第 1 章
质点运动学
第 1 章 质点运动学
?力学研究对象
?运动学研究对象
?质点和参考系
?描述质点运动的 物理量
?质点的运动
?相对运动
力学研究对象
1.力学研究对象
?力学 一般指牛顿力学或经典力学 。 它是以牛
顿运动定律为基础, 研究物体 机械运动 的规
律及其应用的一门学科 。
?力学讨论的许多基本原理, 是物质运动普遍
遵从的规律 。 因而, 力学是许多学科的基础 。
力学研究对象
2,机械运动
?机械运动 是物体之间的相对位置随时间的变
化过程 。
?在所有的物质运动中, 机械运动是最简单,
但又是最基本的一种运动 。 几乎在物质的所
有运动中都包含了这种运动形式 。
?常用 位移, 速度, 加速度 等物理量描述机械
运动 。
运动学研究对象
?运动学 是用位移, 速度, 加速度等物理量描
述物体的机械运动, 研究物体位置随时间的
变化或运动的轨迹问题, 而不涉及物体发生
机械运动原因的学科 。
质点和参考系
?参考系
?运动的相对 -绝对性
?坐标系
?质点
参考系
?讨论物体的机械运动必须选定另一个物体作
标准, 被选为标准的物体称为 参考系 或 参照
系 。
?地面参考系
?实验室参考系
?被选作参考系的物体, 可认为是, 静止, 的 。
参考系
?对地球参考系来说, 火车在奔驰 。
?从太阳系来看, 地球正以 30km/s 的平均速
率绕太阳旋转 。
?从银河系中心来看, 太阳则以 250km/s 的速
率绕银河系中心运动着 。
?由此可见, 选作参考系的物体相对另一个参
考系来说, 又都处于不停的运动之中 。
参考系
?同一物体的同一运动, 对于不同的参考系,
有不同的运动表现形式 。
参考系
?物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
车作匀速运动
v
参考系
?车上的人观察到石子作直线运动
v v
参考系
?地面上的人观察到石子作抛物线运动
v v
运动的相对 -绝对性
?对同一物体运动状态的描述, 因所选参考系
的不同而不同, 所以物质的运动是 相对 的 。
?但在自然界中, 无论是从机械运动看, 还是
从其他更高级的运动形式看, 一切物质都处
于永恒不息的运动之中, 运动和物质是不可
分割的, 运动是物质的存在形式, 所以物质
的运动又是 绝对 的, 而物质的静止则是相对
的 。
坐标系
?为了定量描述物体相对于参考系的运动, 需
要在参考系上建立适当的坐标系 。 坐标系 的
原点可取在参考系的一个固定点 。
?常用的坐标系有：
?直角坐标系
?平面极坐标系
?自然坐标系
?球面坐标系
?圆柱面坐标系
质点
?当物体的形状, 大小与所研究的问题无关,
或者对运动的影响很小, 可忽略不计时, 可
以把它看成一个点, 并认为整个物体的质量
和某些物理属性都集中在这个点上 。 这样抽
象化了的模型就称为 质点 。
质点
?一个物体是否能当作质点看待，是由所研究
问题的具体性质来决定的。
?举例,地球绕太阳运动时，地球半径
Re≈6.37× 106m
比地球公转半径
R≈ 1.50× 1011m
小得多，所以可不考虑地球的大小和自转，
而把它当作一个点。
质点
?质点运动是研究物体运动的基础 。
?当一物体的线度与它的运动范围相比不算很
小而不能看成一个质点时, 常把整个物体看
作是无数个质点组成的质点系 。 分析这些质
点的运动, 就可能研究整个物体的运动 。
描述质点运动的 物理量
?经典力学时空观
?时刻和时间
?位置矢量
?位移和路程
?速度和速率
?加速度
经典力学时空观
?牛顿认为,时间, 空间 是客观存在的, 但是
是绝对的, 即时间, 空间与 物质 的运动无关
并且彼此独立存在 。
?空间是无限并且均匀延伸的, 空间的直线
永远是直的；
?时间是从古到今到未来单方向均匀连续变
化的 。
?经典时空观 又称为 绝对时空观 。
时刻和时间
?在一定坐标系中考察质点运动时,
?质点的位置与 时刻 相对应的
?质点运动所经过的路程与 时间 相对应的
?时间 Δt 就是两个时刻 t1 与 t2 的间隔,
即,
Δt = t2– t1
当 t1= 0 时, Δt = t2, 所以习惯上把时刻也称
为 时间 。
位置矢量
?质点 P 在坐标系中的位置 可以 用 从坐标原点
O 指向质点的有向线段来 表示 。
?该有向线段 称 为 质点的 位置矢量, 简称 为
位矢 或 矢径 。
O
r?
