第 1章 平面机构的自由度和速
度分析
§ 1-1 运动副及其分类
§ 1-2 平面机构运动简图
§ 1-3 平面机构的自由度
§ 1-4 速度瞬心及其在机构速度分析上的应用
§ 1-1 运动副及其分类
? 在三维空间内自由运动的构
件具有六个自由度 。
? 作平面运动的构件 (如图所
示 )则只有三个自由度, 这
三个自由度可以用三个独立
的参数 x,y和角度 θ表示 。
构件的自由度 —— 构件所具有的独立运动数目 。
约束 —— 对构件的独立运动所加的限制 。
? 运动副 是 使两构件直接接触并能产生一定相对运动的联接 。 是
由两构件组成的可动联接 。 运动副是约束运动的, 构件组成运
动副后, 其独立运动受到约束, 自由度便随之减少 。
? 由运动副的定义可知,构成机构的两个基本要素是 构件 和 运动
副 。
? 运动副的基本特征是：
① 具有一定的接触形式, 并 把两构件上直接参与接触而构成运动
副的部分 称为 运动副元素；
② 能产生一定形式的相对运动 。
? 按运动副元素接触形式可将运动副分为 低副 和 高副 。
? 运动副按其所能产生相对运动形式分为 转动副, 移动副, 螺旋
副 和 球面副 等 。
? 如果构成运动副的两构件间相对运动是平面运动, 则称为 平面
运动副； 如果构成运动副的两构件间相对运动是空间运动, 则
称为 空间运动副； 如 图 1-5所示 。
1,低副 —— 两运动副元素通过面接触所构成的运动副 。
? 转动副和移动副都属于低副 。
⑴ 转动副 —— 两构件间只能作相对转动的低副 称为 转动副 或 铰链 。
转动副及其简图符号表示如下图所示 。 如果转动副中的一个构
件为固定构件, 则该转动副又称为 固定铰链, 否则称为 活动铰
链 。
转动副
转动副的表示方法
⑵ 移动副 —— 两构件间只能作相对移动的低副称为移动副,
移动副及其简图符号表示如下图所示。
移动副 移动副的表示方法
2,高副 —— 两运动副元素通过点或线接触所构成的运动副 。如
图 1-4所示。 用简图表示高副时，应将两构件接触处的几何
形状绘出 (图 1-4)。对于 齿轮与齿轮 啮合及齿轮与齿条啮合的
高副，可按规定的简图表示。
§ 1-2 平面机构 运动 简图
1,机构运动简图 —— 根据机构的运动尺寸, 按一定的比例尺定
出各运动副的位置, 再用规定的运动副代表符号和简单的线
条或几何图形表示机构各构件间相对运动关系的一种简化图
形 。
? 各运动副间的相对位置尺寸 称为 运动特征尺寸 。
? 在绘制机构运动简图时, 运动特征尺寸应准确地表示出来 。
2,绘制机构运动简图的目的,
? 机构运动简图与真实机构具有完全相同的运动特性, 主要用于简
明地表达机构的组成情况和运动情况, 进行运动分析, 作为运动
设计的目标和构造设计的依据 。 也可对机构进行力分析并作为专
利性质的判据 。
3,机构运动简图中运动副的表示方法
? 机构运动简图中运动副 (转动副, 移动副 )的表示方法如前面所述。
? 需要注意的是,移动副的导路必须与相对移动方向一致。表示机
架的构件需画上阴影线。
4.机构运动简图中构件的表示方法
? 机构中构件的相对运动是由运动副的类型及同一构件上各运
动副的相对位置决定的 。因此，在绘制机构运动简图时，要
表示参与构成不同类型的若干运动副的构件，应按其运动副
的类别，用规定的符号画在相应的位置上，再用简单的线条
将这些符号联成一体即可。
右图所示为参
与构成不同类
型的两个运动
副的构件的表
示方法。
? 参与构成 n个运动副的构件，可以用 n边形表示，并在相交的部位
涂上焊缝标记 或在几何图形中间画上剖面线 。
下图所示为参与构成三个运动副的构件。
? 其它常用零部件的表示方法可参看国家标准 GB4460-84中
“机构运动简图符号”。
? 任何机构都包含机架, 原动件和从动件 3个部分 。
⑴ 固定构件 (机架 ) 是用来支承活动构件的构件 。
⑵ 原动件 (主动件 ) 是运动规律已知的活动构件 。 它的运动是
由外界输入的, 又称为 输入构件 。
