的问题。 1．当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。比如，假如某企业连续五年的利润额分别为5万元、2万元、0万元、－3万元、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。 2．在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与基期绝对水平的结合分析。我们先看一个例子。 例8–10 假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表8–9。 表8–9 甲、乙两个企业的有关资料 年份 甲企业 乙企业   利润额（万元） 增长率（％） 利润额（万元） 增长率（％）  1996 1997 500 600 – 20 60 84 – 40   解：如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行分析评价，可以看出乙企业的利润增长速度比甲企业高出1倍。如果就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业要好得多，这样的结论就是不切实际的。因为速度是一个相对值，它与对比的基期值的大小有很大关系。大的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很小；小的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很大。这就是说，由于对比的基点不同，可能会造成速度数值上的较大的差异，进而造成速度上的虚假现象。上述例子表明，由于两个企业的生产起点不同，基期的利润额不同，才造成了二者速度上的较大差异。从利润的绝对额来看，两个企业的速度每增长1%所增加的利润绝对额是不同的。在这种情况下，我们需要将速度与绝对水平结合起来进行分析，通常要计算增长1％的绝对值来弥补速度分析中的局限性。 增长1％绝对值表示速度每增长1%而增加的绝对数量，其计算公式为：  （8–20） 根据表8–9的资料计算，甲企业速度每增长1％，增加的利润额为5万元，而乙企业则为0.6万元，甲企业远高于乙企业。这说明甲企业的生产经营业绩不是比乙企业差，而是更好。 8.4 时间数列分析（一）——长期趋势测定 8.4.1. 时间数列的模型 编制时间数列，进行时间数列分析，除了考察现象发展过程中的水平和速度之外还需要用数学模型来对时间数列作一些在定性认识基础上的定量分析，找出制约现象发展的基本因素或主要原因。时间数列的变动主要受以下四大因素的变动影响： 1．长期趋势（T）。指社会经济现象按一定方向不断长期发展变化（向上或向下发展）的趋势。 2．季节变动（S）。指社会经济现象随着季节的更替而发生的有固定规律性的变动。 3．循环变动（C）。也称波浪式变动，指反复高低变化的一种变动。 4、偶然变动（I）。也称不规则变动，指由于自然或社会的偶然因素引起的社会经济现象的变动。 若设Y代表时间数列的各项数值，则上述因素对时间数列的影响可用下面两个数学模型来表示： Y＝T＋S＋C＋I Y＝T·S·C·I 其中最常用的是乘法模型。乘法模型的基本假设是，四个因素是由不同的原因形成的，但相互之间存在一定的关系，它们对事物的影响是相互的，因此时间序列中各观察值表现为各种因素的乘积。利用乘法模型可以将四个因素很容易地从时间序列中分离出来，因而乘法模型在时间序列分析中被广泛应用。本节及以后各节介绍的时间序列构成分析方法，也均以乘法模型为例。 本节主要讨论长期趋势变动的分析方法。长期趋势是时间序列的主要构成要素，它是指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态。通过对时间序列长期趋势变动的分析，可以掌握现象活动的规律性，并对其未来的发展趋势做出判断或预测。测定长期趋势的分析方法有许多，如时距扩大法、半数平均法、部分平均法、移动平均法、最小二乘法等。由于后两种方法较常用，故主要介绍移动平均法和最小二乘法。通过这两种方法的介绍，以熟悉测定长期趋势的基本方法及各自的特点。 8.4.2. 移动平均法 移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。该方法的基本思想和原理是，通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。该方法可以用来分析预测销售情况、库存、股价或其他趋势。该方法又可分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。 