第 5 章
刚体的定轴转动
第 5 章 刚体的定轴转动
?刚体的运动
?刚体的转动动能
?转动惯量的计算
?刚体定轴 转动定理
?刚体定轴 转动动能定理
?对 定轴的 角动量守恒定理
?质点的角动量
?角动量守恒定理
刚体的运动
1.刚体模型
?无论在多大的外力下, 形状 和 体积 均保持保
持不变的理想物体称为 刚体 。
?刚体可看成是无数个质点构成的质点系
?在刚体内部任意两质点间的距离永远保持不
变 。
?理想化模型
刚体的运动
?在一般情况下, 刚体的运动是相当复杂的,
但总可以分解为 两种 最基本的运动, 既：
?刚体的平动
?刚体的转动
刚体的运动
2.刚体的平动
?如果刚体内任意一条直线在刚体中始终保持
它的取向不变, 则这种运动称为 平动 。
?如升降机的运动, 汽缸中活塞的运动 。
?刚体作平动时, 刚体上所有的点运动状态完
全相同, 所以刚体上任意一点的运动就可代
表整个刚体的运动, 刚体相当于一个质点 。
刚体的运动
3.刚体的转动
?如果刚体上的各个质点在刚体运动中都绕 同
一直线 作圆周运动, 则这种运动称为 转动,
该直线称为 转轴 。
?本课程主要研究刚体转轴在空间不移动的转
动, 即 定轴转动 。
刚体的运动
?刚体转动时, 垂直于定轴的任一平面, 称为
转动平面, 刚体中的每一个质点都在各自的
转动平面内作圆周运动, 并且都具有相同的
角速度, 角位移和角加速度 。
线量
角量
r
θ
Δr
Δθ
v
ω
a
?
刚体的运动
?为了充分反映刚体转动的情况, 常用矢量 ω
来表示角速度, 其方向与刚体转动的方向之
间的关系, 满足 右手螺旋定则, 既 右手四指
沿转动方向围绕转轴弯曲, 拇指指向角速度
的方向 。
??
刚体的运动
dt
d?? ?
dt
d?? ?
角加速度
2
2
dt
d ??
角速度
?Rv ?
dt
dva
t ?
?R?
R
va
n
2
?
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线速度
切线加速度
x?
O
R
v?
??
法向加速度
刚体的运动
dt
d?? ?? ?
角速度矢量
角加速度矢量
??
?在定轴转动的情况下，角速度矢量和角加速
度矢量都只有沿固定转轴的分量，此时可用代
数量来表示角速度和角加速度。
?设定转轴的取向, 规定转向与转
轴取向成右手螺旋关系时两者为
正量, 反之为负量 。
????
刚体的运动
dt
d?? ?
dt
rdv ?? ?
dt
vda ?? ?
dt
d?? ?
2
0 2
1 attvv ??
2
0 2
1 tt ??? ??
?例题 P.252
物理量 r Δ r v a
对应量 θ Δθ ω α
刚体的转动动能
?刚体可以看作是由无数个质点组成的, 所有
的质点都以相同的角速度 ω绕同一轴转动 。
?对第 i 个质点, 线速度 vi = ri ω
具有动能
iv
im?
2
2
1
iiki vmE ??
22
2
1 ??
ii rm?
刚体的转动动能
?整个刚体的转动动能：
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i
kik EE ?
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i
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22
2
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2
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i
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质点的动能公式
令
??
i
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2?
2
2
1 mvE
k ?
m v
2
2
1 ?JE
k ?
刚体的转动动能
? J 是一个与 m 对应的物理量, 表示了刚体
转动时惯性的大小, 称为刚体对给定转轴的
转动惯量 （ 简称 转动惯量 ）
2
2
1 mvE
k ?
2
2
1 ?JE
k ?
物理量 r Δ r v a m
对应量 θ Δθ ω α J
M
??
转动惯量的计算
?刚体对给定转轴的转动惯量
??
i
ii rmJ
2?
dmrdJ 2?
??
M
dmrJ 2
r
dm
?J 的单位：千克 ·米 2（ kg·m2)
?量纲,ML2
转动惯量的计算
?由转动惯量 J 的表达式知道：
?J 与 M 的大小有关
? J 与 m 的分布有关
? J 与转轴的位置有关
?计算刚体对定转轴的转动惯量的 关键 是找出
dm 的具体表达式 。
?例题 P.258 ?表 P.261
刚体定轴转动定理
1,力矩
?由力矩的定义
dFM ?
?s i nrF?
?考虑到力矩的方向，
上式可写成矢量式
FrM ??? ??
d
z
F?
O
P
r? ?
?? ?
M?
F?
O
r?
?
刚体定轴转动定理
?力矩的单位,Nm,不能写成 J
?Rv ?
rv ??? ?? ?
?? s i nr?
?? ?
?线速度和角速度
的一般关系
FrM ??? ??
r??
v?
R
??
