9-1
第九章 统计决策
? 第一节 统计决策的基本概念
? 第二节 完全不确定型决策
? 第三节 一般风险型决策
? 第四节 贝叶斯决策
9-2
第一节 统计决策的基本概念
? 一、什么是统计决策
? 二、统计决策的基本步骤
? 三、收益矩阵表
9-3
一、什么是统计决策
? 狭义的统计决策方法是
一种研究非对抗型和非
确定型决策问题的科学
的定量分析方法。
9-4
二、统计决策的基本步骤
? 一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤：
? （一）确定决策目标
? 决策目标应根据所研究问题的具体特点确定。反映决策目标
的变量，称为目标变量。
? （二）拟定备选方案
? 目标确定之后，需要分析实现目标的各种可能途径。这就是
所谓拟定备选方案。
? （三）列出自然状态
? 所谓自然状态 (简称状态 )，是指实施行动方案时，可能面临
的客观条件和外部环境。某种状态是否出现，事先一般是无
法确定的。各种状态不会同时出现，也就是说，它们之间是
互相排斥的。所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而
相应的各种状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率
分布。
9-5
? （四）测算结果
? 不同方案在各种状态下可能实现的目标变量值，即
不同方案在各种状态下的结果，所有的结果构成结
果空间。
? （五）选择“最佳”或“满意”的方案
? （六）实施方案
? 所选择的方案是否真正合适，还需要通过实践的检
验。同时，还应将实施过程中的信息及时反馈给决
策者。如果实施结果出乎意料，或者自然状态发生
重大变化，应暂停实施，并及时修正方案，重新决
策。
9-6
三、收益矩阵表
? 收益矩阵表是求解统计决策问题的重要工具。其基
本形式如表 9-1所示。
? 收益矩阵表由以下几部分组成：
? （一）行动空间；（二）状态空间；（三）状态空间的
概率分布（四）收益矩阵
? 收益矩阵的元素 qij反映在状态 θj下，采用行动方案 ai
得到的收益值（结果）。这里所说的收益是广义的，
凡是能作为决策目标的指标都可以称为收益。收益
是行动方案和自然状态的函数，可用下式表示：
qij = Q (ai,θj ) i =1,2,…,m; j=1,2,… n (9.1)
9-7
表 9 - 1 收益矩阵表
状态 θ 1 θ 2 ? θ n
概率 P 1 P 2 ? P n
方
案
a
1
a
2
?
a
m
q
11
q
12
? q
1n
q
21
q
22
? q
2n
? ? ? ?
q
m1
q
m2
? q
mn
9-8
? 【 例 9-1】 一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问
题进行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行
较大规模的投资，年生产能力为 2500万瓶，其每年
的固定成本费用为 300万元；二是进行较小规模的投
资，年生产能力 1000万瓶，其每年的固定成本费用
为 100万元 ；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固
定费用的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利 0.3元。
据预测，这种啤酒可能的年销售量为,50万瓶、
1000万瓶和 2500万瓶，这三种状况发生的概率分别
为,0.2,0.3,0.5。
? 试编制该问题的收益矩阵表。
9-9
? 解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益。
例如，当需求量大（年销售 2500万瓶）时，
? 方案一的收益为,0.32500-300=450万元；
? 方案二的收益为,0.31000-100=200万元；
? 方案三的收益为,0
? 其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。
在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。
表 9 - 2 啤酒投资 的收益矩阵表 单位：万元
状态 需求大 需求中 需求小
概率 0.5 0.3 0,2
方
案
方案一
方案二
方案三
450 0 － 2 85
200 2 00 － 85
0 0 0
9-10
第二节 完全不确定型决策
? 一、完全不确定型决策的准则
? 二、各种准则的特点和适用场合
9-11
一、完全不确定型决策的准则
? （一）最大的最大收益值准则
? 该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其特点
是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先选出
各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从中选
择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方
案。该准则的数学表达式为：
(9.2)
式中,a* 是所要选择的方案。
? ?ij
ji
qM a xM a xa ?*
9-12
? （二）最大的最小收益值准则
? 该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。
它正好与乐观准则相反，决策者对未来形势
比较悲观。在决策时，先选出各种状态下每
个方案的最小收益值，然后再从中选择最大
者，并以其相对应的方案作为所要选择的方
案。该准则的数学表达式为：
(9.3) ? ?
ijji qM i nM a xa ?
*
9-13
? 【 例 9-2】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率完全不
知道，试根据最大的最大收益值准则和最大的最小
收益值准则进行决策。
? 解：（ 1）例 9 - 1中，方案一在各种状态下的最大收
益为 450万元，方案二在各种状态下的最大收益为
200万元，方案三在各种状态下的最大收益为 0，根
据最大的最大收益值准则，应选择方案一。
（ 2）例 9 - 1中，方案一在各种状态下的最小收
益为 -285万元，方案二在各种状态下的最小收益为 -
85万元，方案三在各种状态下的最小收益为 0，根据
最大的最小收益值准则，应选择方案三。
9-14
（三）最小的最大后悔值准则
? 后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成的其实际收
益值与最大可能的收益值的差距。方案 ai在状态 θj下的后悔
值，可按下式计算：
(9.4)
? 式中,Q (ai,θj )是在第 j种状态下，正确决策有可能得到的最
大收益,qij是收益矩阵的元素。
? 如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优方案（有可能
带来最大收益的方案），则后悔值为 0；如果实际选择的方
案不如最优方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所
选的方案与最优方案差距越大。显而易见,rij≥0 。
? 最小的最大后悔值准则的数学表达式为：
(9.5)
ijjiiij qaQM a xr ?? ),( ?
? ?ijji rM a xM i na ?*
9-15
【 例 9-3】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试
求出后悔矩阵并根据最小的最大后悔值准则进行决策。
? 解：
(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,故有,
在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有,
在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有,
将其代入 (9.4)式，可求得以下后悔矩阵（参见表 9-3）。
(2)由表 9-3可知：方案一的最大后悔值为 285万元，方案二的
最大后悔值为 250万元，方案三的最大后悔值为 450万元。根
据最小的最大后悔值准则，应选择方案二。
450),( 1 ??ii aQM a x
200),( 2 ??ii aQM a x
0),( 3 ??ii aQM a x
9-16
表 9 - 3 某项投资的后悔矩阵表 单位：万元
状态 需求大 需求中 需求小
方
案
方案一
方案二
方案三
0 2 00 28 5
250 0 85
450 20 0 0
9-17
（四）折衷准则
? 该准则认为，对未来的形势既不应该盲目乐观，也
不应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观
系数 δ（ 0≤δ≤1），以 δ和 1-δ分别作为最大收益值和
最小收益值的权数，计算各方案的期望收益值
E(Q(ai))
(9.6)
? 以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该
准则的数学表达式为：
(9.7)
? ? ? ?ijiijii qM i nqM a xaQE )1())(( ?? ???
))((* i
i
aQEM a xa ?