1．简单移动平均法。它是直接用简单算术平均数作为移动平均趋势值的一种方法。 设移动间隔长度为K，则移动平均数序列可以写为：  （8–21） 式中，为移动平均趋势值；K为大于1小于n的正整数。 例8–11 某公司2000年前各月的销售额资料见表8–10，分别计算3个月，5个月的移动平均趋势值，并进行比较。 表8–10 某公司2000年各月销售额 单位：万元 月份 实际销售额 趋势值（k=3） 趋势值（k=5）  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 30 35 37 42 44 49 48 50 52 63 77 － 31 34 38 41 45 47 49 50 55 64 － － － 34.4 37.6 41.4 44.0 46.6 48.6 52.4 58.0 － －   解：根据简单移动平均公式，当k=3时，移动平均趋势值Y1=31；k=5时，Y1=34.4，其余各期同理，结果见表8–10。 2．加权移动平均预测法。这是在简单移动平均法的基础上给近期数据以较大的权数，给远期的数据以较小的权数，计算加权移动平均数作为下一期的移动平均趋势值的一种方法。公式为：  （8–22） 仍以表8–10中的已知数据为例，设k=3， 则  其余类推。 3．利用移动平均法分析趋势变动时，注意以下几个问题： ①移动间隔的长度应长短适中。分析表8–10中各列数据，不难看出，通过移动平均所得到的移动平均数数列，要比原始数据序列匀滑，并且5项移动平均数数列又比3项移动平均数数列匀滑，因此，为了更好地消除不规则波动，达到修匀的目的，可以适当增加移动的步长。移动的步长越大，所得趋势值越少，个别观察值影响作用就越弱，移动平均序列所表现的趋势越明显，但移动间隔过长，有时会脱离现象发展的真实趋势；若移动间隔越短，个别观察值的影响作用就越大，有时又不能完全消除序列中短期偶然因素的影响，从而看不出现象发展的变动趋势。一般来说，如果现象的发展具有一定的周期性，应以长度为移动间隔的长度；若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均。 ②在利用移动平均法分析趋势变动时，要注意应把移动平均后的趋势值放在各移动项的中间位置。比如3项移动平均的趋势值应放在第2项对应的位置上，5项移动平均的趋势值应放在第3项对应的位置上，其余类推。因此，若移动间隔长度k为奇数时，一次移动即得趋势值；若k为偶数时，需将第一次得到的移动平均值再作一次2项移动平均，才能得到最后的趋势值。因此，该趋势值也可以叫移正趋势值。 例如，若k=4时，  故  需要说明的是，对于只包含趋势和不规则变动的数列，如果移动平均的目的只是为了得到数列的趋势估计值，也可以将移动平均值直接对准第N期的后一期，例如，三项移动平均时，第一个移动平均值对准第三期，第二个移动平均值对准第四期，以此类推；四项移动平均时，第一个移动平均值对准第四期，第二个移动平均值对准第五期，以此类推。EXCEL中移动平均法程序即是这样处理的。 8.4.3. 指数平滑法 指数平滑法是用过去时间数列值的加权平均数作为趋势值，它是加权移动平均法的一种特殊情形。其基本形式是根据本期的实际值Yt和本期的趋势值，分别给以不同权数α和1–α，计算加权平均数作为下期的趋势值。基本指数平滑法模型如下：  （8–23） 式中：表示时间数列t+1期趋势值，Yt 表示时间数列t期的实际值，表示时间数列t期的趋势值，α为平滑常数（0<α<1）。 若利用指数平滑法模型进行预测，从基本模型中可以看出，只需一个t期的实际值Yt ，一个t期的趋势值和一个α值，所用数据量和计算量都很少，这是移动平均法所不能及的。 例8–12 某公司2001年前8个月销售额资料见表8–11，用指数平滑法进行长期趋势分析。已知1月份预测值为150.8万元，α分别取0.2和0.8。 解： 表8–11 某公司2000年各月销售额预测表 单位：万元 月份 实际销售额 一次指数平滑预测数    α＝0.2 α＝0.8  1 2 3 4 5 6 7 8 9 154 148 142 151 145 154 157 151 － 150.80 0.2×154+（1–0.2）×150.8＝151.44 150.75 149.00 149.40 148.52 149.62 151.10 151.08 150.80 153.36 149.07 143.41 149.48 145.90 152.38 156.08 152.02   一次指数平滑法比较简单，但也有问题，从例8–12中也可看出，α值和初始值的确定是关键，它们直接影响着趋势值误差的大小。