⑶ 从动件 是机构中随着原动件的运动而运动的其余活动构件 。
相对于机架有确定的相对运动 。
? 从动件的运动规律取决于原动件的运动规律和机构的结构 。
当机构的结构确定之后, 从动件的运动规律完全取决于原动
件的运动规律 。
5,绘制机构运动简图的方法及步骤
⑴ 通过观察和分析机构的结构组成和运动传递情况, 首先认清
机构的机架, 原动件, 按传动路线逐个分清各从动件, 并依
次标上数字编号；然后循着传动路线仔细分析各构件之间的
相对运动性质, 各构件间形成的运动副类别和数目, 并对各
运动副标上字母,A,B,C,… ；并测出每个构件上各运动
副之间的运动特性尺寸 。
⑵ 恰当地选择投影面 。 选择时应以能简单, 清楚地把机构的运
动情况表示出来为原则 。 一般选取与构件运动平面相平行的
平面作为投影面 。
⑶ 把原动件固定在某一位置, 选取适当的比例尺 。 根据各构
件的运动特征尺寸, 定出各运动副的相互位置：转动副中
心位置, 移动副导路方位, 平面滚滑副轮廓形状等 。
⑷用规定的符号画出运动副，并用简单的线条或几何图形联
接起来，标出构件号数字及运动副的代号字母，以及原动
件的转向箭头，并且注明绘图时的尺寸比例尺或在图纸上
列表说明各构件的运动特征尺寸，即得机构运动简图。
? 例 1-1 绘制如 图 (a)所示的颚式破碎机主体机构
的运动简图。
? 解：
(1) 分析机构的组成及运动情况
(2) 确定运动副的类型及数量
(3) 选定投影面和比例尺, 定出各运动副的相对位置,
绘制出机构运动简图如 图 (b)所示 。
§ 1-3 平面机构的自由度
一、平面机构自由度计算公式
? 机构的自由度 —— 指机构所具有的独立运动数目 。
? 作平面运动的自由构件有三个自由度 。 当两构件组成运动副
后, 它们的相对运动就受到限制 （ 约束 ）, 自由度随之减少 。
? 运动副的作用是约束构件间的某些运动, 而保留另外一些运
动 。 一个运动副至少引入一个约束, 也至少保留一个自由度 。
?不同类型的运动副引入的约束不同, 保留的自由度
也不同 。
?平面运动的一个 转动副 或一个 移动副 引入两个约束,
保留一个自由度 。
?一个平面 高副 引入一个约束, 保留两个自由度 。
?综上所述，平面机构中,每个低副引入两个约束，
使构件失去两个自由度；每个高副引入一个约束，
使构件失去一个自由度。
1,平面机构自由度计算公式
? 在机构中, 若共有 K个构件, 除去机架外, 其活动构件数为
n=K-1。 显然, 这些活动构件在未组成运动副之前, 其自由度
总数为 3n,当它们用 PL个低副和 PH个高副联接组成机构后, 因
为每个低副引入两个约束, 每个高副引入一个约束, 所以, 总
共引入 (2PL+PH)个约束 。 故 整个机构的自由度应为活动构件的
自由度总数与全部运动副引入的约束总数之差, 用 F 表示, 即
F=3n-2PL-PH (1-1)
? 由上式可知,机构自由度 F取决于活动构件的件数与运动副的
性质（高副或低副）和个数。
2,机构具有确定运动的条件
? 机构的自由度也是机构相对机架所具有的独立运动的数目 。
? 在机构中，当机构的结构确定之后，从动件的运动规律完全取决
于原动件的运动规律。通常一个原动件只能给定一种独立运动规
律，那么在一个机构中，应该给定几个原动件，才能使其具有确
定运动？
? 如 图 a所示为五构件运动链。其自由度为：
F=3n－ 2PL－ PH=3× 4－ 2× 5－ 0=2
? 若给定一个原动件 (构件 1)的角位移规律为 φ1=φ1(t)，此时构件 2、
3,4的运动并不能确定。
? 说明 当原动件数少于机构的自由度时，其运动是不确定的。
? 又如 图 b所示四构件机构, 其自由度为：
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 0=1
? 设构件 1为原动件,φ1为其独立转动的参变量，那么每给定
一个的值 φ1,构件 2,3便随之有一个确定的相对位置。说明
该机构具有确定的相对运动。若在该机构中同时给定构件 1和