O
刚体定轴转动定理
?如果外力不在垂直与转轴的转动平面内, 可
以把它分解为两个分力, 一个分力与转轴平
行，它不使刚体转
动，另一个分力在
转动平面内，使刚
体转动。
刚体定轴转动定理
?对刚体上第 i 个质点, 应用牛顿第二定律
dt
vmdF ii
i
)( ?? ??
dt
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dt
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iii
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2,刚体定轴转动定理
刚体定轴转动定理
?对定轴
d
z
F?
O
P
r? ?
dt
JdM )( ??? ?
dt
JdM z
z
)( ??
?zz JM ? 称为刚体 对定轴的 转动定律
dt
dJ
z
??
?zJ?
刚体定轴转动定理
物理量 r Δ r v a m
对应量 θ Δθ ω α J
?zz JM ? amF ?
物理量 r Δ r v a m F
对应量 θ Δθ ω α J M
刚体定轴转动定理
?令
dt
JdM z
z
)( ??
dt
vmdF )(?
dt
dp? mvp ?
?zz JL ?, 定义为刚体对定轴的 角动量
dt
dLM z
z ?
角动量的 单位, sk gm /2
角动量的 量纲, 12 ?TML
?对转动惯量变化的质点系即非刚体仍成立。
刚体定轴转动定理
?对定轴, 一般不写下标
?JL ? ?JM ?
dt
dLM ?
?例题 P.262
物理量 r Δ r v a m F p
对应量 θ Δθ ω α J M L
刚体定轴转动动能定理
?力矩的功
?d
F?
z
rd?
r?
?
?
P
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rdF ??c o s?
?? rdF c o s?
?? drF s i n?
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物理量 r Δ r v a m F p
对应量 θ Δθ ω α J M L
刚体定轴转动动能定理
即是刚体转动的动能
?? ?? ?0 dMA ?? ?? ??
0
ddtdJ ?? ?? ??
0
dJ
2
0
2
2
1
2
1 ?? JJ ??
?例题 P.268,269
)21(
0
2?? ?
?
?Jd
2
2
1 ?JE
k ?
0kk EEA ??
?即合外力矩对定轴刚体所做的功等于刚体转
动动能的增量 。 称为 刚体定轴转动动能定律 。
对定轴的角动量守恒定理
?刚体对定轴的 转动定律 和 角动量
dt
dLM z
z ?
?zz JL ?
?zL
常量
2211 ?? zz JJ ?0?zM 时
?称为刚体对转轴的 角动量守恒定律 。
?虽然刚体的角动量不变, 但其转动惯量
和角速度均可以变化 。
对定轴的角动量守恒定理
?角动量守恒定律上式也可以用于刚体组，即：
??
i
iiJ ?
常量
?地球绕太阳的运转,
花样滑冰运动员,
跳水运动员身体的
旋转或翻滚都满足
角动量守恒定律 。
?P.271 回转仪
质点的角动量
?在刚体转动中, 如果把转轴选在刚体外, 并
且离刚体很远时, 刚体简化为一个质点 。
FrM ??? ?? FrM ???,?
不一定沿转轴方向
r??
F?
??
O
P
M?
dt
vmdrM )( ??? ??
)( vmrdtd ?? ??
质点的角动量
?令
定义为质点对点的 角动量
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LdM
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?
称为质点的
角动量定理
?一般情况 r??
F?
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O
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dLM z
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质点的角动量
?特殊情况
?质点作圆周运动时, 坐标原点取在转动的
圆心上
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v?
P
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r
vmr 2? ?zJ?
?r? 转轴
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?例题 P.157
角动量守恒定理
?质点对定点的 角动量 和 转动定律
?L? 常矢量0?M? 时
?称为 角动量守恒定律
dt
LdM
??
?prL
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注意
0??? FrM ??? 有两种情况
0?F? 或 rFrF ???? ?||,||
角动量守恒定理
?例题 P.160
?例题 P.273
刚体的定轴转动
第 5 章 刚体的定轴转动
?刚体的运动
?刚体的转动动能
?转动惯量的计算
?刚体定轴 转动定理
?刚体定轴 转动动能定理
?对 定轴的 角动量守恒定理
?质点的角动量
?角动量守恒定理
刚体的运动
1.刚体模型
?无论在多大的外力下, 形状 和 体积 均保持保
持不变的理想物体称为 刚体 。
?刚体可看成是无数个质点构成的质点系
?在刚体内部任意两质点间的距离永远保持不
变 。
?理想化模型
刚体的运动
?在一般情况下, 刚体的运动是相当复杂的,
但总可以分解为 两种 最基本的运动, 既：
?刚体的平动
?刚体的转动
刚体的运动
2.刚体的平动
?如果刚体内任意一条直线在刚体中始终保持
它的取向不变, 则这种运动称为 平动 。
?如升降机的运动, 汽缸中活塞的运动 。
?刚体作平动时, 刚体上所有的点运动状态完
全相同, 所以刚体上任意一点的运动就可代
表整个刚体的运动, 刚体相当于一个质点 。
刚体的运动
3.刚体的转动
?如果刚体上的各个质点在刚体运动中都绕 同
一直线 作圆周运动, 则这种运动称为 转动,
该直线称为 转轴 。
?本课程主要研究刚体转轴在空间不移动的转
动, 即 定轴转动 。
刚体的运动
?刚体转动时, 垂直于定轴的任一平面, 称为
转动平面, 刚体中的每一个质点都在各自的
转动平面内作圆周运动, 并且都具有相同的
角速度, 角位移和角加速度 。
线量
角量
r
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?