通常对于α和初始值的确定可按以下方法： 1. α值的确定 选择α，一个总的原则是使预测值与实际观察值之间的误差最小。从理论上讲，α取0–1之间的任意数据均可以。具体如何选择，要视时间序列的变化趋势来定。 (1)．当时间序列呈较稳定的水平趋势时，应取小一些，如0.1–0.3，以减小修正幅度，同时各期观察值的权数差别不大，预测模型能包含更长时间序列的信息。 (2)．当时间序列波动较大时，宜选择居中的α值，如0.3–0.5。 (3)．当时间序列波动很大，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，α应取大些，如0.6–0.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化。 (4)．在实际预测中，可取几个α值进行试算，比较预测误差，选择误差小的那个α值。 2. 初始值的确定 如果资料总项数N大于50，则经过长期平滑链的推算，初始值的影响变得很小了，为了简便起见，可用第一期水平作为初始值。但是如果N小到15或20，则初始值的影响较大，可以选用最初几期的平均数作为初始值。 指数平滑法适用于预测呈长期趋势变动和季节变动的评估对象。指数平滑法可分为一次指数平滑法和多次指数平滑法。本节中介绍的是一次指数平滑法的应用。 8.4.4. 数学曲线拟合法 假定有一个多年的数据序列，为了算出逐年的趋势值，可以考虑对原始数据拟合一条数学曲线。例如，假如趋势是线性的，就可以用最小平方法拟合直线方程；如果趋势是指数曲线型的，则可考虑拟合指数曲线方程。在用数学曲线拟合法测定趋势值时首先要解决的问题是曲线方程的选择。选择曲线方程有两个途径：一是在以时间t为横轴，变量Y为纵轴的直角坐标图上作时间序列数值的散点图，根据散点的分布形状来确定应拟合的曲线方程；二是对时间序列的数值作一些分析，根据分析的结果来确定应选择的曲线方程。选择合适的方程，是评估人员在分析预测时应特别注意的问题。下面我们结合一些典型和常用的趋势曲线来讨论曲线方程的选择和拟合。 1. 直线趋势的拟合 根据线性函数的特性：  如果一个多年的数据序列，其相邻两年数据的一阶差近似为一常数，就可以配合一直线：，然后，用最小平方法来求解参数a、b。 由于所求的趋势线yc=a+bt，可求得： ∑（y–yc）2＝∑（y–a–bt）2＝最小值 在上式中：t代表时间；a代表直线趋势方程的起点值；b代表直线趋势方程的斜率，即t每变动一个单位时，长期趋势值增加（或减少）的数值。 令Q=∑（y–a–bt）2，为使其最小，则对a和b的偏导数应等于0， 整理得 （8–24） 解得  其中，n代表时间的项数，，其他符号所代表的意义不变。 在对时间数列按最小二乘法进行趋势配合的运算时，为使计算更简便些，将各年份（或其他时间单位）简记为1、2、3、4、……，并用坐标移位方法将原点O移到时间数列的中间项，使∑t＝0。当项数n为奇数时，中间项为0，当为偶数时，中间的两项分别设－1，1这样间隔便为2，各项依次设成：… … … –5，–3，–1； 1，3，5，…。这样求解公式便可简化为：  （8–25） 例8–13 某游览点历年观光游客资料如表8–12，用最小平方法进行长期趋势分析。 表8–12 某游览点历年观光游客的最小二乘法计算表 年份 时间t 游客（百人）y t2 Ty yc  1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1 2 3 4 5 6 7 100 112 125 140 155 168 180 1 4 9 16 25 36 49 100 224 375 560 775 1008 1260 99.08 112.72 126.36 140.00 153.64 167.28 180.92  合 计 28 980 140 4302 980.00  解：由表8–12得，∑t＝28， ∑y＝980, ∑t2＝140, ∑ty＝4302， 代入公式得：  从而求得直线趋势方程：yc＝85.44＋13.64t 把各t值代入上式，便求得相对应的趋势值yc，见表8–12的右栏。这里需要指出的是：对表8–12的游客历年数用直线趋势配合，是因为各年的逐期增长量大体相当，具备了直线型时间数列的特征。 表8–13 某游览点历年观光游客的最小二乘法计算表 年份 时间t 游客（百人）y t2 ty yc  1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 -3 -2 -1 0 1 2 3 100 112 125 140 155 168 180 9 4 1 0 1 4 9 -300 -224 -125 0 155 336 540 99.08 112.72 126.36 140.00 153.64 167.28 180.92  合 计 0 980 28 382 980.00   表8–13是同一资料按简捷公式的计算 由简捷公式得 即yc＝140＋13.64t 将各t值代入上式，便求得各年的趋势值yc（见表8–13）。 