P
OPr ??
位置矢量
O
r?
P
?位 矢的大小 表明 质点离开坐标原点的距离
?位 矢的方向表明质点
相对坐标原点的方位
OPrr ?? ?
位置矢量
)( trr ?? ?
上式称为质点的 运动 函数, 即质点的 运动学
方程 。
?它不仅给出了质点运动的轨迹
?也给出了质点在任意时刻所处的位置 。
位 矢 一般是时间的函数
位置矢量
?在直角坐标系中
)( txx ?
)( trr ?? ?
kzjyix ??? ???
ktzjtyitx ??? )()()( ???
)( tyy ?
)( tzz ?
y?
O
r?
x?
?
z?
x
?
?
Py
z
O
位移和路程
1.位移
?质点在一段时间内位置的变化叫做它在这
段时间内的 位移 。
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r???B 点位置矢量
)( ttr ???
)(tr?
?A 点位置矢量
?位移
)()( trttrr ??? ?????
位移和路程
?故位移又可定义为从质点运动 起点 到 终点 的
有向线段, 即
)()( trttrr ??? ?????
O
B
A
r??
ABr ???
位移和路程
?位移是矢量,既
有大小又有方向。
?位移的大小记作,即从 A 点到 B 点
的距离。 r
??
注意 B
A
r??
r??
ABr ???
AB?
位移和路程
?位移的大小不能
简单地记作 r?
注意
? )()( trttrr ??? ??
是位矢的大小在时间
内的增量
t?
? 一般地说,
rr ?? ??
)( ttr ??
)(tr r?
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r??
位移和路程
2.路程
?从 A 到 B 质点经过的轨迹的实际长度称为
质点在 Δt 时间内所走过的 路程 ΔS。
O
B
A
ΔS = AB
ΔS
位移和路程
?位移 矢量,
?路径 ΔS 标量 。
r??
位移的大小
ABr ???
AB?
rS ??? ?
? 一般地说,
B
A
ΔS
r??
r??
速度和速率
1.平均速度
?质点在 Δt 时间内的位移为, 则在 Δt 时
间内的平均速度为
r??
t
rv
?
? ?? ?
t
r
v
?
?
?
?
?
?平均速度 方向 为 的方向r??
?平均速度 大小
t
r
?
?
?
?
速度和速率
2.瞬时速度
?Δt ?0 时, B点无限接
近 A 点, 平均速度趋于
质点在 t 时刻的真实速
度 。
?速度 方向 为 A 点的 切线方向
dt
rd
t
rv
t
???
??
? ?
?
?
l i m
0
)(tr?
O
A
v?
dt
rd
v
?
?
?
?速度 大小 为
速度和速率
3.平均速率
?质点在 Δt 时间内路程为 ΔS,则在 Δt 时间内
的平均速率为
t
Sv
?
??
?平均速率是标量
速度和速率
t
Sv
?
??
t
rv
?
? ?? ?
rS ??? ?
vv ??
?
? 一般地说,
即 平均速率 不等于 平均速度的大小 。注意
速度和速率
4.瞬时速率
?当 Δt → 0 时, 瞬时速率 (简称为 速率 )
?即 瞬时速率就是瞬时速度的大小
dt
dS
t
Sv
t
??
? ?
?
?
lim
0
rddS ??
? 一般地说, Δt →0 时
?
dt
dSv ?
dt
rd
?
? v
??
速度和速率
? vv ??
注意
rr ?? ??
dt
rd
?
?
dt
dr?
? 一般地
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r??
)( ttr ??
)(tr r?
速度和速率
5.分速度
?由于
kzjyixr ???? ???
dt
rdv ?? ?
kvjviv zyx ??? ???
dt
dxv
x ? dt
dyv
y ? dt
dzv
z ?
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx ??? ???
?有
速度和速率
kvjvivv zyx ???? ???
222
zyx vvvv ???
?速度单位,sm /
?表 1.1 P.20
?由于
?有
加速度
?质点经过 Δt时间, 从 A 点移动到 B 点,
Bv
?
Ar
? Br?
Av
?
Av
?
Bv
? v??
O
A
B
AB vvv
??? ???
?其速度的变化由矢
量平移不变性可得：
加速度
1.平均加速度
Bv
?
Ar
? Br?
Av
?
O
A
B
t
v
t
vva AB
?