构件 3作为原动件，这时构件 2势必既要处于由原动件 1的参变
量 φ1所决定的位置，又要随构件 3的独立运动规律而运动，显
然是不可能的。
? 说明,当原动件数多于机构的自由度时，机构的运动难以确
定。
?桁架在机构分析中作为一个构件 (结构体 )来对待 。
? 综上所述可知,机构具有确定运动的条件是, 机构的
自由度 F>0且等于原动件数。
如图所示 静定的桁架 （图
a）和 超静定的桁架 （图
b）,自由度分别为 0和
－ 1,即各构件之间不可
能运动。
? 由两个以上的构件在同一处以
转动副相联而成的铰链称为 复
合铰链 。 如图所示 。
? 由 K个构件以复合铰链相联接
时构成的转动副数为 (K-1)个 。
计算自由度时要特别注意, 复
合铰链, 。
二, 计算平面机构自由度时应注意的事项
1,复合铰链
图 a所示的机构的自由度计算为,n=5,PL=7(PL≠6)、
PH=0,则 F=3n－ 2PL－ PH=3× 5－ 2× 7－ 0=1。
? 不影响机构中其它构件相对运动的
自由度称为 局部自由度 。如右图所
示 。
? 在计算机构的自由度时，局部自由
度不应计入 。
? 图 a所示的凸轮机构中，自由度计
算为：
n=2,PL=2(PL≠ 3),PH=1，则
F=3n－ 2PL－ PH=3× 2－ 2× 2－ 1=1。
局部自由度
2,局部自由度
? 一般在高副接触处，若有滚子存在，则 滚子绕自身轴线转动
的自由度属于局部自由度,采用滚子结构的目的在于将高副
间的滑动摩擦转换为滚动摩擦，以减轻摩擦和磨损。
3,虚约束
? 对机构的运动不起独立限制作用的约束称为 虚约束 。 如 图 a所
示为机车车轮联动机构, 图 b为其机构运动简图 。
? 计算机构自由度时, 应将产生虚约束的构件连同它所带入的
运动副一起除去不计 。
? 对于上图 a所示的机构可就看成是图 c所示的机构, 此时 n=3(而不
是 n=4)),PL=4,PH=0,则
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 0=1。
? 平面机构的虚约束常出现于下列情况中：
⑴ 两构件间形成多个轴线重合的转动副 (如下图所示 )
在此情况下, 计算机构自
由度时, 只考虑一处运动
副引入的约束, 其余各运
动副引入的约束为虚约
束 。
⑵ 两构件形成多个导路平行的移
动副 (如右图所示 )
? 在此情况下, 计算机构自由度时,
只考虑一处运动副引入的约束,
其余各运动副引入的约束为虚约
束 。
⑶ 用一个构件及两个转动副将两个
构件上距离始终不变的两个动点
相联时, 引入一个虚约束 。
? 如右图所示, 如用构件 5及两个转
动副联接 E,F点时, 将引入一个
虚约束 。
⑷ 在机构中如果有两构件相联接, 当将此两构件在联接处拆开时,
若两构件上原联接点的轨迹是重合的, 则该联接引入一个虚约
束 。
如机车车轮 联动机构 和右图所示
的椭圆仪机构中的虚约束均属于
这种情况 。
⑸ 对机构运动不起作用的对称部分
引入虚约束 。
如 下图 所示的行星轮系, 只需一个行星齿轮 2便可满足运动要求 。
但为了平衡行星齿轮的惯性力, 采用多个行星齿轮对称布置 。 由
于行星齿轮 2′的加入, 使机构增加了一个虚约束 。
? 分析计算时, 须将对运动不起作
用的其它对称部分除去不计 。
? 机构中的虚约束都是在某些特定
的几何条件下产生的 。 如果不满
足这些几何条件, 虚约束将变成
实际的有效约束, 从而使机构的
自由度减少 。
所以从保证机构的运动和便于加工装配等方面考虑, 应尽量减
少机构中的虚约束 。 但为了改善受力情况, 增加机构刚度或保
证机械运动的顺利进行, 虚约束往往又是不可缺少的 。
? 综上所述, 运用公式 (1-1)计算机构的自由度时, 需正
确计算复合铰链处的运动副数目, 除去局部自由度
和虚约束 。
? 例 计算 图示 的发动机配气机构的自由度, 并判断其运动是否
确定？
? 解 在此机构中,n=6,PL=8,PH=1,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 6－ 2× 8－ 1=1