9-18
【 例 9-4】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率不知，
根据经验判断的乐观系数为 0.6,试根据折衷准则进行
决策。
? 解,将有关数据代入（ 9.6）式，可得：
E(Q(a1)) = 0.6× 450 +(1－ 0.6)(-285)= 156
E(Q(a2)) = 0.6× 200 +(1－ 0.6)(－ 85)= 86
E(Q(a3)) = 0.6× 0 +(1－ 0.6)× 0 = 0
因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值较大，
所以根据折衷原则，应选择方案一。
9-19
（五）等可能性准则
? 该准则认为：既然我们不知道未来各种状态
出现的可能性有多大，那么不妨假定其发生
的概率相等。在此基础上求各方案收益的期
望值，并以期望收益值最大的方案作为所要
选择的方案。该准则的数学表达式为：
a* =Max E(Q(ai)) (9.8)
(i =1,2,---,m) (9.9)?
?
?
n
j
jii qnaQE
1
,
1))((
9-20
【 例 9-5】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率
不知，试根据等可能性准则进行决策。
? 解,将有关数据代入（ 9.9）式，可得：
E(Q(a1)) =1/3(450 + 0 - 285)=55
E(Q(a2)) =1/3( 200 + 200 – 85)= 105
E(Q(a3)) =1/3( 0 + 0 + 0)= 0
因为，按 (9.9)式计算的方案二的期望收益值
最大，所以按等可能性准则，应选择方案二。
9-21
二、各种准则的特点和适用场合
? 由于完全不确定型决策问题相当复杂，而决策者掌
握的信息又非常有限，因此，在实际决策时，决策
准则的选择往往取决于决策者的偏好，也就是说对
准则的选择仍带有相当程度的主观随意性。为了提
高决策的科学性，减少盲目性，在选用准则时，应
注意分析各种准则隐含的假定和决策时的各种客观
条件。客观条件越接近于某一准则的隐含假定，则选用该准则进行的决策结果就越正确。
? 最大的最大收益值准则只有在客观情况确实很乐观，
或者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才
采用。
? 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非常没有
把握，或者难以承受决策失误损失的场合。
9-22
? 最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获利
机会，同时又对可能出现的损失有一定承受力的场
合。
? 折衷准则事实上是假定未来可能发生的状态只有两
种：即最理想状态和最不理想状态。前者发生的概
率是，后者发生的概率是 (1-δ)。当 δ =1时，该准则
等价于乐观准则，而当 δ=0时，该准则等价于悲观
准则。实际应用该准则时，应根据风险的大小、对
未来状态的预计以及对决策失误的承受力，调整 δ的
赋值。
? 等可能性准则事实上是假定各种状态出现的概率相
等。该准则只适用于对未来各种状态发生的可能性
完全心中无数的场合。
9-23
第三节 一般风险型决策
? 一、自然状态概率分布的估计
? 二、风险型决策的准则
? 三、利用决策树进行风险型决策
9-24
一、自然状态概率分布的估计
? 一般风险型决策中，所利用的概率包括客观
概率与主观概率。
? 客观概率是一般意义上的概率可来源于频率
估计，通常是由自然状态的历史资料推算或
按照随机实验的结果计算出来的。例如，购
买体育彩票的中奖概率就属于客观概率。
? 主观概率是基于自身的学识、经验做出的对
某一事件发生的可能性的主观判断。
9-25
二、风险型决策的准则
? （一）期望值准则
? 以各方案收益的期望值的大小为依据，来选择合适的方案。
(i =1,2,---,m) (9.10)
? （二）变异系数准则
? 当出现两个方案收益的期望值相差不大的情况时，可以进一
步用变异系数作为选择方案的标准，以变异系数较低的方案
作为所要选择的方案。变异系数准则必须在期望值达到一定
数额的前提下，才能运用，否则可能得出不正确的结论。
? 方差 Var(ai)和变异系数 V的计算公式如下：
(i =1,2,…,m) (9.9)
(i =1,2,…,m) (9.12)
?
?
?
n
j
jjii PqaQE
1
,))((
? ??
?
???
n
j
jijiii paQqaQEaVa r
1
2
,))(E())(()(
))(E(
)(
i
i
i aQ
aV a rV ?
9-26
【 例 9-6】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表的资料，根据期望
值准则和变异系数准则选择最佳的投资方案。
? 解：（ 1）将有关数据代入（ 9.10）式，可得：
E(Q(a1)) = 450× 0.5 + 0× 0.3 － 285× 0.2 = 168
E(Q(a2)) = 200× 0.5 + 200× 0.3 － 85× 0.2 = 143
E(Q(a3)) = 0 × 0.5 + 0× 0.3 + 0× 0.2 = 0
（ 2） E(Q(a3))=0，可以从备选方案中排除。方案一和方案二的
期望值虽有差别，但差别不是很大，所以再计算变异系数，
帮助判断。将有关数据代入（ 9.11）式和（ 9.12）式，可得：
Var(a1) = (450-168)2× 0.5+(0-168)2× 0.3+(-285-168) 2× 0.2=89271
Var(a2) = (200-143)2× 0.5+(200-143)2× 0.3+(-85-143) 2× 0.2=12996
所以，如果单纯根据收益期望值大小为标准，应选择方案一；
如果将收益的期望值和方差结合在一起考虑，选择方案二比
较合适。
778.1168/892711 ??V 7972.0143/129962 ??V
9-27
? （三）最大可能准则
? 该准则主张以最可能状态作为选择方案时考
虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状
态空间中具有最大概率的那一状态。按照最
大可能准则，在最可能状态下，可实现最大
收益值的方案为最佳方案。
? 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，
简化为确定条件下的决策问题。只有当最可
能状态的发生概率明显大于其他状态时，应
用该准则才能取得较好的效果。
9-28
【 例 9-7】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表
的资料，根据最大可能准则选择最佳的投资
方案。
? 解,该例的各种自然状态中，“市场需求大”
的概率最大，因此，该状态为最可能状态。
在市场需求大的状态下，方案一可以获得最
大的收益。所以，根据最大可能准则，应选
择方案一。
9-29
（四）满意准则
? 利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。所谓满
意水平，是指决策者认为比较合理、可以接受的目标值。然
后，将各种方案在不同状态下的收益值与目标值相比较，并
以收益值不低于目标值的累积概率为最大的方案作为所要选
择的方案 a*。该准则的数学表达式如下：
a* = Max P{ Q (ai,θj )≥A } (9.13)
（ i =1,2,…,m ； j=1,2,….n ）
式中,A是给定的满意水平,Q (ai,θj )是 i方案在 j状态下的收
益,P{ Q (ai,θj )≥A }是各方案收益值不低于目标值状态的累
积概率。
? 利用该准则的决策结果，与满意水平的高低有很大关系。满
意水平一旦改变，所选择的方案也将随之改变。
9-30
【 例 9-8】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表的资料，根据满
