第 4 章
功和能
第 4 章 功和能
?功
?动能和动能定理
?一对力的功
?势能
?机械能守恒定律
?碰撞
功
1.恒力做功
?恒力对物体所作的功等于作用于物体的力
与物体沿力的方向所作位移大小的乘积 。
F?
r?
r?
rFA ??
功
?当力与物体的位移有一恒定夹角时
x
r??
F?
xF
?
rFA x?? rF ??c o s?
?上式可记为
称为 矢量的点乘
rFA ?? ???
功
?功的 单位,牛顿米 （ Nm）, 称为 焦耳 （ J）
?功的量纲, ML2T -2。
?功的非 SI单位：
?尔格 （ erg） 1 erg = 10-7 J
?电子伏特 （ eV ） 1 eV = 1.6?10-19 J
?此外, 在电工学上还常用千瓦小时作单位
（ KWh）,
1KWh = 3.6× 106 J
功
?讨论
?功是标量，但有正负。
?? = ?/2，力与位移方向垂直,cos ? = 0,力
不作功。
?如物体作圆周运动时，向心力不作功；
?人担水走平路时，支撑力不作功。
?? < ?/2,cos ? > 0,力对物体作正功。
?如自由落体，重力作正功。
rFA ?? ??? ?? c o srF?
功
?? > ?/2,cos ? < 0,力对物体作负功，或物
体反抗外力作正功。
?如竖直上抛，重力作负功。
?功是力在空间上的累积效应。
rFA ?? ???
x
r??
F?
xF
?
功
2.变力做功
?力的大小或方向随时间而变化
?在物体运动轨道上任取一位移微元
rdFdA ?? ??
rd?
F?
?A
B
则力作的功微元
物体从 A运动到 B，
变力作的总功为
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功
?在直角坐标系
kFjFiFF zyx ???? ???
kdzjdyidxrd ???? ???
? ?? BA rdFA ??
?? BArr x dxF ?? ?? BABA rr zrr y dzFdyF
功
?当质点同时受到几个力作用时
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i
i
? ?? BA rdFA ??
? ???? BArr rdFF ???? )( 21
? ?? BArr rdF ??1 ??? ??? ? BArr rdF 2
???? 21 AA
?例题 P.179
动能和动能定理
?功的物理意义
?可以通过与功有联系的物理规律揭示出来 。
amF ?? ?
rdFdA ?? ??
dt
drm d v?
vm d v? )
2
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令
2
2
1 mvE
k ?
称为物体的 动能
drFt?
tt maF ?
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dvm?
drdtdvm?
动能和动能定理
?即, 合力对质点所作的功等于质点动能的增
加,称为 动能定理 。
?合力作的功是力在空间的积累效应，与过程
有关，但作功大小却等于力作用始末的质点
动能差，与物体动能变化的过程无关。
?动能 单位,与功相同,千克 米 2/秒 2,称为
焦耳（ J）
?? vv mvdA 0 )21( 2 202 2121 mvmv ?? 0kk EE ??
动能和动能定理
?动能仅仅是能量存在的一种形式, 在物体相
互作用时, 动能往往可以转化成其他形式的
能, 如势能, 热能, 电能等, 物质的运动形
式也随能量的转化而发生变化 。
?动能是表征物体机械运动转化为一定量的其
他运动形式的能力的一种量度 。
?例题 P.183
?表 P.182
动能和动能定理
?质点系的动能定理
?第 i 个 质点同时受到系统外力, 内力的作用
i n t,e x t,iii AAA ??
?对所有质点，将上式两端求和
??
i
iAA
0kiki EE ??
?即：系统的内力可以改变系统的总动能，
?但：不能改变系统的总动量。
?如：地雷爆炸
0i n te x t kk EEAA ???
一对力的功
1.一对力
?分别作用在两个物体上的大小相等, 方向相
反的力, 称之为 一对力 。
?一对力通常是 作用力 与 反作用力, 但也可以
不是 。 另外, 一对力中的两个力也并不要求
必须在同一直线上 。
21 FF
?? ??1F
?
2F
?
一对力的功
2.一对力的功
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?? ??
? ?? BA rdFA 212 ?? ? ?? BA rdF 121 ??
A,初位形,B,末位形
一对力的功
3.说明
?一对力的功与参考系选取无关, 只决定与
两质点的相对路径 。 为方便起见, 计算时
常认为其中一个质点静止, 并以该质点所
在位置为原点, 再计算另一质点受力所做
的功, 这就是一对力的功 。
?比如：物体在地球表面受的重力与地
球受它的引力做功之和为
m g hA ?