由机构运动简图可知，该机构有一原动件 1，原动件数与自由
度数相等，所以该机构的运动是确定的。
? 例 判别图示构件的组合是否能动？ 如果能动, 要满足什么条
件才能有确定的相对运动？ 如果有复合铰链, 局部自由度或
虚约束, 须一一指出 。
解 (a) 在此构件组合中,n=5,PL=7、
PH=0,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 5－ 2× 7－ 0=1
– 因 F>0,所以该构件组合可动 。
– 由机构具有确定的相对运动条件可知, 当机构原动件数为 1时,
原动件数与自由度数相等, 机构才能有确定的运动 。
– 在 C处构件 BC与两滑块构成复合铰链 。
(a)
(b)
(b) 在此构件组合中,n=3,PL=4,PH=1，
由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 1=0
因 F=0,所以该构件组合不能动 。
无复合铰链, 局部自由度或虚约束存在 。
(c)
(c) 在此构件组合中,在 B处滚子与凸轮构
成高副, 滚子引入一局部自由度, 应除
去；在 F和 F′两处, 竖杆与机架组成导路
平行的移动副, 引入一虚约束, 应除去；
因此, n=4,PL=5,PH=1,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 4－ 2× 5－ 1=1
? 因 F>0,所以该构件组合可动 。
? 由机构具有 确定的相对运动 条件可知, 当机构原动件数为 1
时, 原动件数与自由度数相等, 机构才能有确定的运动 。
§ 1-4 速度瞬心及其在机构速度
分析上的应用
一、速度瞬心及其求法
1.速度瞬心 (瞬心 )的概念
? 速度瞬心 (瞬心 )—— 作相对平面
运动的两构件 (刚体 )瞬时相对速度
为零的重合点, 即瞬时绝对速度
相等的重合点 (即同速点 )。 如右图
所示 。
? 如果两构件都是运动的, 则其瞬心称为 相对速度瞬心 ；如果两构
件中有一个是静止的, 则其瞬心称为 绝对速度瞬心 。 因静止构件
的绝对速度为零, 所以绝对瞬心是运动刚体上瞬时绝对速度等于
零的点 。
? 在机构分析中, 瞬心概念适用于任意两个构件 （ 运动构件或固定
构件 ） 间的运动关系 。
2,机构瞬心的数目
? 由于作相对运动的任意两个构件都有一个瞬心, 如果一个机构中
含有 K个构件, 则其瞬心数目 N为
)21(2 )1( ??? KKN
3,瞬心的求法
⑴ 根据瞬心定义确定
① 当两构件的相对运动已知时, 其瞬心位置可根据瞬心定义求
出 。 如图 所示, 构件 1和构件 2的瞬心 P12是两速度向量的垂线
的交点 。
② 当两构件组成转动副时, 其瞬心 P12为转动副的中心, 如 图 a所
示 。
③ 当两构件组成移动副时, 其瞬心 P12位于垂直于移动方向的无
穷远处, 如 图 b所示 。
④ 当两构件组成纯滚动的高副时, 接触点处的相对速度为 0,所
以接触点即为其瞬心, 如 图 c所示 。
⑤ 当两构件组成滑动兼滚动的高副时，如上图 d所示，由于接触点
处的相对速度不为 0，因此其瞬心应位于过接触点的公法线上，
但具体位置还要根据其它条件才能确定。
⑵ 不直接相联的两构件的瞬心可用三心定理来确定
? 三心定理 —— 作平面相对运动的三个构件共有三个瞬心, 它
们位于同一直线上 。 其证明如下图所示 。
? 例 1-8 求图 1-21所示铰链四杆机构的各速度瞬心 。
图 1-21 铰链四杆机构的瞬心
二、瞬心在速度分析上的应用
? 利用瞬心进行速度分析, 可求出两构件的角速度之比, 构件
的角速度及构件上某点的线速度 。
1,铰链四杆机构
? 如 图 2-21所示, P24为构件 4和构件 2的等速重合点, 而构件
4和构件 2分别绕绝对瞬心 P14和 P12转动, 因此有
1424122424 42 PPPPP llv ????