意准则选择满意的投资方案，假定给出的满意水平有 200万
元和 400万元两种。
? 解,(1) P{ Q (a1,θj )≥200 }= 0.5
P{ Q (a2,θj )≥200 }= 0.5+0.3 = 0.8
P{ Q (a3,θj )≥200 }= 0
在备选方案中，方案二达到满意水平的累积概率最大，所以
选择方案二。
P{ Q (a1,θj )≥400 }= 0.5
P{ Q (a2,θj )≥400 }= 0
P{ Q (a3,θj )≥400 }= 0
在备选方案中，方案一达到满意水平的累积概率最大，所以
选择方案一。
9-31
三、利用决策树进行风险型决策
? 决策树是求解风险型决策问题的重要工具，它是一
种将决策问题模型化的树形图。决策树由决策点、
方案枝、机会点、概率枝和结果点组成。
? 利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向
分析法，即先计算出树形结构的末端的条件结果，
然后由此开始，从后向前逐步分析。
? 与本章第一节介绍过的收益矩阵表相比，决策树的
适应面更广，它并不要求所有的方案具有相同的状
态空间和概率分布。
? 它特别适用于求解复杂的多阶段决策问题。
9-32
【 例 9-9】 某汽车配件厂拟安排明年某零部件的生产。
该厂有两种方案可供选择：方案一是继续利用现有
的设备生产，零部件的单位成本是 0.6万元。方案二
是对现有设备进行更新改造，以提高设备的效率。
更新改造需要投资 100万元（假定其全部摊入明年的
成本），成功的概率是 0.7。如果成功，零部件不含
上述投资费用的单位成本可降至 0.5万元；如果不成
功，则仍用现有设备生产。另据预测，明年该厂某
零部件的市场销售价格为 1万元，其市场需求有两种
可能：一是 2000件，二是 3000件，其概率分别为
0.45和 0.55。试问：（ 1）该厂应采用何种方案？（ 2）
应选择何种批量组织生产？
9-33
? 解：在本例中，首先要解决的问题是对生产方案的选择，但
是对生产方案进行选择需要考察各种方法可能的结果。而这
些结果又依赖于对生产批量的选择。因此，这是一个典型的
两阶段决策问题。求解步骤如下：
（ 1）根据题中给出的条件,画出决策树结构图 (参见图 9-2)。
8 0 0
8 0 0
8 0 0
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
2 00
1 2 0 0
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
75 0
3
生产 3000 件
件
生产 2000 件
件
8 0 0
7 0 0
7 0 0
1 0 0
1 1 0 0
7 00 需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0,55 ）
65 0
5
按方法 I 生产
3 0 0 0 件
按方法 I 生产
2 0 0 0 件
7 0 0
9 0 0
95 0
9 00
9 00
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
4 00
14 00
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0,55 ）
4
生产 3000 件
件
生产 2000 件
件
9 5 0
1
8 7 5
成功 (0,7 )
失败 ( 0, 3 )
8 7 5
方案一
方案二
2
6
7
8
9
10
11
图 9 - 2 例 11 - 9 的决策树图
9-34
（ 2）计算决策树最末端的条件收益值。这里采用的计算式如下：
净收益＝可能销售量 × 单价－生产量 × 单位成本－应摊新投资费用
当生产批量大于市场需求量时,可能销售量等于市场需求量。
而当生产批量小于市场需求量时，可能销售量等于生产批量。
另外，当选择方案一组织生产时，应摊新投资费用等于 0，
选择方案二组织生产应摊新投资费用 100万元。例如：右边
第一个结果点的条件收益 =2000-3000× 0.6-0=200
（ 3）利用各条件收益值和相应的概率分布，计算最右端各机会
点的期望收益值。例如：机会点⑥的期望值＝ 200× 0.45＋
1200× 0.55＝ 750
9-35
（ 4）根据期望值准则，选出决策点 3, 4, 5的最佳生产批量，
并将最佳方案的期望收益值填在相应的决策点的上方。同时，
剪除落选的方案枝。例如：在决策点 3选择生产 2000件的方
案，该方案的期望收益值为 800万元。
（ 5）利用决策点 4, 5的结果，计算机会点②的期望收益值。
将其与方案一的期望收益值比较，按照期望值准则选择最佳
方案。
? 从图中可以看出，方案二的期望收益值为 875万元，大于方
案二的期望收益值（ 800万元）。
? 本例决策树分析的结论是：该汽车配件厂应按方案二对设备
进行更新改造，如果能够成功，就采用新生产方法组织生产，
其批量安排为 3000；如果失败，则仍采用原生产方法组织生
产，其批量安排为 2000。
9-36
第四节 贝叶斯决策
? 一、什么是贝叶斯决策
? 二、贝叶斯公式与后验概率的估计
? 三、先验分析与后验分析
? 四、后验预分析
9-37
一、什么是贝叶斯决策
? 利用补充信息修订的概率称为后验概率。所
谓贝叶斯决策，就是利用补充信息，根据概
率计算中的贝叶斯公式来估计后验概率，并
在此基础上对备选方案进行评价和选择的一
种决策方法。
9-38
二、贝叶斯公式与后验概率的估计
? 设某种状态 θj的先验概率为 P(θj)，通过调查
获得的补充信息为 ek,θj 给定时,ek的条件概
率（似然度）为，则在给定信息 ek的条件下,
可用以下贝叶斯公式计算 θj的条件概率即后验
概率：
(9.14)
? 上式的分母是 ek出现的概率 P(ek)。
?
?
?
?
?
n
j
jkj
jkj
kj
ePP
ePP
eP
1
)/()(
)/()(
)/(
??
??
?
9-39
【 例 9-10】 某空调机生产厂家拟向另一电子元件厂购买某种
电子元器件，根据过去的经验,该电子元件厂产品发生不同次
品率的概率分布如表 9-5第二栏所示。但据说，该厂的产品质
量最近有所提高。现从市场上该电子元件厂出售的该种元器
件中，随机抽取了 10件，结果未发现次品。试计算出现这种
结果的概率，并根据这一信息，对以往元器件厂次品率的概
率分布进行修正。
? 解：以往的概率分布可视为先验概率。在本例中，各种不同
次品率给定条件下，抽查 10件发生 0件次品 (发生 0件为 )的概
率近似地服从于二项分布，其似然度可按以下方式计算：
(j=1,2,3,4) (9.15)
例如，
1000100 )1()/( jjj CeP ??? ?＝
5 9 9.0)95.0()05.0()/( 10001010 ?CeP ＝?
9-40
? 在 Excel 中，利用 BINOMDIST函数可以方便地计算二项分布
的概率。表 9-5的第 3栏，给出了按照上式计算的结果。
表 9 - 5 后验概率的计算
次品率
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
0 j
eP ?
)/()(
0 jj
ePP ?? ?
后验概率
)/(
0
eP
j
?
0.05 0.1 0.599 0.0599 0.207
0.10 0.4 0.349 0.1396 0.483
0.15 0.4 0.197 0.0788 0.273
0.20 0.1 0.107 0.0107 0.037
1.0 0.2889 1.000
9-41
? 将先验概率与似然度代入（ 9.14）式，可求得不同状态下的
后验概率,结果如表 9-5中最后一栏（第 5栏）所示。例如，次
品率为 0.05状态的后验概率为：
? 而随机抽取 10件不出现次品的概率为：
? 从表中结果可以看出：由于实际抽查的次品率为 0,因此，次
品率为 0.05这种状态的后验概率大于先验概率，而次品率为
0.15和 0.20这两种状态的后验概率小于先验概率。
207.02 8 8 9.0/599.01.0)/( 01 ??＝eP ?