刚体的运动
?为了充分反映刚体转动的情况, 常用矢量 ω
来表示角速度, 其方向与刚体转动的方向之
间的关系, 满足 右手螺旋定则, 既 右手四指
沿转动方向围绕转轴弯曲, 拇指指向角速度
的方向 。
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刚体的运动
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刚体的运动
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角速度矢量
角加速度矢量
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?在定轴转动的情况下，角速度矢量和角加速
度矢量都只有沿固定转轴的分量，此时可用代
数量来表示角速度和角加速度。
?设定转轴的取向, 规定转向与转
轴取向成右手螺旋关系时两者为
正量, 反之为负量 。
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刚体的运动
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?例题 P.252
物理量 r Δ r v a
对应量 θ Δθ ω α
刚体的转动动能
?刚体可以看作是由无数个质点组成的, 所有
的质点都以相同的角速度 ω绕同一轴转动 。
?对第 i 个质点, 线速度 vi = ri ω
具有动能
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刚体的转动动能
?整个刚体的转动动能：
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刚体的转动动能
? J 是一个与 m 对应的物理量, 表示了刚体
转动时惯性的大小, 称为刚体对给定转轴的
转动惯量 （ 简称 转动惯量 ）
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物理量 r Δ r v a m
对应量 θ Δθ ω α J
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?J 的单位：千克 ·米 2（ kg·m2)
?量纲,ML2
转动惯量的计算
?由转动惯量 J 的表达式知道：
?J 与 M 的大小有关
? J 与 m 的分布有关
? J 与转轴的位置有关
?计算刚体对定转轴的转动惯量的 关键 是找出
dm 的具体表达式 。
?例题 P.258 ?表 P.261
刚体定轴转动定理
1,力矩
?由力矩的定义
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?考虑到力矩的方向，
上式可写成矢量式
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刚体定轴转动定理
?力矩的单位,Nm,不能写成 J
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?线速度和角速度
的一般关系
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刚体定轴转动定理
?如果外力不在垂直与转轴的转动平面内, 可
以把它分解为两个分力, 一个分力与转轴平
行，它不使刚体转
动，另一个分力在
转动平面内，使刚
体转动。
刚体定轴转动定理
?对刚体上第 i 个质点, 应用牛顿第二定律
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2,刚体定轴转动定理
刚体定轴转动定理
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物理量 r Δ r v a m
对应量 θ Δθ ω α J
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刚体定轴转动定理
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角动量的 量纲, 12 ?TML
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刚体定轴转动定理
?对定轴, 一般不写下标
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?例题 P.262
物理量 r Δ r v a m F p
对应量 θ Δθ ω α J M L
刚体定轴转动动能定理
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对应量 θ Δθ ω α J M L
刚体定轴转动动能定理
即是刚体转动的动能
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?例题 P.268,269
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?即合外力矩对定轴刚体所做的功等于刚体转
动动能的增量 。 称为 刚体定轴转动动能定律 。
对定轴的角动量守恒定理
?刚体对定轴的 转动定律 和 角动量
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?zz JL ?
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常量
2211 ?? zz JJ ?0?zM 时
?称为刚体对转轴的 角动量守恒定律 。
?虽然刚体的角动量不变, 但其转动惯量
和角速度均可以变化 。
对定轴的角动量守恒定理
?角动量守恒定律上式也可以用于刚体组，即：
??
i
iiJ ?
常量
?地球绕太阳的运转,
花样滑冰运动员,
跳水运动员身体的
旋转或翻滚都满足
角动量守恒定律 。
?P.271 回转仪
质点的角动量
?在刚体转动中, 如果把转轴选在刚体外, 并
且离刚体很远时, 刚体简化为一个质点 。
FrM ??? ?? FrM ???,?
不一定沿转轴方向
r??
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vmdrM )( ??? ??
)( vmrdtd ?? ??
质点的角动量
?令
定义为质点对点的 角动量
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称为质点的
角动量定理
?一般情况 r??
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质点的角动量
?特殊情况
?质点作圆周运动时, 坐标原点取在转动的
圆心上
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?r? 转轴
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?例题 P.157
角动量守恒定理
?质点对定点的 角动量 和 转动定律
?L? 常矢量0?M? 时
?称为 角动量守恒定律
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0??? FrM ??? 有两种情况
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角动量守恒定理
?例题 P.160
?例题 P.273