?
?
???
???
Av
?
Bv
? v??
加速度
2.瞬时加速度
?简称为 加速度
dt
vd
t
va
???
??
? ?
?
?
lim
0t
?由于
dt
rdv ?? ?
?故
)(
dt
rd
dt
da ?? ?
2
2
dt
rd
?
?
加速度
dt
vda ?? ?
2
2
dt
xd
dt
dva x
x ??
kvjvivv zyx ???? ???
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv zyx ??? ???
kajaia zyx ??? ???
2
2
dt
zd
dt
dv
a zz ??
2
2
dt
yd
dt
dv
a yy ??
加速度
?由于
?有
222
zyx aaaa ???
?加速度单位,2/ sm
?表 1.2 P.22
kajaiaa zyx ???? ???
?例题 P.22
0v?
例
求：船速靠岸的速率
解：
h
s
l
0
0
22
vl
s
lv
s
hls
??
??
??,
质点的运动
?匀加速直线运动
?抛体运动
?圆周运动
匀加速直线运动
?质点沿直线作加速运动, 则运动方程
xO
0?t
x
t
退化为
)( txx ?
kzjyixr ???? ???
ktzjtyitx ??? )()()( ???
匀加速直线运动
?质点沿直线运动的速度和加速度分别为
dt
dva ?
dt
dxv ?
2
2
dt
xd?
v??
a??
xO
0?t
x
t
匀加速直线运动
?初始条件
dt
dva ? v??
a??
xO
0?t
x
t
0v
??
a d tdv ?
?? ? tvv adtdv 0
0
?a = 常数 时质点作匀加速直线运动
0?t 00 ?x
0vv ?
匀加速直线运动
dt
dxv ?
?? ? tvv adtdv 0
0
??? t dtavv 00 at?
atvv ?? 0
v d tdx ?
?? ? tx v d tdx 00
dtatvx t? ??
0 0
)(
? ??? t t a t d tdtv0 00
2
0 2
1 attv ??
2
0 2
1 attvx ??
匀加速直线运动
atvv ?? 0 2
0 2
1 attvx ??
?在两式中消去 t,得
axvv 2202 ??
问题 初始条件 0?t
00 ?x
时, 以上三个公式如何？
匀加速直线运动
?对自由落体运动
ga y ?
?初始条件
0?t 0
0 ?y 00 ?yv
2
2
1 gty ? gyv 22 ?
tavv yyy ?? 0
gtv ?
?
v?
0?t
y
t
O
y
匀加速直线运动
?例题 1 一质点以 x = 2t3 规律运动, x单位
为 m,t单位为 s。 求,(1)第一秒末到第二秒
末时间内质点的平均速度； (2)第二秒末的
瞬时速及加速度 。
?解
st 1? st 1?? 32)( ttx ?
33 2)(2 ttt ??? ?
322 266 ttttt ??? ???
(1)
)()( txttxx ??? ??
匀加速直线运动
t
xv
?
?? 22 266 tttt ?????
22 1211616 ???????
)/(14 sm?
(2)第二秒末的瞬时速及加速度
dt
dxv ? 26t? 226 ?? )/(24 sm?
st 2?
dt
dva ? t12? 212 ?? )/(24 2sm?
匀加速直线运动
?例题 2 某人身高 h, 站在离地面 H的塔吊
桥下 。 当塔吊以速度 vo 水平方向开走, 灯
从人头顶掠过, 人头顶在地面的影子移动速
度为多大？
O
y
xx x1
h
tH
v0
匀加速直线运动
由相似三角形中的比例关系?解
x
xx
h
H
?
?? 1 ),0( xxx ?????
hH
hxx
?
?? 1
hH
thv
?
?? 0
O
y
xx x1
h
H
v0 t
匀加速直线运动
dt
dxv ?
hH
hv
?
?? 0
?讨论,
(3) 当 h≈ H时,H - h≈0, v ? v0,v 有可能超
过光速。
(1) v 与 t 无关，人影作匀速直线运动。
(2) H-h>0,v 与 v0 方向相反。
?例题 P.28
抛体运动
?如图所示建立坐标系, 则
x
y
O
0xv
0v
?
gaa yx ???,0
0?t 时
?co s00 vv x ?
?s i n00 vv y ?
00 ?x
00 ?y
0yv
抛体运动
?在任意时刻
x
y
O
v
xv
yv
00 x
t
xx vdtav ?? ?
?c o s0v?
00 y
t
yy vdtav ?? ?
?s i n0vgt ???