一对力的功
?一对滑动摩擦力的功恒小于零 （ 摩擦生热
是一对滑动摩擦力作功的结果 ） 。
?在无相对位移或相对位移与一对力垂直
的情况下, 一对力的功必为零 。
势能
?势能指与相互作用的物体间相对位置有关的
能量 。 因此, 势能只有相对意义上的值 。
势能
?引力势能
?重力势能
?弹性势能
?由势能求保守力
引力势能
?万有引力
rr mmGF ?2 21???
B
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? ?? BArrAB drr mmGA 2 21
AB r
mmG
r
mmG 2121 ??
引力势能
?所做的功与相对移动的路径无关, 而只决
定于相互作用的物体的始末相对位置, 这
样的力称为 保守力 。
?重力, 万有引力, 弹性力和静电力都是保
守力 。
?摩擦力, 空气阻力, 磁场力和爆破力都是
非保守力 。
AB r
mmG
r
mmGA
AB
2121 ??
引力势能
?令
r
mmGE
p
21??
,定义为 引力势能
pApB EE ???
AB r
mmG
r
mmGA
AB
2121 ??
)( pApB EE ??? PE???
?质点作自由落体运动, 万有引力作正功,
引力势能降低 。 根据动能定理, 质点的动
能将增加, 速度增大 。
?万有引力作的功等于 系统势能 的 减少
引力势能
?万有引力是质点与地球组成的系统的内部相
互作用力。由此定义的引力势能是整个系统
的能量，但习惯上称为质点的势能。
?万有引力 所做的功 与质点从 A 到 B 的具体
路径无关，仅与质点 的 始末位置有关。
注意
引力势能
?引力势能曲线
r
mmGE
p
21??
??r 0?
pE
称为 势阱??r 0?
pE
称为 势能零点
?例题 P.193
引力势能
?上式表明：
保守力沿闭
合路径一周
所做的功为
零 。
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B
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重力势能
?质点在地球表面时, 受重力
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h A
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?c o srdmg ?? m g d h??
?? BAhhAB m g d hA )( BA hhmg ??
?令, 定义为 重力势能m g hE
P ?
)( PAPBAB EEA ??? PE???
dh<0
重力势能
?即取高度为零时质点的势能为零 。
m g hE P ? 0?h 0?PE
?上式表明重力对质点作 正功, 系统的重力
势能 降低 。
PAB EA ???
0?ABA 0?PE?
0?ABA 0?PE?
?如果重力作 负功, 即外界反抗重力对系统
作功, 则系统重力势能 增加 。
弹性势能
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0c o sxdkx ?? kxdx?? )
2
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?令
定义为弹簧和质点组成系统的 弹性势能
2
2
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)( PAPBAB EEA ??? PE???
??? BAxxAB kxdA )21( 2
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弹性势能
?弹性势能曲线是一条抛物线
O x
PE
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由势能求保守力
1.由势能求保守力
?万有引力 做 正功, 引力势能 减小
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由势能求保守力
?弹力 做 正功, 弹性势能 减小
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由势能求保守力
?总结
?保守力沿空间某一方向的分量等于与此保守
力相应的势能函数在该方向上的空间变化率
的负值 。
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dEF P
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由势能求保守力
?保守力等于相应的势能函数的 梯度 的负值 。
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?分量式
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由势能求保守力
2.由势能曲线求保守力
?势能曲线上某点斜率
的负值, 就是该点对
应的位置处质点所受
的保守力 。
0rr ? 0?F
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双原子相吸
双原子相斥
PE
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? 双原子分子势
能曲线
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机械能守恒定律
1.功能原理
?质点系的动能定理
0i n te x t kk EEAA ???
c o n si n t,c o n sni n t,i n t AAA ?? ?
)( 0c o n si n t,PP EEA ???
00c o n sni n t,e x t )( kkPP EEEEAA ????? ?
)()( 00co n sni n t,ex t PkPk EEEEAA ????? ?
称为系统的 机械能
Pk EEE ??
?令
机械能守恒定律
?上式表明：质点系机械能的增量等于系统外
力和系统内部非保守力所作功的代数和, 称
为系统的 功能原理 。
0co n sni n t,ex t EEAA ??? ?