最小二乘法在对原数列作长期趋势的测定时，通过趋势值yc来修匀原数列，得到比较接近原值的趋势值。利用所求的直线趋势方程还能对近期的数列做出预测，例如，根据表8–16求出直线趋势方程，代入t＝4，便能预测2001年的游客人数，即 yc＝140＋13.64×4＝194.56（百人） 特别要提醒注意的是，这里的直线方程Y= a + bt，不涉及变量t与变量Y之间的任何因果关系，也没有考虑误差的任何性质，因此它仅仅是一个直线拟合公式，并不是什么回归模型。还需要指出的是，作为较长期的一种趋势，利用所拟合的数学方程式进行预测时，必须假定趋势变化的因素到预测年份仍然起作用。注意，由于例题只是为了说明分析计算的方法，所以为简便起见，一般选用的数据都比较少，实际应用时，数据应丰富些方能更好地反映长期趋势。 2. 指数趋势线的拟合 由于指数曲线具有如下特性：  所以，当时间序列的各期数值大致按某一相同比率增长时，可以考虑配合指数方程。联系常用的复利公式： ，则复利公式与指数方程完全一致，可见指数曲线是一种常用的典型趋势线。 例8–14 现有某企业1995～2000年的销售量依次为53，72，96，129，171，232万件，试求该企业销售量的长期趋势。 解：由于这个时间序列的环比序列为 Y2/Y1=72/53=1.358，Y3/Y2=96/72=1.333， Y4/Y3=129/96=1.344，Y5/Y4=171/129=1.326， Y6/Y5=232/171=1.357。 即各年产量几乎按同一比例增长，所以，可以考虑拟合指数曲线，Y＝aebt 首先将上式转换为直线方程，取对数lnY=lna+bt，令然后利用最小平方法求解参数。具体计算见表8–14： 表8–14 指数趋势函数计算表 年份 序号t t2 Y   趋势值Yt  1995 1996 1997 1998 1999 2000 1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 36 53 72 96 129 171 232 3.97 4.23 4.56 4.86 5.14 5.45 3.97 8.55 13.69 19.44 25.71 32.68 53.79 71.89 96.07 128.39 171.59 229.32  合计 21 91 –– 28.26 104.04 －  根据上面的结果，有：    因此得到产量的长期趋势函数为Y = 40.25e0.29t。将t代入方程即得，1995～2000年销售量的趋势值，见表8–14。若要预测2001年产量，则有： Y2001= 40.25e0.29×7 =306.47（万件） 3. 修正指数曲线的拟合 在指数方程右边增加一个常数k，即可得到修正指数方程： Y=k+abt，取a<0，0<b<1时，随着t的增加，Y趋于k，若k大于零，该曲线可描述一种常见的成长现象。如某种产品投入市场，初期迅速增长，随后增长率逐渐降低，最后接近最高限k。该曲线图形如图8–1所示。 图8–1 销售量的修正指数曲线图 根据修正指数曲线的性质，若时间序列中相邻两个时期的数值的一阶差之比（Δt/Δt–1）接近于一常数，则可对其拟合修正的指数曲线。 由于修正指数曲线不易转变为线性形式，所以不能用最小平均方法估计参数。可以考虑用下述方法： 首先，将时间序列分成3个相等的部分，每部分包括n个数据。 第二步，求出每部分的和，得到S1，S2，S3： ，， 第三步，根据S1，S2，S3 的3个等式，就可以联立求出3个未知数k，a和b。  （8–26） 需要指出，这种方法是基于趋势值的3个局部总数分别等于原资料的3个局部总数而得到的。 例8–15 表8–15中数据是某大型机械企业的某种型号的机械产品1988年至1999年销售量，试据此资料拟合趋势线。 表8–15 某企业产品销售量 单位：百台 年度 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999  销量 9.0 15.0 17.0 20.0 22.0 23.5 24.0 26.8 27.6 27.0 29.0 28.4   解：根据对表中数据的分析，其一阶差之比大致相似，可以考虑拟合修正的指数曲线。设所求趋势方程为  原始数据共12项，可以分成3段，每段为4年。 