抛体运动
?物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间
?s i n
2
1
0
2 tvgt ???
00 xdtvx
t
x ?? ?
?c o s0 tv?
00 ydtvy
t
y ?? ?
0s i n21 02 ??? ?tvgt
g
vT ?s i n2 0?
抛体运动
?飞行中的最大高度
g
vY
2
s i n 220 ??
x
y
O
Y?飞行的射程
X
g
vx ?2s i n20? （ 这两个公式学生自已证明 ）
? 时, 射程最大 。045??
抛体运动
?由此可见, 抛体运动可以分解为竖直方向和
水平方向两种运动, 这两种运动各自独立,
互不干扰, 反之也成立, 即一个运动可以看
成几个各自独立进行的运动叠加而成, 这个
结论称为 运动的叠加原理 。
?例题 P.32
例：一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
???
?? ===>
xxy 22 ???
(z=0)
求,x= -4时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
分析,x= -4,t=2
x
y
解：
42 ??? ?tx
dt
dxv | 24
2 ??? ?ty dt
dyv |
37422 ??? yx vvv
44??ya练习
222
2
???? ?txx
dt
xd
dt
dv
a
圆周运动
1.线速度, 角速度, 周期
?质点沿圆周运动时, 其速率通常叫做 线速度 。
x
dt
dsv ?
s
A?
s = AB ?R?
dt
dR ?? ?R?
dt
d?? ??角速度
角速度 单位 ssr a d /1,/ ?周期
?
?2?T
O
R
B
v?
??
圆周运动
2.加速度
dt
vda ?? ?
dt
dv
dt
dv ?? ?? ??
可以证明
nRvdtdv ?
? 2
?? n?
O
B
naa nt ?? ?? ?
?切线加速度
dt
dva
t ? R
va
n
2
?
nRvdtdva ???
2
?? ?
?法向加速度
??? vv ?
圆周运动
?切线加速度
dt
dva
t ? )( ?Rdt
d?
dt
dR ?? ?R?
dt
d?? ?
?角加速度
2
2
dt
d ??)(
dt
d
dt
d ??
?法向加速度
R
va
n
2
? RR
2)( ?
?
2?R?
圆周运动
?总加速度
?大小
naaa nt ??? ?? ?
22
nt aaa ??
?方向
t
n
a
aa r c tg??
??? tt aa ?
naa nn ??
a?
?
注意 总加速度的大小
dt
vdaa ?? ??
dt
dv? ta?
圆周运动
3.角量与线量的关系
dt
d?? ?
dt
rdv ?? ?
dt
vda ?? ?
dt
d?? ?
2
0 2
1 attvv ??
2
0 2
1 tt ??? ??
线量
角量
r
θ
Δr
Δθ
v
ω
a
?
圆周运动
?例题 半径为 1m的轮子以匀角加速度从静止
开始转动, 20s末角速度为 100rad/s。 求：
(1) 角加速度及 20s内转过的角度； (2) 第 20s
末轮边缘上一点的切向和法向加速度 。
?解 t??? ??
0
(1)
t
0??? ??
20
0100 ?? )/(5 2sr a d?
00
2
2
1 ???? ??? tt 2
2
1 t?? 2205
2
1 ??? )(1000 r a d?
圆周运动
?Ra t ?(2) 51?? )/(5 2sm?
2?Ra n ? 21001 ?? )/(0 0 0,10 2sm?
?例题 P.39
相对运动
?在不同参考系中观察同一物体的运动所给出
的运动描述是不同的 。
u
S
y
O
x
S?
y?
x?
t
tt ??
O?
y?
x?
S?
相对运动
?位移关系
u
S
y
O
x
S?
y?
x?
t
tt ??
O?
y?
x?
S? r???
0r??
r??
rrr ??? ??? ??? 0
相对运动
?称为 伽利
略速度变
换
rrr ??? ??? ??? 0
vuv ??? ???
v? 球对地 v? 球对车 v? 车对地? ?
uv ?? ???
0aaa ??? ???
aa ?? ??00 ?a?
时
绝对速度
相对速度
牵连速度
v?
v??
u?