机械能守恒定律
?, 系统内部非保守力作负功,系
统机械能减少, 即被消耗, 这样的非保守力
又称为 耗散力 。
0c o n sni n t,??A
?如摩擦力作为系统内力时, 一对摩擦力作
功之和总是负值 。
讨论
,系统内部非保守力作正功, 系
统机械能增加, 如炸弹爆炸, 人在船上行走等
。
0c o n sni n t,??A
机械能守恒定律
?但是, 单独一个摩擦力有可能作正功 。
?力 F 拉着物体 B 带动 A 一起运动, A,B
间摩擦力 f 对 A 来说方向向前, 作正功
。
A
B
f
F
机械能守恒定律
2.机械能守恒定律
?功能原理
0co n sni n t,ex t EEAA ??? ?
当 只有保守内力做功时
0ext ?A 0c o n sni n t,??A
?? 0EE 常量
称为 机械能守恒定律 。
???? 00 PkPk EEEE
常量
机械能守恒定律
?即：在外力和非保守内力都不作功或所作功
的代数和为零的情况下, 系统内所有质点的
动能和势能的总和, 即 系统的机械能保持恒
定 。
?注意,系统的机械能守恒, 并不意味着每个
质点的动能或势能保持不变 。 实际上, 质点
系中单个质点的动能和势能之间, 质点间的
动能, 势能及其动能和势能之间都是可以相
互转化的 。
机械能守恒定律
?大量事实表明, 在系统的机械能减小或增加
的同时, 在系统外面, 必然有等值的其他形
式的能量增加或减少, 如热能, 电能, 核能
等, 而系统的机械能和系统外其他形式能量
的总和是恒定不变的 。 即,能量不会消失,
也不会产生, 只能从一种形式转化为另一种
形式 。 这就是 能量转化和守恒定律, 简称能
量守恒定律 。 违背能量守恒定律的, 永动机,
称为, 第一类永动机, 。
机械能守恒定律
?例题 P.203
?表 P.202
机械能守恒定律
3.守恒定律的意义
?自然界中许多物理量, 如动量, 角动量, 机
械能, 电荷, 质量, 宇称, 粒子反应中的重
子数, 轻子数等等, 都具有相应的守恒定律 。
?物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究,
这是因为：
?从 方法论 上看,利用守恒定律可避开过程细
节而对系统始, 末态下结论 （ 特点, 优点 ） 。
机械能守恒定律
?从 适用性 来看,守恒定律适用范围广, 宏观,
微观, 高速, 低速均适用 。
?从 认识世界 来看,守恒定律是认识世界的很
有力的武器 。 在新现象研究中, 当发现某个
守恒定律不成立时, 往往作以下考虑：
?寻找被忽略的因素, 从而恢复守恒定律
的应用 。 如中微子的发现 。
?引 入 新 概 念, 使 守 恒 定 律 更 普 遍 化
（, 补救, ） 。
机械能守恒定律
?无法, 补救, 时, 宣布该守恒定律失效 。
如, 弱相互作用 宇称 （ parity） 不守恒 。
?不论哪种情况, 都是对自然界的认识上了新
台阶 。 因此, 守恒定律的发现, 推广, 甚至
否定, 都能对人类认识自然起到巨大的推动
作用 。
机械能守恒定律
?从 本质 上看：守恒定律揭示了自然界普遍的
属性 ─ 对称性 。
?对称性 ─ 在某种, 变换, 下的不变性 。
?每一个守恒定律都相应于一种对称性 （ 变换
不变性 ）,
?动量守恒 相应于 空间平移的对称性 ；
?能量守恒 相应于 时间平移的对称性 ；
?角动量守恒 相应于 空间转动的对称性 。
?……
碰撞
?例题 P.213
功和能
第 4 章 功和能
?功
?动能和动能定理
?一对力的功
?势能
?机械能守恒定律
?碰撞
功
1.恒力做功
?恒力对物体所作的功等于作用于物体的力
与物体沿力的方向所作位移大小的乘积 。
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功
?当力与物体的位移有一恒定夹角时
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?上式可记为
称为 矢量的点乘
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功
?功的 单位,牛顿米 （ Nm）, 称为 焦耳 （ J）
?功的量纲, ML2T -2。
?功的非 SI单位：
?尔格 （ erg） 1 erg = 10-7 J
?电子伏特 （ eV ） 1 eV = 1.6?10-19 J
?此外, 在电工学上还常用千瓦小时作单位
（ KWh）,
1KWh = 3.6× 106 J
功
?讨论
?功是标量，但有正负。
?? = ?/2，力与位移方向垂直,cos ? = 0,力
不作功。
?如物体作圆周运动时，向心力不作功；
?人担水走平路时，支撑力不作功。
?? < ?/2,cos ? > 0,力对物体作正功。
?如自由落体，重力作正功。
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功
?? > ?/2,cos ? < 0,力对物体作负功，或物
体反抗外力作正功。
?如竖直上抛，重力作负功。
?功是力在空间上的累积效应。
rFA ?? ???
x
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?