2 89 9.0
)0 10 7.00 78 8.01 35 9.00 59 9.0(
)/()()(
1
00
?
????
?? ?
?
n
j
jj ePPeP ??
9-42
三、先验分析与后验分析
? 先验分析是利用先验概率进行决策，而后验
分析则是利用后验概率作为选择与判断合适
方案的依据。一般来说，只要补充信息是准
确的，则后验分析的结论更为可靠。
9-43
【 例 9-11】 设在例 9-10中，对于是否向电子原件厂购买电子
元器件，空调机厂有两种可供选择的方案即：方案一购买；
方案二不购买。假设其收益矩阵表如 9-6所示。试根据期望值
准则，进行先验分析和后验分析。
表 9 - 6 收益矩阵表
状态：次品率 0.05 0.10 0.1 5 0,20
先验概率 0.1 0.4 0.4 0,1
后验概率 0.207 0,483 0.273 0.0 37
方
案
购买 a 1
不买 a 2
200 50 － 100 － 3 00
0 0 0 0
9-44
? 解,(1)先验分析
E(Q(a1))＝ 200× 0.1+50× 0.4－ 100× 0.4－ 300× 0.1＝ -30
E(Q(a2))＝ 0
根据先验概率和期望值准则，应选择方案二。
(2)后验分析
E(Q(a1))＝ 200× 0.207 +50× 0.483－ 100× 0.273－ 300× 0.037
＝ 27.15
E(Q(a2))＝ 0
根据后验概率和期望值准则，应选择方案一。
9-45
四、后验预分析
? 在正式进行补充信息的调查之前，还需要将
先验分析最佳方案的期望收益与各种可能的
后验分析最佳方案的期望收益加以比较，了
解收集补充信息所需的费用和可能带来的收
益，对是否值得进一步收集补充信息的问题
做出判断，并选择最佳的收集补充信息的方
案。这一环节被称为后验预分析。
9-46
? 【 例 9-12】 某水利工程公司拟对大江截流的施工工期做出决
策。可供选择的方案有两种：一是在 9月份施工；二是在 10
月份施工。假定其他条件都具备，影响截流的唯一因素是天
气与水文状况。 10月份的天气与水文状况肯定可以保证截流
成功。而 9月份的天气水文状况有两种可能。如果天气好，
上游没有洪水,9月底前截流成功，可使整个工程的工期提
前，从而能比 10月施工增加利润 1000万元；如果天气坏，上
游出现洪水，截流失败，则比 10月施工增加 500万元的损失。
根据以往经验,9月份天气好的可能性是 0.6,天气坏的可能性
是 0.4。为了帮助决策，公司拟请某气象站对气象作更进一步
的预测与分析。过去的资料表明，该气象站预报好天气的准
确率是 0.9,预报坏天气的准确率是 0.7。试通过后验预分析，
判断水利工程公司是否应购买气象情报？该项气象情报的平
均价值是多少？是否应在 9月份施工？为该公司选择合适的
行动方案。
9-47
? 解：（ 1）先验分析
根据题意可列出该问题的收益矩阵表：
E(Q(a1))＝ 1000× 0.6－ 500× 0.4＝ 400万元； E(Q(a2))＝ 0
根据期望值准则，应选择方案一即在 9 月份施工。
表 9 - 7 收益矩阵表
j
?,天气状况 天气好 天气坏
先验概率 P(
j
? ) 0,6 0.4
方
案
9 月施工 a 1
10 月施工 a 2
1000 － 5 00
0 0
9-48
（ 2）后验概率估计
? 设气象站发出的预报为，其结果无非是以下两种：天气好，
天气坏。则预报的准确率就是似然度。按照前面介绍过的估
计后验概率的方法，可分别列出两种预报结果的后验概率计
算表。
表 9 - 8 气象站发出天气好预报的后验概率的计算
天气状况
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
j
eP ?
1
)/()(
jj
ePP ??
1
?
后验概率
)/(
1
eP
j
?
天气好 θ 1 0.6 0.9 0.54 0, 818
天气坏 θ 2 0.4 0.3 0.12 0, 182
1.0 0.66
9-49
? 由表中还可知：气象站发出天气好预报的概率 Ｐ （ e1）是
0.66，气象站发出天气坏预报的概率 Ｐ （ e2 ）是 0.34。
表 9 - 9 气象站发出天气坏预报的后验概率的计算
天气状况
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
j
eP ?
2
)/()(
jj
ePP ??
2
?
后验概率
)/(
2
eP
j
?
天气好 θ 1 0.6 0.1 0.06 0.1765
天气坏 θ 2 0.4 0.7 0.28 0.8235
1.0 0.34
9-50
（３）后验分析
? ①当气象站发出天气好的预报时，应利用后验概率
计算期望收益：
E(Q(a1))＝ (1000× 0.818－ 500× 0.182)＝ 727
E(Q(a2))＝ (0× 0.818＋ 0× 0.182)＝ 0
? 因此，该场合根据期望值准则应选择方案一。
? ②当气象站发出天气坏的预报时，应利用后验概率
计算期望收益：
E(Q(a1)) ＝ 1000× 0.1765－ 500× 0.8235＝ -235.25
E(Q(a2)) ＝ 0× 0.818＋ 0× 0.182＝ 0
? 因此，该场合根据期望值准则应选择方案二。
9-51
（ 3）后验预分析
? 为了帮助决策，我们利用以上分析的结果，画出本例的决策
树图（参见图 9-3）。
图 9 - 3 例 9 - 12 的决策树图
0
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0,6 ）
天气坏（ 0,4 ）
3
9 月施工
10 月施工
4 00
5
0
0
7 2 7
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0, 8 1 8 ）
天气坏（ 0,1 8 2 ）
4
9 月施工
件
10 月施工
件
7 2 7
1
4 7 9, 8 2
预报天气好
(0, 66 )
预报天气坏
（ 0,34 ）
4 7 9, 8 2
不买情报
购买情报 2
6
8
- 2 3 5, 2 5
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0, 1 7 6 5 ）
天气坏（ 0,8 2 3 5 ）
9 月施工
件
8
10 月施工
件
0
4 0 0
9-52
? 由决策树分析可知，该水利工程公司应购买
气象情报，以便更准确地把握气象水文状况。
如果气象预报天气好，应在 9月份施工，如果
气象预报天气坏，则应在 10月份施工。从获
得的利润期望值看,这一方案比根据先验分析
直接选定的方案高出 79.82万元 (479.82-400),这
一数值实际上就是购买气象情报价值的上限。
只要该项情报要价低于 79.82万元，平均来看
就是有利的。
第九章 统计决策
? 第一节 统计决策的基本概念
? 第二节 完全不确定型决策
? 第三节 一般风险型决策
? 第四节 贝叶斯决策
9-2
第一节 统计决策的基本概念
? 一、什么是统计决策
? 二、统计决策的基本步骤
? 三、收益矩阵表
9-3
一、什么是统计决策
? 狭义的统计决策方法是
一种研究非对抗型和非
确定型决策问题的科学
的定量分析方法。
9-4
二、统计决策的基本步骤
? 一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤：
? （一）确定决策目标
? 决策目标应根据所研究问题的具体特点确定。反映决策目标
的变量，称为目标变量。
? （二）拟定备选方案
? 目标确定之后，需要分析实现目标的各种可能途径。这就是
所谓拟定备选方案。
? （三）列出自然状态
? 所谓自然状态 (简称状态 )，是指实施行动方案时，可能面临
的客观条件和外部环境。某种状态是否出现，事先一般是无
法确定的。各种状态不会同时出现，也就是说，它们之间是
互相排斥的。所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而
相应的各种状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率
分布。
9-5
? （四）测算结果