故得
)31(
1224
1424
4
2
1224
1424 ???
?
?
PP
PP
l
l
PP
PP
? 上式表明,作平面相对运动的两构件, 在已知两构件绝对瞬心的
情况下, 只要定出相对瞬心位置, 就可求出二者的角速度比 。 即
角速度比等于二构件的相对瞬心至其绝对瞬心之距离的反比 。 如
果 P24在 P14和 P12的同一侧, 则 ω2和 ω4方向相同；如果 P24在 P14
和 P12之间, 则 ω2和 ω4方向相反 。
? 如再知一构件的角速度, 即可求出另一构件的角速度大小和方向 。
2,齿轮或摆动从动件凸轮机构
如 图 所示为相啮合的两齿轮, 可以利用相对瞬心求两轮的角速
度之比 。 齿轮 2和 3的绝对瞬心为 P12和 P13,其相对瞬心 P23应在
过接触点 K的公法线 n-n上, 又应位于 P12和 P13的连线上, 故二
线的交点即为 P23。
? 上式表明,组成高副的两构件, 其角速度比与连心线被接触
点处的公法线所分成的两线段长度成反比 。 因 P23为内分连
线, 故两构件转向相反；如 P23为外分连线, 则两构件转向
相同 。
齿轮机构的瞬心
因 P23为该瞬时两轮的同速点,
即
1323122323 32 PPPPP llv ?? ??
)41(
1223
1323
3
2
1223
1323 ???
?
?
PP
PP
l
l
PP
PP
故
3,直动从动件凸轮机构
? 对于象右图所示的平底直动从动
件凸轮机构，可以利用速度瞬心
求出从动件 3的速度。
? P23为在图示位置时凸轮与从动件
的同速点，故
)51(231223 23 ????? PPP lvv
直动从动件凸轮机构
的瞬心
用瞬心法求简单机构的速度很方便, 但是构件数目较多时, 瞬心
数目太多, 求解费时, 且作图时某些瞬心可能落在图纸之外 。 此
外, 瞬心法只能用于速度分析, 不能用于加速度分析 。
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度分析
§ 1-1 运动副及其分类
§ 1-2 平面机构运动简图
§ 1-3 平面机构的自由度
§ 1-4 速度瞬心及其在机构速度分析上的应用
§ 1-1 运动副及其分类
? 在三维空间内自由运动的构
件具有六个自由度 。
? 作平面运动的构件 (如图所
示 )则只有三个自由度, 这
三个自由度可以用三个独立
的参数 x,y和角度 θ表示 。
构件的自由度 —— 构件所具有的独立运动数目 。
约束 —— 对构件的独立运动所加的限制 。
? 运动副 是 使两构件直接接触并能产生一定相对运动的联接 。 是
由两构件组成的可动联接 。 运动副是约束运动的, 构件组成运
动副后, 其独立运动受到约束, 自由度便随之减少 。
? 由运动副的定义可知,构成机构的两个基本要素是 构件 和 运动
副 。
? 运动副的基本特征是：
① 具有一定的接触形式, 并 把两构件上直接参与接触而构成运动
副的部分 称为 运动副元素；
② 能产生一定形式的相对运动 。
? 按运动副元素接触形式可将运动副分为 低副 和 高副 。
? 运动副按其所能产生相对运动形式分为 转动副, 移动副, 螺旋
副 和 球面副 等 。
? 如果构成运动副的两构件间相对运动是平面运动, 则称为 平面
运动副； 如果构成运动副的两构件间相对运动是空间运动, 则
称为 空间运动副； 如 图 1-5所示 。
1,低副 —— 两运动副元素通过面接触所构成的运动副 。
? 转动副和移动副都属于低副 。
⑴ 转动副 —— 两构件间只能作相对转动的低副 称为 转动副 或 铰链 。
转动副及其简图符号表示如下图所示 。 如果转动副中的一个构
件为固定构件, 则该转动副又称为 固定铰链, 否则称为 活动铰
链 。
转动副
转动副的表示方法
⑵ 移动副 —— 两构件间只能作相对移动的低副称为移动副,
移动副及其简图符号表示如下图所示。