相对运动
注意
?以上结论是在绝对时空观下得出的
?假定了, 长度的测量不依赖于参
考系, （ 空间的绝对性 ）
?假定了, 时间的测量不依赖于参
考系, （ 时间的绝对性 ）
?不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换
关系相混 。
?前者是 在一个参考系中, 是矢量性的表现 。
?后者应用于 两个参考系之间
相对运动
?例题 P.43
质点运动学
第 1 章 质点运动学
?力学研究对象
?运动学研究对象
?质点和参考系
?描述质点运动的 物理量
?质点的运动
?相对运动
力学研究对象
1.力学研究对象
?力学 一般指牛顿力学或经典力学 。 它是以牛
顿运动定律为基础, 研究物体 机械运动 的规
律及其应用的一门学科 。
?力学讨论的许多基本原理, 是物质运动普遍
遵从的规律 。 因而, 力学是许多学科的基础 。
力学研究对象
2,机械运动
?机械运动 是物体之间的相对位置随时间的变
化过程 。
?在所有的物质运动中, 机械运动是最简单,
但又是最基本的一种运动 。 几乎在物质的所
有运动中都包含了这种运动形式 。
?常用 位移, 速度, 加速度 等物理量描述机械
运动 。
运动学研究对象
?运动学 是用位移, 速度, 加速度等物理量描
述物体的机械运动, 研究物体位置随时间的
变化或运动的轨迹问题, 而不涉及物体发生
机械运动原因的学科 。
质点和参考系
?参考系
?运动的相对 -绝对性
?坐标系
?质点
参考系
?讨论物体的机械运动必须选定另一个物体作
标准, 被选为标准的物体称为 参考系 或 参照
系 。
?地面参考系
?实验室参考系
?被选作参考系的物体, 可认为是, 静止, 的 。
参考系
?对地球参考系来说, 火车在奔驰 。
?从太阳系来看, 地球正以 30km/s 的平均速
率绕太阳旋转 。
?从银河系中心来看, 太阳则以 250km/s 的速
率绕银河系中心运动着 。
?由此可见, 选作参考系的物体相对另一个参
考系来说, 又都处于不停的运动之中 。
参考系
?同一物体的同一运动, 对于不同的参考系,
有不同的运动表现形式 。
参考系
?物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
车作匀速运动
v
参考系
?车上的人观察到石子作直线运动
v v
参考系
?地面上的人观察到石子作抛物线运动
v v
运动的相对 -绝对性
?对同一物体运动状态的描述, 因所选参考系
的不同而不同, 所以物质的运动是 相对 的 。
?但在自然界中, 无论是从机械运动看, 还是
从其他更高级的运动形式看, 一切物质都处
于永恒不息的运动之中, 运动和物质是不可
分割的, 运动是物质的存在形式, 所以物质
的运动又是 绝对 的, 而物质的静止则是相对
的 。
坐标系
?为了定量描述物体相对于参考系的运动, 需
要在参考系上建立适当的坐标系 。 坐标系 的
原点可取在参考系的一个固定点 。
?常用的坐标系有：
?直角坐标系
?平面极坐标系
?自然坐标系
?球面坐标系
?圆柱面坐标系
质点
?当物体的形状, 大小与所研究的问题无关,
或者对运动的影响很小, 可忽略不计时, 可
以把它看成一个点, 并认为整个物体的质量
和某些物理属性都集中在这个点上 。 这样抽
象化了的模型就称为 质点 。
质点
?一个物体是否能当作质点看待，是由所研究
问题的具体性质来决定的。
?举例,地球绕太阳运动时，地球半径
Re≈6.37× 106m
比地球公转半径
R≈ 1.50× 1011m
小得多，所以可不考虑地球的大小和自转，
而把它当作一个点。
质点
?质点运动是研究物体运动的基础 。
?当一物体的线度与它的运动范围相比不算很
小而不能看成一个质点时, 常把整个物体看
作是无数个质点组成的质点系 。 分析这些质
点的运动, 就可能研究整个物体的运动 。
描述质点运动的 物理量
?经典力学时空观
?时刻和时间
?位置矢量
?位移和路程
?速度和速率
?加速度
经典力学时空观
?牛顿认为,时间, 空间 是客观存在的, 但是
是绝对的, 即时间, 空间与 物质 的运动无关
并且彼此独立存在 。
?空间是无限并且均匀延伸的, 空间的直线
永远是直的；
?时间是从古到今到未来单方向均匀连续变
化的 。
?经典时空观 又称为 绝对时空观 。
时刻和时间
?在一定坐标系中考察质点运动时,
?质点的位置与 时刻 相对应的
?质点运动所经过的路程与 时间 相对应的
?时间 Δt 就是两个时刻 t1 与 t2 的间隔,
即,
Δt = t2– t1
当 t1= 0 时, Δt = t2, 所以习惯上把时刻也称
为 时间 。
位置矢量
?质点 P 在坐标系中的位置 可以 用 从坐标原点
O 指向质点的有向线段来 表示 。
?该有向线段 称 为 质点的 位置矢量, 简称 为
位矢 或 矢径 。
O
r?