? 不同方案在各种状态下可能实现的目标变量值，即
不同方案在各种状态下的结果，所有的结果构成结
果空间。
? （五）选择“最佳”或“满意”的方案
? （六）实施方案
? 所选择的方案是否真正合适，还需要通过实践的检
验。同时，还应将实施过程中的信息及时反馈给决
策者。如果实施结果出乎意料，或者自然状态发生
重大变化，应暂停实施，并及时修正方案，重新决
策。
9-6
三、收益矩阵表
? 收益矩阵表是求解统计决策问题的重要工具。其基
本形式如表 9-1所示。
? 收益矩阵表由以下几部分组成：
? （一）行动空间；（二）状态空间；（三）状态空间的
概率分布（四）收益矩阵
? 收益矩阵的元素 qij反映在状态 θj下，采用行动方案 ai
得到的收益值（结果）。这里所说的收益是广义的，
凡是能作为决策目标的指标都可以称为收益。收益
是行动方案和自然状态的函数，可用下式表示：
qij = Q (ai,θj ) i =1,2,…,m; j=1,2,… n (9.1)
9-7
表 9 - 1 收益矩阵表
状态 θ 1 θ 2 ? θ n
概率 P 1 P 2 ? P n
方
案
a
1
a
2
?
a
m
q
11
q
12
? q
1n
q
21
q
22
? q
2n
? ? ? ?
q
m1
q
m2
? q
mn
9-8
? 【 例 9-1】 一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问
题进行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行
较大规模的投资，年生产能力为 2500万瓶，其每年
的固定成本费用为 300万元；二是进行较小规模的投
资，年生产能力 1000万瓶，其每年的固定成本费用
为 100万元 ；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固
定费用的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利 0.3元。
据预测，这种啤酒可能的年销售量为,50万瓶、
1000万瓶和 2500万瓶，这三种状况发生的概率分别
为,0.2,0.3,0.5。
? 试编制该问题的收益矩阵表。
9-9
? 解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益。
例如，当需求量大（年销售 2500万瓶）时，
? 方案一的收益为,0.32500-300=450万元；
? 方案二的收益为,0.31000-100=200万元；
? 方案三的收益为,0
? 其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。
在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。
表 9 - 2 啤酒投资 的收益矩阵表 单位：万元
状态 需求大 需求中 需求小
概率 0.5 0.3 0,2
方
案
方案一
方案二
方案三
450 0 － 2 85
200 2 00 － 85
0 0 0
9-10
第二节 完全不确定型决策
? 一、完全不确定型决策的准则
? 二、各种准则的特点和适用场合
9-11
一、完全不确定型决策的准则
? （一）最大的最大收益值准则
? 该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其特点
是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先选出
各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从中选
择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方
案。该准则的数学表达式为：
(9.2)
式中,a* 是所要选择的方案。
? ?ij
ji
qM a xM a xa ?*
9-12
? （二）最大的最小收益值准则
? 该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。
它正好与乐观准则相反，决策者对未来形势
比较悲观。在决策时，先选出各种状态下每
个方案的最小收益值，然后再从中选择最大
者，并以其相对应的方案作为所要选择的方
案。该准则的数学表达式为：
(9.3) ? ?
ijji qM i nM a xa ?
*
9-13
? 【 例 9-2】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率完全不
知道，试根据最大的最大收益值准则和最大的最小
收益值准则进行决策。
? 解：（ 1）例 9 - 1中，方案一在各种状态下的最大收
益为 450万元，方案二在各种状态下的最大收益为
200万元，方案三在各种状态下的最大收益为 0，根
据最大的最大收益值准则，应选择方案一。
（ 2）例 9 - 1中，方案一在各种状态下的最小收
益为 -285万元，方案二在各种状态下的最小收益为 -
85万元，方案三在各种状态下的最小收益为 0，根据
最大的最小收益值准则，应选择方案三。
9-14
（三）最小的最大后悔值准则
? 后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成的其实际收
益值与最大可能的收益值的差距。方案 ai在状态 θj下的后悔
值，可按下式计算：
(9.4)
? 式中,Q (ai,θj )是在第 j种状态下，正确决策有可能得到的最
大收益,qij是收益矩阵的元素。
? 如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优方案（有可能
带来最大收益的方案），则后悔值为 0；如果实际选择的方
案不如最优方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所
选的方案与最优方案差距越大。显而易见,rij≥0 。
? 最小的最大后悔值准则的数学表达式为：
(9.5)
ijjiiij qaQM a xr ?? ),( ?
? ?ijji rM a xM i na ?*
9-15
【 例 9-3】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试
求出后悔矩阵并根据最小的最大后悔值准则进行决策。
? 解：
(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,故有,
在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有,
在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有,
将其代入 (9.4)式，可求得以下后悔矩阵（参见表 9-3）。
(2)由表 9-3可知：方案一的最大后悔值为 285万元，方案二的
最大后悔值为 250万元，方案三的最大后悔值为 450万元。根
据最小的最大后悔值准则，应选择方案二。
450),( 1 ??ii aQM a x
200),( 2 ??ii aQM a x
0),( 3 ??ii aQM a x
9-16
表 9 - 3 某项投资的后悔矩阵表 单位：万元
状态 需求大 需求中 需求小
方
案
方案一
方案二
方案三
0 2 00 28 5
250 0 85
450 20 0 0
9-17
（四）折衷准则
? 该准则认为，对未来的形势既不应该盲目乐观，也
不应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观
系数 δ（ 0≤δ≤1），以 δ和 1-δ分别作为最大收益值和
最小收益值的权数，计算各方案的期望收益值
E(Q(ai))
(9.6)
? 以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该
准则的数学表达式为：
(9.7)
? ? ? ?ijiijii qM i nqM a xaQE )1())(( ?? ???
))((* i
i
aQEM a xa ?