功
2.变力做功
?力的大小或方向随时间而变化
?在物体运动轨道上任取一位移微元
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?A
B
则力作的功微元
物体从 A运动到 B，
变力作的总功为
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功
?在直角坐标系
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? ?? BA rdFA ??
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功
?当质点同时受到几个力作用时
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? ?? BArr rdF ??1 ??? ??? ? BArr rdF 2
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?例题 P.179
动能和动能定理
?功的物理意义
?可以通过与功有联系的物理规律揭示出来 。
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令
2
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称为物体的 动能
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动能和动能定理
?即, 合力对质点所作的功等于质点动能的增
加,称为 动能定理 。
?合力作的功是力在空间的积累效应，与过程
有关，但作功大小却等于力作用始末的质点
动能差，与物体动能变化的过程无关。
?动能 单位,与功相同,千克 米 2/秒 2,称为
焦耳（ J）
?? vv mvdA 0 )21( 2 202 2121 mvmv ?? 0kk EE ??
动能和动能定理
?动能仅仅是能量存在的一种形式, 在物体相
互作用时, 动能往往可以转化成其他形式的
能, 如势能, 热能, 电能等, 物质的运动形
式也随能量的转化而发生变化 。
?动能是表征物体机械运动转化为一定量的其
他运动形式的能力的一种量度 。
?例题 P.183
?表 P.182
动能和动能定理
?质点系的动能定理
?第 i 个 质点同时受到系统外力, 内力的作用
i n t,e x t,iii AAA ??
?对所有质点，将上式两端求和
??
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?即：系统的内力可以改变系统的总动能，
?但：不能改变系统的总动量。
?如：地雷爆炸
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一对力的功
1.一对力
?分别作用在两个物体上的大小相等, 方向相
反的力, 称之为 一对力 。
?一对力通常是 作用力 与 反作用力, 但也可以
不是 。 另外, 一对力中的两个力也并不要求
必须在同一直线上 。
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一对力的功
2.一对力的功
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A,初位形,B,末位形
一对力的功
3.说明
?一对力的功与参考系选取无关, 只决定与
两质点的相对路径 。 为方便起见, 计算时
常认为其中一个质点静止, 并以该质点所
在位置为原点, 再计算另一质点受力所做
的功, 这就是一对力的功 。
?比如：物体在地球表面受的重力与地
球受它的引力做功之和为
m g hA ?
一对力的功
?一对滑动摩擦力的功恒小于零 （ 摩擦生热
是一对滑动摩擦力作功的结果 ） 。
?在无相对位移或相对位移与一对力垂直
的情况下, 一对力的功必为零 。
势能
?势能指与相互作用的物体间相对位置有关的
能量 。 因此, 势能只有相对意义上的值 。
势能
?引力势能
?重力势能
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引力势能
?所做的功与相对移动的路径无关, 而只决
定于相互作用的物体的始末相对位置, 这
样的力称为 保守力 。
?重力, 万有引力, 弹性力和静电力都是保
守力 。
?摩擦力, 空气阻力, 磁场力和爆破力都是
非保守力 。
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?质点作自由落体运动, 万有引力作正功,
引力势能降低 。 根据动能定理, 质点的动
能将增加, 速度增大 。
?万有引力作的功等于 系统势能 的 减少
引力势能
?万有引力是质点与地球组成的系统的内部相
互作用力。由此定义的引力势能是整个系统
的能量，但习惯上称为质点的势能。
?万有引力 所做的功 与质点从 A 到 B 的具体
路径无关，仅与质点 的 始末位置有关。
注意
引力势能
?引力势能曲线
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称为 势阱??r 0?
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称为 势能零点
?例题 P.193
引力势能
?上式表明：
保守力沿闭
合路径一周
所做的功为
零 。
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重力势能
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?令, 定义为 重力势能m g hE
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重力势能
?即取高度为零时质点的势能为零 。
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?上式表明重力对质点作 正功, 系统的重力
势能 降低 。
PAB EA ???
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0?ABA 0?PE?