P
OPr ??
位置矢量
O
r?
P
?位 矢的大小 表明 质点离开坐标原点的距离
?位 矢的方向表明质点
相对坐标原点的方位
OPrr ?? ?
位置矢量
)( trr ?? ?
上式称为质点的 运动 函数, 即质点的 运动学
方程 。
?它不仅给出了质点运动的轨迹
?也给出了质点在任意时刻所处的位置 。
位 矢 一般是时间的函数
位置矢量
?在直角坐标系中
)( txx ?
)( trr ?? ?
kzjyix ??? ???
ktzjtyitx ??? )()()( ???
)( tyy ?
)( tzz ?
y?
O
r?
x?
?
z?
x
?
?
Py
z
O
位移和路程
1.位移
?质点在一段时间内位置的变化叫做它在这
段时间内的 位移 。
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r???B 点位置矢量
)( ttr ???
)(tr?
?A 点位置矢量
?位移
)()( trttrr ??? ?????
位移和路程
?故位移又可定义为从质点运动 起点 到 终点 的
有向线段, 即
)()( trttrr ??? ?????
O
B
A
r??
ABr ???
位移和路程
?位移是矢量,既
有大小又有方向。
?位移的大小记作,即从 A 点到 B 点
的距离。 r
??
注意 B
A
r??
r??
ABr ???
AB?
位移和路程
?位移的大小不能
简单地记作 r?
注意
? )()( trttrr ??? ??
是位矢的大小在时间
内的增量
t?
? 一般地说,
rr ?? ??
)( ttr ??
)(tr r?
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r??
位移和路程
2.路程
?从 A 到 B 质点经过的轨迹的实际长度称为
质点在 Δt 时间内所走过的 路程 ΔS。
O
B
A
ΔS = AB
ΔS
位移和路程
?位移 矢量,
?路径 ΔS 标量 。
r??
位移的大小
ABr ???
AB?
rS ??? ?
? 一般地说,
B
A
ΔS
r??
r??
速度和速率
1.平均速度
?质点在 Δt 时间内的位移为, 则在 Δt 时
间内的平均速度为
r??
t
rv
?
? ?? ?
t
r
v
?
?
?
?
?
?平均速度 方向 为 的方向r??
?平均速度 大小
t
r
?
?
?
?
速度和速率
2.瞬时速度
?Δt ?0 时, B点无限接
近 A 点, 平均速度趋于
质点在 t 时刻的真实速
度 。
?速度 方向 为 A 点的 切线方向
dt
rd
t
rv
t
???
??
? ?
?
?
l i m
0
)(tr?
O
A
v?
dt
rd
v
?
?
?
?速度 大小 为
速度和速率
3.平均速率
?质点在 Δt 时间内路程为 ΔS,则在 Δt 时间内
的平均速率为
t
Sv
?
??
?平均速率是标量
速度和速率
t
Sv
?
??
t
rv
?
? ?? ?
rS ??? ?
vv ??
?
? 一般地说,
即 平均速率 不等于 平均速度的大小 。注意
速度和速率
4.瞬时速率
?当 Δt → 0 时, 瞬时速率 (简称为 速率 )
?即 瞬时速率就是瞬时速度的大小
dt
dS
t
Sv
t
??
? ?
?
?
lim
0
rddS ??
? 一般地说, Δt →0 时
?
dt
dSv ?
dt
rd
?
? v
??
速度和速率
? vv ??
注意
rr ?? ??
dt
rd
?
?
dt
dr?
? 一般地
)( ttr ???
B
)(tr?
A
r??
)( ttr ??
)(tr r?
速度和速率
5.分速度
?由于
kzjyixr ???? ???
dt
rdv ?? ?
kvjviv zyx ??? ???
dt
dxv
x ? dt
dyv
y ? dt
dzv
z ?
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx ??? ???
?有
速度和速率
kvjvivv zyx ???? ???
222
zyx vvvv ???
?速度单位,sm /
?表 1.1 P.20
?由于
?有
加速度
?质点经过 Δt时间, 从 A 点移动到 B 点,
Bv
?
Ar
? Br?
Av
?
Av
?
Bv
? v??
O
A
B
AB vvv
??? ???
?其速度的变化由矢
量平移不变性可得：
加速度
1.平均加速度
Bv
?
Ar
? Br?
Av
?