9-18
【 例 9-4】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率不知，
根据经验判断的乐观系数为 0.6,试根据折衷准则进行
决策。
? 解,将有关数据代入（ 9.6）式，可得：
E(Q(a1)) = 0.6× 450 +(1－ 0.6)(-285)= 156
E(Q(a2)) = 0.6× 200 +(1－ 0.6)(－ 85)= 86
E(Q(a3)) = 0.6× 0 +(1－ 0.6)× 0 = 0
因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值较大，
所以根据折衷原则，应选择方案一。
9-19
（五）等可能性准则
? 该准则认为：既然我们不知道未来各种状态
出现的可能性有多大，那么不妨假定其发生
的概率相等。在此基础上求各方案收益的期
望值，并以期望收益值最大的方案作为所要
选择的方案。该准则的数学表达式为：
a* =Max E(Q(ai)) (9.8)
(i =1,2,---,m) (9.9)?
?
?
n
j
jii qnaQE
1
,
1))((
9-20
【 例 9-5】 假设例 9-1中,有关市场状态的概率
不知，试根据等可能性准则进行决策。
? 解,将有关数据代入（ 9.9）式，可得：
E(Q(a1)) =1/3(450 + 0 - 285)=55
E(Q(a2)) =1/3( 200 + 200 – 85)= 105
E(Q(a3)) =1/3( 0 + 0 + 0)= 0
因为，按 (9.9)式计算的方案二的期望收益值
最大，所以按等可能性准则，应选择方案二。
9-21
二、各种准则的特点和适用场合
? 由于完全不确定型决策问题相当复杂，而决策者掌
握的信息又非常有限，因此，在实际决策时，决策
准则的选择往往取决于决策者的偏好，也就是说对
准则的选择仍带有相当程度的主观随意性。为了提
高决策的科学性，减少盲目性，在选用准则时，应
注意分析各种准则隐含的假定和决策时的各种客观
条件。客观条件越接近于某一准则的隐含假定，则选用该准则进行的决策结果就越正确。
? 最大的最大收益值准则只有在客观情况确实很乐观，
或者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才
采用。
? 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非常没有
把握，或者难以承受决策失误损失的场合。
9-22
? 最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获利
机会，同时又对可能出现的损失有一定承受力的场
合。
? 折衷准则事实上是假定未来可能发生的状态只有两
种：即最理想状态和最不理想状态。前者发生的概
率是，后者发生的概率是 (1-δ)。当 δ =1时，该准则
等价于乐观准则，而当 δ=0时，该准则等价于悲观
准则。实际应用该准则时，应根据风险的大小、对
未来状态的预计以及对决策失误的承受力，调整 δ的
赋值。
? 等可能性准则事实上是假定各种状态出现的概率相
等。该准则只适用于对未来各种状态发生的可能性
完全心中无数的场合。
9-23
第三节 一般风险型决策
? 一、自然状态概率分布的估计
? 二、风险型决策的准则
? 三、利用决策树进行风险型决策
9-24
一、自然状态概率分布的估计
? 一般风险型决策中，所利用的概率包括客观
概率与主观概率。
? 客观概率是一般意义上的概率可来源于频率
估计，通常是由自然状态的历史资料推算或
按照随机实验的结果计算出来的。例如，购
买体育彩票的中奖概率就属于客观概率。
? 主观概率是基于自身的学识、经验做出的对
某一事件发生的可能性的主观判断。
9-25
二、风险型决策的准则
? （一）期望值准则
? 以各方案收益的期望值的大小为依据，来选择合适的方案。
(i =1,2,---,m) (9.10)
? （二）变异系数准则
? 当出现两个方案收益的期望值相差不大的情况时，可以进一
步用变异系数作为选择方案的标准，以变异系数较低的方案
作为所要选择的方案。变异系数准则必须在期望值达到一定
数额的前提下，才能运用，否则可能得出不正确的结论。
? 方差 Var(ai)和变异系数 V的计算公式如下：
(i =1,2,…,m) (9.9)
(i =1,2,…,m) (9.12)
?
?
?
n
j
jjii PqaQE
1
,))((
? ??
?
???
n
j
jijiii paQqaQEaVa r
1
2
,))(E())(()(
))(E(
)(
i
i
i aQ
aV a rV ?
9-26
【 例 9-6】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表的资料，根据期望
值准则和变异系数准则选择最佳的投资方案。
? 解：（ 1）将有关数据代入（ 9.10）式，可得：
E(Q(a1)) = 450× 0.5 + 0× 0.3 － 285× 0.2 = 168
E(Q(a2)) = 200× 0.5 + 200× 0.3 － 85× 0.2 = 143
E(Q(a3)) = 0 × 0.5 + 0× 0.3 + 0× 0.2 = 0
（ 2） E(Q(a3))=0，可以从备选方案中排除。方案一和方案二的
期望值虽有差别，但差别不是很大，所以再计算变异系数，
帮助判断。将有关数据代入（ 9.11）式和（ 9.12）式，可得：
Var(a1) = (450-168)2× 0.5+(0-168)2× 0.3+(-285-168) 2× 0.2=89271
Var(a2) = (200-143)2× 0.5+(200-143)2× 0.3+(-85-143) 2× 0.2=12996
所以，如果单纯根据收益期望值大小为标准，应选择方案一；
如果将收益的期望值和方差结合在一起考虑，选择方案二比
较合适。
778.1168/892711 ??V 7972.0143/129962 ??V
9-27
? （三）最大可能准则
? 该准则主张以最可能状态作为选择方案时考
虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状
态空间中具有最大概率的那一状态。按照最
大可能准则，在最可能状态下，可实现最大
收益值的方案为最佳方案。
? 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，
简化为确定条件下的决策问题。只有当最可
能状态的发生概率明显大于其他状态时，应
用该准则才能取得较好的效果。
9-28
【 例 9-7】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表
的资料，根据最大可能准则选择最佳的投资
方案。
? 解,该例的各种自然状态中，“市场需求大”
的概率最大，因此，该状态为最可能状态。
在市场需求大的状态下，方案一可以获得最
大的收益。所以，根据最大可能准则，应选
择方案一。
9-29
（四）满意准则
? 利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。所谓满
意水平，是指决策者认为比较合理、可以接受的目标值。然
后，将各种方案在不同状态下的收益值与目标值相比较，并
以收益值不低于目标值的累积概率为最大的方案作为所要选
择的方案 a*。该准则的数学表达式如下：
a* = Max P{ Q (ai,θj )≥A } (9.13)
（ i =1,2,…,m ； j=1,2,….n ）
式中,A是给定的满意水平,Q (ai,θj )是 i方案在 j状态下的收
益,P{ Q (ai,θj )≥A }是各方案收益值不低于目标值状态的累
积概率。
? 利用该准则的决策结果，与满意水平的高低有很大关系。满
意水平一旦改变，所选择的方案也将随之改变。
9-30
【 例 9-8】 试利用例 9-1中给出的收益矩阵表的资料，根据满
意准则选择满意的投资方案，假定给出的满意水平有 200万