有关计算过程见表8–16 表8–16 某企业产品销售量修正曲线计算表 年度 T 销售量Yt 趋势值  1988 1989 1990 1991 1 2 3 4 9.0 15.0 17.0 20.0 10.16 14.21 17.15 19.71  S1 － 61.0 61.23  1992 1993 1994 1995 5 6 7 8 22.0 23.5 24.0 26.8 21.81 23.52 24.92 26.07  S2 － 96.3 96.32  1996 1997 1998 1999 9 10 11 12 27.6 27.0 29.0 28.4 27.0 27.76 28.39 28.90  S3 － 112.0 112.05   故有：   于是得到趋势方程为：Yt＝31.17－21.01（0.817）t。 将t代入方程即得各年该企业产品销售量的趋势值，见表8–16。将t＝14代入方程，得2001年该企业产品销售量为： （百台） 这一方程也说明，从1988～1999年这一时期的统计数据来看，该企业产品销售量最终将以31.17百台作为极限。从图8–1可以看出，产品销售量在经过前几年的迅速增长后，逐渐接近于增长上限k。 4. 龚柏兹曲线的拟合 龚柏兹曲线，是美国统计学家和数学家龚柏兹首先提出用作控制人口增长率的一种数学模型。它的模型为：  式中：k、a、b——参数； t——时间。 它的图形是一条S形曲线。这条曲线反映了某些经济变量由开始增长缓慢，随后增长加快，达到一定程度后，增长率逐渐减慢，最后达到饱和状态的过程。因此，对于具有这种发展趋势的预测目标，可考虑用龚柏兹曲线来描述。 为了确定模型中的参数，通常把模型改写为对数形式：  若令 则上式变为：  这正是修正指数曲线模型。依照修正指数曲线估计参数的方法，可得b、lga和lgk的计算公式：  （8—27） 这里n为总数据的1/3。、和分别为总数据三等分后的各部分和。 由于龚柏兹曲线的对数形式为修正指数曲线，因而根据修正指数曲线模型的特点，可知龚柏兹曲线模型的特点是，其对数一阶差分的环比为一常数。因此，当时间序列{Yt}的对数一阶差分的环比近似一常数时，可配合龚柏兹曲线模型来预测。 例8–17 某一新建产品生产线工程项目于1987年底正式投产，构成一个独立的企业（运行事年来的有关财务资料见表8–17）。以净现金流量作为收益值（净现金流量＝利润总额＋折旧－税金－每年增加投资），拟合曲线模型。 表8–17 单位：万元 t 年度 利润总额 折旧 税款 每年增加投资 净现金流量yt  1 2 3 4 5 6 7 8 9 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 89.05 91.02 90.58 110.04 112.06 105.73 113.07 107.05 119.05 17.81 22.75 20.83 31.40 26.88 27.48 28.25 31.59 32.13 26.7 27.31 27.17 33.01 33.62 31.72 33.92 25.12 35.73 22.25 20.93 23.53 26.40 24.64 22.19 25.96 29.25 28.52 57.89 65.53 60.71 82.03 80.68 79.30 81.44 84.27 86.93  合计  937.6 239.12 274.32 223.67 678.78   解： 1．对净现金流量实际值Y的对数分为三组，并分别求出：  2．将计算出的三组对数和代入计算公式，求值：  3．计算参数a。首先根据公式计算，然后求反对数即参数a的值。  4．利用上述对数，反对数理论根据的公式计算参数k：  因此，龚柏兹曲线模型为：  8.5 时间数列分析（二）——季节变动、循环变动的测定 8.5.1. 季节变动分析 季节变动是指一些现象由于受自然条件或经济条件的影响在一个年度内随着季节的更替而发生比较有规律的变动，例如,农产品的生产量、某些商品的销售量等，都会因时间的变化而分为农忙农闲、淡季旺季。季节变动往往会给社会生产和人们的经济生活带来一定影响。研究季节变动，就是为了认识这些变动的规律性，以便更好地安排、组织社会生产与生活。 测定季节变动的方法从是否排除长期趋势的影响看，可分为两种；一是不排除长期趋势的影响，直接根据原时间数列来测定，二是依据消除长期趋势后的时间数列来测定。前者常用简单平均法，后者常用移动平均趋势剔除法。但是，不管采用哪种方法，都需具备连续多年的各月（季）资料，以保证所求的季节比率具有代表性，从而能比较客观地描述现象的季节变动。现将两种测定方法介绍如下。 1. 简单平均法 根据月（季）的时间数列，用简单平均法测定季节变动的计算步骤如下: ( 1)．分别就每年各月、<季）的数值加总后，计算各年的月（季）的平均数； (2)．