?如果重力作 负功, 即外界反抗重力对系统
作功, 则系统重力势能 增加 。
弹性势能
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定义为弹簧和质点组成系统的 弹性势能
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弹性势能
?弹性势能曲线是一条抛物线
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由势能求保守力
1.由势能求保守力
?万有引力 做 正功, 引力势能 减小
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由势能求保守力
?弹力 做 正功, 弹性势能 减小
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由势能求保守力
?总结
?保守力沿空间某一方向的分量等于与此保守
力相应的势能函数在该方向上的空间变化率
的负值 。
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由势能求保守力
?保守力等于相应的势能函数的 梯度 的负值 。
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?分量式
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由势能求保守力
2.由势能曲线求保守力
?势能曲线上某点斜率
的负值, 就是该点对
应的位置处质点所受
的保守力 。
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双原子相吸
双原子相斥
PE
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0r
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? 双原子分子势
能曲线
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机械能守恒定律
1.功能原理
?质点系的动能定理
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c o n si n t,c o n sni n t,i n t AAA ?? ?
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称为系统的 机械能
Pk EEE ??
?令
机械能守恒定律
?上式表明：质点系机械能的增量等于系统外
力和系统内部非保守力所作功的代数和, 称
为系统的 功能原理 。
0co n sni n t,ex t EEAA ??? ?
机械能守恒定律
?, 系统内部非保守力作负功,系
统机械能减少, 即被消耗, 这样的非保守力
又称为 耗散力 。
0c o n sni n t,??A
?如摩擦力作为系统内力时, 一对摩擦力作
功之和总是负值 。
讨论
,系统内部非保守力作正功, 系
统机械能增加, 如炸弹爆炸, 人在船上行走等
。
0c o n sni n t,??A
机械能守恒定律
?但是, 单独一个摩擦力有可能作正功 。
?力 F 拉着物体 B 带动 A 一起运动, A,B
间摩擦力 f 对 A 来说方向向前, 作正功
。
A
B
f
F
机械能守恒定律
2.机械能守恒定律
?功能原理
0co n sni n t,ex t EEAA ??? ?
当 只有保守内力做功时
0ext ?A 0c o n sni n t,??A
?? 0EE 常量
称为 机械能守恒定律 。
???? 00 PkPk EEEE
常量
机械能守恒定律
?即：在外力和非保守内力都不作功或所作功
的代数和为零的情况下, 系统内所有质点的
动能和势能的总和, 即 系统的机械能保持恒
定 。
?注意,系统的机械能守恒, 并不意味着每个
质点的动能或势能保持不变 。 实际上, 质点
系中单个质点的动能和势能之间, 质点间的
动能, 势能及其动能和势能之间都是可以相
互转化的 。
机械能守恒定律
?大量事实表明, 在系统的机械能减小或增加
的同时, 在系统外面, 必然有等值的其他形
式的能量增加或减少, 如热能, 电能, 核能
等, 而系统的机械能和系统外其他形式能量
的总和是恒定不变的 。 即,能量不会消失,
也不会产生, 只能从一种形式转化为另一种
形式 。 这就是 能量转化和守恒定律, 简称能
量守恒定律 。 违背能量守恒定律的, 永动机,
称为, 第一类永动机, 。
机械能守恒定律
?例题 P.203
?表 P.202
机械能守恒定律
3.守恒定律的意义
?自然界中许多物理量, 如动量, 角动量, 机
械能, 电荷, 质量, 宇称, 粒子反应中的重
子数, 轻子数等等, 都具有相应的守恒定律 。
?物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究,
这是因为：
?从 方法论 上看,利用守恒定律可避开过程细
节而对系统始, 末态下结论 （ 特点, 优点 ） 。
机械能守恒定律
?从 适用性 来看,守恒定律适用范围广, 宏观,
微观, 高速, 低速均适用 。
?从 认识世界 来看,守恒定律是认识世界的很
有力的武器 。 在新现象研究中, 当发现某个
守恒定律不成立时, 往往作以下考虑：
?寻找被忽略的因素, 从而恢复守恒定律
的应用 。 如中微子的发现 。
?引 入 新 概 念, 使 守 恒 定 律 更 普 遍 化
（, 补救, ） 。
机械能守恒定律
?无法, 补救, 时, 宣布该守恒定律失效 。
如, 弱相互作用 宇称 （ parity） 不守恒 。
?不论哪种情况, 都是对自然界的认识上了新
台阶 。 因此, 守恒定律的发现, 推广, 甚至
否定, 都能对人类认识自然起到巨大的推动
作用 。
机械能守恒定律
?从 本质 上看：守恒定律揭示了自然界普遍的
属性 ─ 对称性 。
?对称性 ─ 在某种, 变换, 下的不变性 。
?每一个守恒定律都相应于一种对称性 （ 变换
不变性 ）,
?动量守恒 相应于 空间平移的对称性 ；
?能量守恒 相应于 时间平移的对称性 ；
?角动量守恒 相应于 空间转动的对称性 。
?……
碰撞
?例题 P.213