元和 400万元两种。
? 解,(1) P{ Q (a1,θj )≥200 }= 0.5
P{ Q (a2,θj )≥200 }= 0.5+0.3 = 0.8
P{ Q (a3,θj )≥200 }= 0
在备选方案中，方案二达到满意水平的累积概率最大，所以
选择方案二。
P{ Q (a1,θj )≥400 }= 0.5
P{ Q (a2,θj )≥400 }= 0
P{ Q (a3,θj )≥400 }= 0
在备选方案中，方案一达到满意水平的累积概率最大，所以
选择方案一。
9-31
三、利用决策树进行风险型决策
? 决策树是求解风险型决策问题的重要工具，它是一
种将决策问题模型化的树形图。决策树由决策点、
方案枝、机会点、概率枝和结果点组成。
? 利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向
分析法，即先计算出树形结构的末端的条件结果，
然后由此开始，从后向前逐步分析。
? 与本章第一节介绍过的收益矩阵表相比，决策树的
适应面更广，它并不要求所有的方案具有相同的状
态空间和概率分布。
? 它特别适用于求解复杂的多阶段决策问题。
9-32
【 例 9-9】 某汽车配件厂拟安排明年某零部件的生产。
该厂有两种方案可供选择：方案一是继续利用现有
的设备生产，零部件的单位成本是 0.6万元。方案二
是对现有设备进行更新改造，以提高设备的效率。
更新改造需要投资 100万元（假定其全部摊入明年的
成本），成功的概率是 0.7。如果成功，零部件不含
上述投资费用的单位成本可降至 0.5万元；如果不成
功，则仍用现有设备生产。另据预测，明年该厂某
零部件的市场销售价格为 1万元，其市场需求有两种
可能：一是 2000件，二是 3000件，其概率分别为
0.45和 0.55。试问：（ 1）该厂应采用何种方案？（ 2）
应选择何种批量组织生产？
9-33
? 解：在本例中，首先要解决的问题是对生产方案的选择，但
是对生产方案进行选择需要考察各种方法可能的结果。而这
些结果又依赖于对生产批量的选择。因此，这是一个典型的
两阶段决策问题。求解步骤如下：
（ 1）根据题中给出的条件,画出决策树结构图 (参见图 9-2)。
8 0 0
8 0 0
8 0 0
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
2 00
1 2 0 0
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
75 0
3
生产 3000 件
件
生产 2000 件
件
8 0 0
7 0 0
7 0 0
1 0 0
1 1 0 0
7 00 需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0,55 ）
65 0
5
按方法 I 生产
3 0 0 0 件
按方法 I 生产
2 0 0 0 件
7 0 0
9 0 0
95 0
9 00
9 00
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0, 5 5 ）
4 00
14 00
需求 2000 件（ 0, 4 5 ）
需求 3000 件（ 0,55 ）
4
生产 3000 件
件
生产 2000 件
件
9 5 0
1
8 7 5
成功 (0,7 )
失败 ( 0, 3 )
8 7 5
方案一
方案二
2
6
7
8
9
10
11
图 9 - 2 例 11 - 9 的决策树图
9-34
（ 2）计算决策树最末端的条件收益值。这里采用的计算式如下：
净收益＝可能销售量 × 单价－生产量 × 单位成本－应摊新投资费用
当生产批量大于市场需求量时,可能销售量等于市场需求量。
而当生产批量小于市场需求量时，可能销售量等于生产批量。
另外，当选择方案一组织生产时，应摊新投资费用等于 0，
选择方案二组织生产应摊新投资费用 100万元。例如：右边
第一个结果点的条件收益 =2000-3000× 0.6-0=200
（ 3）利用各条件收益值和相应的概率分布，计算最右端各机会
点的期望收益值。例如：机会点⑥的期望值＝ 200× 0.45＋
1200× 0.55＝ 750
9-35
（ 4）根据期望值准则，选出决策点 3, 4, 5的最佳生产批量，
并将最佳方案的期望收益值填在相应的决策点的上方。同时，
剪除落选的方案枝。例如：在决策点 3选择生产 2000件的方
案，该方案的期望收益值为 800万元。
（ 5）利用决策点 4, 5的结果，计算机会点②的期望收益值。
将其与方案一的期望收益值比较，按照期望值准则选择最佳
方案。
? 从图中可以看出，方案二的期望收益值为 875万元，大于方
案二的期望收益值（ 800万元）。
? 本例决策树分析的结论是：该汽车配件厂应按方案二对设备
进行更新改造，如果能够成功，就采用新生产方法组织生产，
其批量安排为 3000；如果失败，则仍采用原生产方法组织生
产，其批量安排为 2000。
9-36
第四节 贝叶斯决策
? 一、什么是贝叶斯决策
? 二、贝叶斯公式与后验概率的估计
? 三、先验分析与后验分析
? 四、后验预分析
9-37
一、什么是贝叶斯决策
? 利用补充信息修订的概率称为后验概率。所
谓贝叶斯决策，就是利用补充信息，根据概
率计算中的贝叶斯公式来估计后验概率，并
在此基础上对备选方案进行评价和选择的一
种决策方法。
9-38
二、贝叶斯公式与后验概率的估计
? 设某种状态 θj的先验概率为 P(θj)，通过调查
获得的补充信息为 ek,θj 给定时,ek的条件概
率（似然度）为，则在给定信息 ek的条件下,
可用以下贝叶斯公式计算 θj的条件概率即后验
概率：
(9.14)
? 上式的分母是 ek出现的概率 P(ek)。
?
?
?
?
?
n
j
jkj
jkj
kj
ePP
ePP
eP
1
)/()(
)/()(
)/(
??
??
?
9-39
【 例 9-10】 某空调机生产厂家拟向另一电子元件厂购买某种
电子元器件，根据过去的经验,该电子元件厂产品发生不同次
品率的概率分布如表 9-5第二栏所示。但据说，该厂的产品质
量最近有所提高。现从市场上该电子元件厂出售的该种元器
件中，随机抽取了 10件，结果未发现次品。试计算出现这种
结果的概率，并根据这一信息，对以往元器件厂次品率的概
率分布进行修正。
? 解：以往的概率分布可视为先验概率。在本例中，各种不同
次品率给定条件下，抽查 10件发生 0件次品 (发生 0件为 )的概
率近似地服从于二项分布，其似然度可按以下方式计算：
(j=1,2,3,4) (9.15)
例如，
1000100 )1()/( jjj CeP ??? ?＝
5 9 9.0)95.0()05.0()/( 10001010 ?CeP ＝?
9-40
? 在 Excel 中，利用 BINOMDIST函数可以方便地计算二项分布
的概率。表 9-5的第 3栏，给出了按照上式计算的结果。
表 9 - 5 后验概率的计算
次品率
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
0 j
eP ?
)/()(
0 jj
ePP ?? ?
后验概率
)/(
0
eP
j
?
0.05 0.1 0.599 0.0599 0.207
0.10 0.4 0.349 0.1396 0.483
0.15 0.4 0.197 0.0788 0.273
0.20 0.1 0.107 0.0107 0.037
1.0 0.2889 1.000
9-41
? 将先验概率与似然度代入（ 9.14）式，可求得不同状态下的
后验概率,结果如表 9-5中最后一栏（第 5栏）所示。例如，次
品率为 0.05状态的后验概率为：
? 而随机抽取 10件不出现次品的概率为：
? 从表中结果可以看出：由于实际抽查的次品率为 0,因此，次
品率为 0.05这种状态的后验概率大于先验概率，而次品率为
0.15和 0.20这两种状态的后验概率小于先验概率。
207.02 8 8 9.0/599.01.0)/( 01 ??＝eP ?