将各年同月（季）的数值加总，计算若干年内同月（季）的平均数； (3)．根据若干年内每个月的数值总计，计算若干年总的月（季）平均数； (4)．将若干年内同月（季）的平均数与总的月（季）平均数相比，即求得用百分数表示的各月（季）的季节比率，又可以称为季节指数。 表8–18 某商店某商品销售量的季节变动分析 单位：百件 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均  1997 1998 1999 2000 合计 月平均 40 38 32 30 140 35 34 32 36 26 128 32 36 40 37 35 128 37 34 32 31 29 126 31.5 35 32 31 30 128 32 32 30 29 28 119 29.75 28 30 31 28 119 29.75 34 33 33 33 133 33.25 34 36 32 32 134 33.5 37 36 35 32 140 35 38 36 37 35 146 36.5 40 42 52 36 170 42.5 35.17 34.75 34.67 31.17 1629 ① 33.9375  季节 比率％ 103.13 94.29 109.02 92.82 94.29 87.66 86.19 97.97 98.71 103.13 107.55 125.23 100.00  注：①1629是4年的48个月的累计商品销售量 由表8–18的资料可知，某商店某商品销售的季节比率以12月份的125.23％为最高，2月份的109.02％为其次；而以7月份的86.19％为最低，6月份的87.66％为次低。  其余各月的季节比率依次类推。至于表8–18右下角的100％是将各月的季节比率加总后除一年的12个月份数求得的。 2. 移动平均趋势剔除法 是利用移动平均法采消除原时间数列中的长期趋势的影响，然后再来测定它的季节变动，共计算步骤及方法如下： (1.) 根据时间数列中各年按月（季）的数值（力计算其12个月的（若是季资料则为4个季的）移动平均数。 由于是偶数项移动平均，趋势值yc要分两步求得。 ( 2)．用时间数列中各月（季）的数值（y）与其相对应的趋势值（yc）对比，计算y／yc的百分比数值。 (3)．把y／yc的百分比数值按月（季）排列，计算出各年同月（季）的总平均数，这个平均数就是各月（季）的季节比率。 (4)．把各月（季）的季节比率加起来，其总计数应等于1200％若为季资料其总计数应等于400％），如果不符，还应把1200％与实际加总的各月季节比率相比求出校正系数，把校正系数分别乘上各月的季节比率。这样求得的季节比率就是一个剔除了长期趋势影响后的季节比率。 显然，季节变动分析中的两种方法各有特点，前者计算简便，但所求出的季节比率包含长期趋势的影响。后者计算较繁，但却得到了一个反映现象发展过程中的季节变动的缩影——剔除长期趋势后的季节比率。 8.5.2. 循环变动的测定 循环变动各个时期有不同的原因，变动的程度也有自己的特点，这和季节变动基于大体相同的原因和相对稳定的周期形成对照，所以不能用测定季节变动的方法来研究循环变动。通常用剩余法测定循环变动的程度。基本思想是；对各期时间数列资料用长期趋势和季节比率消除趋势变动和季节变动，而得反映循环变动与不规则变动的数列，然后再采用移动平均法消除不规则变动，便可得出反映循环变动程度的各期循环变动系数。 Y＝T·X·C·I  将C·I数列进行移动平均修匀，则修匀后的数列即为各期循环变动的系数。 测定循环变动的程度，认识经济波动的某些规律，预测下一个循环变动可能产生的各种影响，以便充分利用有利因素，避免不利因素，对于保持国民经济持续稳定的发展有重要的意义。但是循环变动预测和长期趋势预测不同，循环变动主要属于景气预测，在很大程度上要依靠经济分析，仅仅对历史资料的统计处理是不够的。 8.6 EXCEL时间数列分析 EXCEL在“数据分析”宏中提供了三种时间数列计算方法，即常用的移动平均法、指数平滑法和回归法，利用这些宏可以计算出估计值、标准差、残差和拟合图。同时，如果配合使用EXCEL的“数据分析”某些宏与某些函数可以完成数学曲线拟合法。 8.6.1 移动平均 以本章例8–11中表8–10的资料为例，相关移动平均宏计算移动平均趋势的过程如下： ◆在EXCEL工作表中B2:B13区域中输入“某公司2000年各月销售额”资料。 ◆在EXCEL “工具栏”中选择“数据分析宏”，并点击“移动平均”过程。 ◆在移动平均宏菜单的“输入区域”中输入“B1:B13”，在“间隔”中输入“3”表示进行3项移动平均，选择“输出区域”，并选择输出“图表输出”和“标准差”输出（如图8–2所示），点击确定，移动平均宏的计算结果如图8–3所示。 