O
A
B
t
v
t
vva AB
?
?
?
???
???
Av
?
Bv
? v??
加速度
2.瞬时加速度
?简称为 加速度
dt
vd
t
va
???
??
? ?
?
?
lim
0t
?由于
dt
rdv ?? ?
?故
)(
dt
rd
dt
da ?? ?
2
2
dt
rd
?
?
加速度
dt
vda ?? ?
2
2
dt
xd
dt
dva x
x ??
kvjvivv zyx ???? ???
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv zyx ??? ???
kajaia zyx ??? ???
2
2
dt
zd
dt
dv
a zz ??
2
2
dt
yd
dt
dv
a yy ??
加速度
?由于
?有
222
zyx aaaa ???
?加速度单位,2/ sm
?表 1.2 P.22
kajaiaa zyx ???? ???
?例题 P.22
0v?
例
求：船速靠岸的速率
解：
h
s
l
0
0
22
vl
s
lv
s
hls
??
??
??,
质点的运动
?匀加速直线运动
?抛体运动
?圆周运动
匀加速直线运动
?质点沿直线作加速运动, 则运动方程
xO
0?t
x
t
退化为
)( txx ?
kzjyixr ???? ???
ktzjtyitx ??? )()()( ???
匀加速直线运动
?质点沿直线运动的速度和加速度分别为
dt
dva ?
dt
dxv ?
2
2
dt
xd?
v??
a??
xO
0?t
x
t
匀加速直线运动
?初始条件
dt
dva ? v??
a??
xO
0?t
x
t
0v
??
a d tdv ?
?? ? tvv adtdv 0
0
?a = 常数 时质点作匀加速直线运动
0?t 00 ?x
0vv ?
匀加速直线运动
dt
dxv ?
?? ? tvv adtdv 0
0
??? t dtavv 00 at?
atvv ?? 0
v d tdx ?
?? ? tx v d tdx 00
dtatvx t? ??
0 0
)(
? ??? t t a t d tdtv0 00
2
0 2
1 attv ??
2
0 2
1 attvx ??
匀加速直线运动
atvv ?? 0 2
0 2
1 attvx ??
?在两式中消去 t,得
axvv 2202 ??
问题 初始条件 0?t
00 ?x
时, 以上三个公式如何？
匀加速直线运动
?对自由落体运动
ga y ?
?初始条件
0?t 0
0 ?y 00 ?yv
2
2
1 gty ? gyv 22 ?
tavv yyy ?? 0
gtv ?
?
v?
0?t
y
t
O
y
匀加速直线运动
?例题 1 一质点以 x = 2t3 规律运动, x单位
为 m,t单位为 s。 求,(1)第一秒末到第二秒
末时间内质点的平均速度； (2)第二秒末的
瞬时速及加速度 。
?解
st 1? st 1?? 32)( ttx ?
33 2)(2 ttt ??? ?
322 266 ttttt ??? ???
(1)
)()( txttxx ??? ??
匀加速直线运动
t
xv
?
?? 22 266 tttt ?????
22 1211616 ???????
)/(14 sm?
(2)第二秒末的瞬时速及加速度
dt
dxv ? 26t? 226 ?? )/(24 sm?
st 2?
dt
dva ? t12? 212 ?? )/(24 2sm?
匀加速直线运动
?例题 2 某人身高 h, 站在离地面 H的塔吊
桥下 。 当塔吊以速度 vo 水平方向开走, 灯
从人头顶掠过, 人头顶在地面的影子移动速
度为多大？
O
y
xx x1
h
tH
v0
匀加速直线运动
由相似三角形中的比例关系?解
x
xx
h
H
?
?? 1 ),0( xxx ?????
hH
hxx
?
?? 1
hH
thv
?
?? 0
O
y
xx x1
h
H
v0 t
匀加速直线运动
dt
dxv ?
hH
hv
?
?? 0
?讨论,
(3) 当 h≈ H时,H - h≈0, v ? v0,v 有可能超
过光速。
(1) v 与 t 无关，人影作匀速直线运动。
(2) H-h>0,v 与 v0 方向相反。
?例题 P.28
抛体运动
?如图所示建立坐标系, 则
x
y
O
0xv
0v
?
gaa yx ???,0
0?t 时
?co s00 vv x ?
?s i n00 vv y ?
00 ?x
00 ?y
0yv
抛体运动
?在任意时刻
x
y
O
v
xv
yv
00 x
t
xx vdtav ?? ?
?c o s0v?
00 y
t
yy vdtav ?? ?
?s i n0vgt ???