2 89 9.0
)0 10 7.00 78 8.01 35 9.00 59 9.0(
)/()()(
1
00
?
????
?? ?
?
n
j
jj ePPeP ??
9-42
三、先验分析与后验分析
? 先验分析是利用先验概率进行决策，而后验
分析则是利用后验概率作为选择与判断合适
方案的依据。一般来说，只要补充信息是准
确的，则后验分析的结论更为可靠。
9-43
【 例 9-11】 设在例 9-10中，对于是否向电子原件厂购买电子
元器件，空调机厂有两种可供选择的方案即：方案一购买；
方案二不购买。假设其收益矩阵表如 9-6所示。试根据期望值
准则，进行先验分析和后验分析。
表 9 - 6 收益矩阵表
状态：次品率 0.05 0.10 0.1 5 0,20
先验概率 0.1 0.4 0.4 0,1
后验概率 0.207 0,483 0.273 0.0 37
方
案
购买 a 1
不买 a 2
200 50 － 100 － 3 00
0 0 0 0
9-44
? 解,(1)先验分析
E(Q(a1))＝ 200× 0.1+50× 0.4－ 100× 0.4－ 300× 0.1＝ -30
E(Q(a2))＝ 0
根据先验概率和期望值准则，应选择方案二。
(2)后验分析
E(Q(a1))＝ 200× 0.207 +50× 0.483－ 100× 0.273－ 300× 0.037
＝ 27.15
E(Q(a2))＝ 0
根据后验概率和期望值准则，应选择方案一。
9-45
四、后验预分析
? 在正式进行补充信息的调查之前，还需要将
先验分析最佳方案的期望收益与各种可能的
后验分析最佳方案的期望收益加以比较，了
解收集补充信息所需的费用和可能带来的收
益，对是否值得进一步收集补充信息的问题
做出判断，并选择最佳的收集补充信息的方
案。这一环节被称为后验预分析。
9-46
? 【 例 9-12】 某水利工程公司拟对大江截流的施工工期做出决
策。可供选择的方案有两种：一是在 9月份施工；二是在 10
月份施工。假定其他条件都具备，影响截流的唯一因素是天
气与水文状况。 10月份的天气与水文状况肯定可以保证截流
成功。而 9月份的天气水文状况有两种可能。如果天气好，
上游没有洪水,9月底前截流成功，可使整个工程的工期提
前，从而能比 10月施工增加利润 1000万元；如果天气坏，上
游出现洪水，截流失败，则比 10月施工增加 500万元的损失。
根据以往经验,9月份天气好的可能性是 0.6,天气坏的可能性
是 0.4。为了帮助决策，公司拟请某气象站对气象作更进一步
的预测与分析。过去的资料表明，该气象站预报好天气的准
确率是 0.9,预报坏天气的准确率是 0.7。试通过后验预分析，
判断水利工程公司是否应购买气象情报？该项气象情报的平
均价值是多少？是否应在 9月份施工？为该公司选择合适的
行动方案。
9-47
? 解：（ 1）先验分析
根据题意可列出该问题的收益矩阵表：
E(Q(a1))＝ 1000× 0.6－ 500× 0.4＝ 400万元； E(Q(a2))＝ 0
根据期望值准则，应选择方案一即在 9 月份施工。
表 9 - 7 收益矩阵表
j
?,天气状况 天气好 天气坏
先验概率 P(
j
? ) 0,6 0.4
方
案
9 月施工 a 1
10 月施工 a 2
1000 － 5 00
0 0
9-48
（ 2）后验概率估计
? 设气象站发出的预报为，其结果无非是以下两种：天气好，
天气坏。则预报的准确率就是似然度。按照前面介绍过的估
计后验概率的方法，可分别列出两种预报结果的后验概率计
算表。
表 9 - 8 气象站发出天气好预报的后验概率的计算
天气状况
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
j
eP ?
1
)/()(
jj
ePP ??
1
?
后验概率
)/(
1
eP
j
?
天气好 θ 1 0.6 0.9 0.54 0, 818
天气坏 θ 2 0.4 0.3 0.12 0, 182
1.0 0.66
9-49
? 由表中还可知：气象站发出天气好预报的概率 Ｐ （ e1）是
0.66，气象站发出天气坏预报的概率 Ｐ （ e2 ）是 0.34。
表 9 - 9 气象站发出天气坏预报的后验概率的计算
天气状况
θ j
先验概率
P ( θ j )
似然度
)/(
j
eP ?
2
)/()(
jj
ePP ??
2
?
后验概率
)/(
2
eP
j
?
天气好 θ 1 0.6 0.1 0.06 0.1765
天气坏 θ 2 0.4 0.7 0.28 0.8235
1.0 0.34
9-50
（３）后验分析
? ①当气象站发出天气好的预报时，应利用后验概率
计算期望收益：
E(Q(a1))＝ (1000× 0.818－ 500× 0.182)＝ 727
E(Q(a2))＝ (0× 0.818＋ 0× 0.182)＝ 0
? 因此，该场合根据期望值准则应选择方案一。
? ②当气象站发出天气坏的预报时，应利用后验概率
计算期望收益：
E(Q(a1)) ＝ 1000× 0.1765－ 500× 0.8235＝ -235.25
E(Q(a2)) ＝ 0× 0.818＋ 0× 0.182＝ 0
? 因此，该场合根据期望值准则应选择方案二。
9-51
（ 3）后验预分析
? 为了帮助决策，我们利用以上分析的结果，画出本例的决策
树图（参见图 9-3）。
图 9 - 3 例 9 - 12 的决策树图
0
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0,6 ）
天气坏（ 0,4 ）
3
9 月施工
10 月施工
4 00
5
0
0
7 2 7
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0, 8 1 8 ）
天气坏（ 0,1 8 2 ）
4
9 月施工
件
10 月施工
件
7 2 7
1
4 7 9, 8 2
预报天气好
(0, 66 )
预报天气坏
（ 0,34 ）
4 7 9, 8 2
不买情报
购买情报 2
6
8
- 2 3 5, 2 5
1 0 0 0
- 500
天气好（ 0, 1 7 6 5 ）
天气坏（ 0,8 2 3 5 ）
9 月施工
件
8
10 月施工
件
0
4 0 0
9-52
? 由决策树分析可知，该水利工程公司应购买
气象情报，以便更准确地把握气象水文状况。
如果气象预报天气好，应在 9月份施工，如果
气象预报天气坏，则应在 10月份施工。从获
得的利润期望值看,这一方案比根据先验分析
直接选定的方案高出 79.82万元 (479.82-400),这
一数值实际上就是购买气象情报价值的上限。
只要该项情报要价低于 79.82万元，平均来看
就是有利的。