图8–2移动平均宏 图8–3利用移动平均宏计算的结果 在图8–2中，分别产生了3项移动平均的估计值C4:C13和估计的标准差D6:D12。正如图中C4单元格的表达式所示，C4中的表达式＝AVERAGE（B2:B4）是对B2:B4单元计算算术平均数，而D6单元格中的表达式“＝SQRT（SUMXMY2（B4:B6，C4:C6）/3）相当于标准差公式：  关于EXCEL中的“移动平均”的计算，需要说明两点：一是图8–3图列说明中的“趋势值”，即移动平均值，由于移动平均法是以移动平均值作为趋势估计值，所以也将其称为“趋势值”的。二是移动平均值的位置不是在被平均的N项数值的中间位置，而是直接排放在这N个时期的最后一期，这一点与通常意义上移动平均值应排放在N时期的中间时期有所不同。 图8–3还绘制出实际观察值与3项移动平均估计值之间的拟合曲线，可以看出，移动平均值削弱了上下波动，如果这种波动不是季节波动而是不规则变动的话，显然，移动平均可以削弱不规则变动。对于该例进行4项移动平均的结果与3项移动角明显不同。也说是说，当数列有季节周期时，只要移动平均的项数和季节波动的周期长度一致，则移动平均值可以消除季节周期，并在一定程度上消除不规则变动，从而揭示出数列的长期趋势。这一点我们将在季节摆动分析中具体讨论。 8.6.2. 指数平滑法 仍以表8–11中的数据为例，相关指数平滑法宏计算过程如下： ◆在EXCEL “工具栏”中选择“数据分析宏”，并点击“指数平滑”过程。 ◆在指数平滑宏菜单的“输入区域”中输入“B2:B13”，在阻尼（平滑）系数输入0.35。选择“输出区域”，并选择输出“图表输出”和“标准差”输出（如图8–4所示），点击确定，移动平均宏的计算结果如图8–5所示。 图8–4 指数平滑宏 图8–5指数平滑宏输出结果 8.6.3. 数学曲线拟合法 在EXCEL中虽没有提供数学曲线拟合法的直接计算工具，但是通过配合使用某些宏与函数可以完成直线或曲线趋势的数学拟合。下面将以例8–12和8–14的数据为例介绍直线趋势的拟合和指数趋势线的拟合。 1. 直线趋势的拟合 利用图形向导和添加趋势线可以完成直线趋势的数学拟合。其具体过程如下： ◆首先，利用图形向导生成折线图或利用移动平均宏生成折线图。 ◆其次，在对生成的草图进行必要的修饰后，得到时序图。用鼠标左键选择折线，然后扫鼠标右键，选择“添加趋势线”操作如图8–6所示。 ◆最后，在“添加趋势线”操作中，选择“线性”趋势线（如图8–7所示），然后点击“选项”，在“选项”菜单选择输出“显式公式”和“显示R平方值”两项，如图8–8所示。然后按“确定”，得到如图8–9所示趋势线和直线趋势方程及R平方值。 图8–6添加趋势线 图8–7趋势线类型 图8–8趋势线选项 图8–9趋势线和趋势线方程 2. 修正指数趋势线的拟合 利用图形向导、添加趋势线与某些函数可以完成书上的操作过程。如果只利用利用图形向导与添加趋势线可以得到一个与书上相仿的一个对数方程，其具体计算过程于直线趋势的拟合大体相同。结果如图8–10所示。 图8–10指数趋势拟合的趋势线和趋势方程 如果要得到书上的结果，需在1的第三步中只选择趋势线类型，不选选项中的内容，然后依据例8–15得分阶段的计算过程,利用sum(),power()求得S1,S2,S3,b,a,k和方程式。其结果如图8–11。 图8–11 实训练习 【基本练习】 单项选择 1．已知环比增长速度为9.2％、8.6％、7.1％、7.5％，则定基增长速度为（ ） ①9.2％×8.6％×7.1％×7.5％ ②（9.2％×8.6％×7.1％×7.5％）－100％ ③109.2％×108.6％×107.1％×107.5％ ④（109.2％×108.6％×107.1％×107.5％）－100％ 2．下列等式中，不正确的是（ ） ①发展速度＝增长速度＋1 ②定基发展速度＝相应各环比发展速度的连乘积 ③定基增长速度＝相应各环比增长速度的连乘积 ④平均增长速度＝平均发展速度－1 3．累计增长量与其相应的各个逐期增长量的关系表现为（ ） ①累计增长量等于相应的各个逐期增长量之积 ②累计增长量等于相应的各个逐期增长量之和 ③累计增长量等于相应的各个逐期增长量之差 ④以上都不对 4．编制动态数列的基本原则是要使动态数列中各项指标数值具有（ ） ①可加性 ②可比性 ③一致性 ④同质性 5．某地区1990－1996年排列的每年年终人口数动态数列是（ ） ①绝对数动态数列 ②绝对数时点数列 ③相对数动态数列 ④平均数动态数列 多项选择 1．长期趋势的测定方法有（ ） ①季节比率法 ②移动平均法 ③分段平均法 ④最小平方法 ⑤时距扩大法 2．