抛体运动
?物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间
?s i n
2
1
0
2 tvgt ???
00 xdtvx
t
x ?? ?
?c o s0 tv?
00 ydtvy
t
y ?? ?
0s i n21 02 ??? ?tvgt
g
vT ?s i n2 0?
抛体运动
?飞行中的最大高度
g
vY
2
s i n 220 ??
x
y
O
Y?飞行的射程
X
g
vx ?2s i n20? （ 这两个公式学生自已证明 ）
? 时, 射程最大 。045??
抛体运动
?由此可见, 抛体运动可以分解为竖直方向和
水平方向两种运动, 这两种运动各自独立,
互不干扰, 反之也成立, 即一个运动可以看
成几个各自独立进行的运动叠加而成, 这个
结论称为 运动的叠加原理 。
?例题 P.32
例：一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
???
?? ===>
xxy 22 ???
(z=0)
求,x= -4时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
分析,x= -4,t=2
x
y
解：
42 ??? ?tx
dt
dxv | 24
2 ??? ?ty dt
dyv |
37422 ??? yx vvv
44??ya练习
222
2
???? ?txx
dt
xd
dt
dv
a
圆周运动
1.线速度, 角速度, 周期
?质点沿圆周运动时, 其速率通常叫做 线速度 。
x
dt
dsv ?
s
A?
s = AB ?R?
dt
dR ?? ?R?
dt
d?? ??角速度
角速度 单位 ssr a d /1,/ ?周期
?
?2?T
O
R
B
v?
??
圆周运动
2.加速度
dt
vda ?? ?
dt
dv
dt
dv ?? ?? ??
可以证明
nRvdtdv ?
? 2
?? n?
O
B
naa nt ?? ?? ?
?切线加速度
dt
dva
t ? R
va
n
2
?
nRvdtdva ???
2
?? ?
?法向加速度
??? vv ?
圆周运动
?切线加速度
dt
dva
t ? )( ?Rdt
d?
dt
dR ?? ?R?
dt
d?? ?
?角加速度
2
2
dt
d ??)(
dt
d
dt
d ??
?法向加速度
R
va
n
2
? RR
2)( ?
?
2?R?
圆周运动
?总加速度
?大小
naaa nt ??? ?? ?
22
nt aaa ??
?方向
t
n
a
aa r c tg??
??? tt aa ?
naa nn ??
a?
?
注意 总加速度的大小
dt
vdaa ?? ??
dt
dv? ta?
圆周运动
3.角量与线量的关系
dt
d?? ?
dt
rdv ?? ?
dt
vda ?? ?
dt
d?? ?
2
0 2
1 attvv ??
2
0 2
1 tt ??? ??
线量
角量
r
θ
Δr
Δθ
v
ω
a
?
圆周运动
?例题 半径为 1m的轮子以匀角加速度从静止
开始转动, 20s末角速度为 100rad/s。 求：
(1) 角加速度及 20s内转过的角度； (2) 第 20s
末轮边缘上一点的切向和法向加速度 。
?解 t??? ??
0
(1)
t
0??? ??
20
0100 ?? )/(5 2sr a d?
00
2
2
1 ???? ??? tt 2
2
1 t?? 2205
2
1 ??? )(1000 r a d?
圆周运动
?Ra t ?(2) 51?? )/(5 2sm?
2?Ra n ? 21001 ?? )/(0 0 0,10 2sm?
?例题 P.39
相对运动
?在不同参考系中观察同一物体的运动所给出
的运动描述是不同的 。
u
S
y
O
x
S?
y?
x?
t
tt ??
O?
y?
x?
S?
相对运动
?位移关系
u
S
y
O
x
S?
y?
x?
t
tt ??
O?
y?
x?
S? r???
0r??
r??
rrr ??? ??? ??? 0
相对运动
?称为 伽利
略速度变
换
rrr ??? ??? ??? 0
vuv ??? ???
v? 球对地 v? 球对车 v? 车对地? ?
uv ?? ???
0aaa ??? ???
aa ?? ??00 ?a?
时
绝对速度
相对速度
牵连速度
v?
v??
u?
相对运动
注意
?以上结论是在绝对时空观下得出的
?假定了, 长度的测量不依赖于参
考系, （ 空间的绝对性 ）
?假定了, 时间的测量不依赖于参
考系, （ 时间的绝对性 ）
?不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换
关系相混 。
?前者是 在一个参考系中, 是矢量性的表现 。
?后者应用于 两个参考系之间
相对运动
?例题 P.43