构成动态数列的两个基本要素是（ ） ①指标名称 ②指标数值 ③指标单位 ④现象所属的时间 ⑤现象的处理地点 3．根据动态数列中不同时期的发展水平所求的平均数称为（ ） ①序时平均数 ②算术平均数 ③几何平均数 ④平均发展水平 ⑤平均发展速度 4．动态数列中的发展水平具体包括（ ） ①期初水平和期末水平 ②报告期水平和基期水平 ③平均发展水平 ④中间水平 ⑤增长量 5．动态数列中的派生数列是（ ） ①时期数列 ②时点数列 ③绝对数动态数列 ④相对数动态数列 ⑤平均数动态数列 【讨论与思考】 1．简述时间数列的概念和种类。 2．时期数列和时点数列有什么区别？ 3．什么是发展水平、增减量、平均增减量、发展速度和增减速度？定基发展速度和环比发展速度、发展速度与增减速度的关系如何？ 4．什么是平均发展水平？它的计算可以分成几种情况？ 5．时间序列可以分解为哪几种因素？各种因素的基本概念是什么？ 【技能训练】 1．某种股票2000年各统计时点的收盘价如表1所示，计算该股票2000年的年平均价格。 表1 统计时点 1月1日 3月1日 7月1日 10月1日 12月31日  收盘价（元） 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8  2．某企业2001年9月～12月月末职工人数资料如表2所示。 表2 日 期 9月30日 10月31日 11月30日 12月31日  月末人数（人数） 1400 1510 1460 1420  计算该企业第四季度的平均职工人数。 3．1996～2001年各年底某企业职工人数和工程技术人员数资料如表3所示。 表3 年 份 1996 1997 1998 1999 2000 2001  职工人数 1000 1020 1085 1120 1218 1425  工程技术人员 50 50 52 60 78 82  试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重。 4．某机械厂2001年第四季度各月产值和职工人数资料如表4所示，试计算该季度平均劳动生产率。 表4 月份 10月 11月 12月  产值（元） 平均职工人数（人） 月平均劳动生产率（元） 400000 400 1000 46200 420 1100 494500 430 1150  5．某化工企业1996～2000年的化肥产量资料如表5所示。 表5 年份 1996 1997 1998 1999 2000  化肥产量（万吨） 环比增长速度（％） 定基发展速度（％） 400 ––– –––  5  111.3 484  12.5  利用指标间关系将表中所缺数字补充。 6．某地区粮食总产量如表6所示。 表6 年 份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000  产量（万吨） 230 236 241 246 252 257 262 276 281 286  要求： （1）试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型？ （2）如果是直线型，用最小平方法配合直线趋势方程。 （3）预测2001年的粮食产量。 7．某产品专卖店1998～2000年各季度销售额资料如表7所示。 表7 年份 一季度 二季度 三季度 四季度  1998 1999 2000 51 65 76 75 67 77 87 82 89 54 62 73  要求： （1）采用按季平均法和移动平均趋势剔除法计算季节指数； （2）计算2000年无季节变动情况下的销售额。 【实训提示】 一、单项选择题 1、④ 2、③ 3、② 4、② 5、② 二、多项选择题 1、②③④⑤ 2、②④ 3、①④ 4、①②③④⑤ 5、④⑤ 三、计算题 1．16.0（元） 2．1460人 3．5.4% 4．1084.3（元） 5． 年 份 1996 1997 1998 1999 2000  化肥产量（万吨） 环比增长速度（％） 定基发展速度（％） 400 ––– ––– 420 5 105 445.2 6 111.3 484 8.7 121.0 544.5 12.5 136.1   6．（1）接近于直线型 （2） （3）（万吨） 7．（1）结果见下表 季节指数（%） 一季度 二季度 三季度 四季度  按季平均法 趋势剔除法 89.5 98.4 102.1 98.8 120.3 121.5 88.1 81.3   （2）消除季节变动后各季销售额 一季度：76/98.4%=77.2（万元） 二季度：77/98.8%=77.9（万元） 三季度：89/121.5%=77.3（万元） 四季度：73/81.3%=89.8（万元）