移动副 移动副的表示方法
2,高副 —— 两运动副元素通过点或线接触所构成的运动副 。如
图 1-4所示。 用简图表示高副时，应将两构件接触处的几何
形状绘出 (图 1-4)。对于 齿轮与齿轮 啮合及齿轮与齿条啮合的
高副，可按规定的简图表示。
§ 1-2 平面机构 运动 简图
1,机构运动简图 —— 根据机构的运动尺寸, 按一定的比例尺定
出各运动副的位置, 再用规定的运动副代表符号和简单的线
条或几何图形表示机构各构件间相对运动关系的一种简化图
形 。
? 各运动副间的相对位置尺寸 称为 运动特征尺寸 。
? 在绘制机构运动简图时, 运动特征尺寸应准确地表示出来 。
2,绘制机构运动简图的目的,
? 机构运动简图与真实机构具有完全相同的运动特性, 主要用于简
明地表达机构的组成情况和运动情况, 进行运动分析, 作为运动
设计的目标和构造设计的依据 。 也可对机构进行力分析并作为专
利性质的判据 。
3,机构运动简图中运动副的表示方法
? 机构运动简图中运动副 (转动副, 移动副 )的表示方法如前面所述。
? 需要注意的是,移动副的导路必须与相对移动方向一致。表示机
架的构件需画上阴影线。
4.机构运动简图中构件的表示方法
? 机构中构件的相对运动是由运动副的类型及同一构件上各运
动副的相对位置决定的 。因此，在绘制机构运动简图时，要
表示参与构成不同类型的若干运动副的构件，应按其运动副
的类别，用规定的符号画在相应的位置上，再用简单的线条
将这些符号联成一体即可。
右图所示为参
与构成不同类
型的两个运动
副的构件的表
示方法。
? 参与构成 n个运动副的构件，可以用 n边形表示，并在相交的部位
涂上焊缝标记 或在几何图形中间画上剖面线 。
下图所示为参与构成三个运动副的构件。
? 其它常用零部件的表示方法可参看国家标准 GB4460-84中
“机构运动简图符号”。
? 任何机构都包含机架, 原动件和从动件 3个部分 。
⑴ 固定构件 (机架 ) 是用来支承活动构件的构件 。
⑵ 原动件 (主动件 ) 是运动规律已知的活动构件 。 它的运动是
由外界输入的, 又称为 输入构件 。
⑶ 从动件 是机构中随着原动件的运动而运动的其余活动构件 。
相对于机架有确定的相对运动 。
? 从动件的运动规律取决于原动件的运动规律和机构的结构 。
当机构的结构确定之后, 从动件的运动规律完全取决于原动
件的运动规律 。
5,绘制机构运动简图的方法及步骤
⑴ 通过观察和分析机构的结构组成和运动传递情况, 首先认清
机构的机架, 原动件, 按传动路线逐个分清各从动件, 并依
次标上数字编号；然后循着传动路线仔细分析各构件之间的
相对运动性质, 各构件间形成的运动副类别和数目, 并对各
运动副标上字母,A,B,C,… ；并测出每个构件上各运动
副之间的运动特性尺寸 。
⑵ 恰当地选择投影面 。 选择时应以能简单, 清楚地把机构的运
动情况表示出来为原则 。 一般选取与构件运动平面相平行的
平面作为投影面 。
⑶ 把原动件固定在某一位置, 选取适当的比例尺 。 根据各构
件的运动特征尺寸, 定出各运动副的相互位置：转动副中
心位置, 移动副导路方位, 平面滚滑副轮廓形状等 。
⑷用规定的符号画出运动副，并用简单的线条或几何图形联
接起来，标出构件号数字及运动副的代号字母，以及原动
件的转向箭头，并且注明绘图时的尺寸比例尺或在图纸上
列表说明各构件的运动特征尺寸，即得机构运动简图。
? 例 1-1 绘制如 图 (a)所示的颚式破碎机主体机构
的运动简图。
? 解：
(1) 分析机构的组成及运动情况
(2) 确定运动副的类型及数量
(3) 选定投影面和比例尺, 定出各运动副的相对位置,
绘制出机构运动简图如 图 (b)所示 。
§ 1-3 平面机构的自由度
一、平面机构自由度计算公式
? 机构的自由度 —— 指机构所具有的独立运动数目 。
? 作平面运动的自由构件有三个自由度 。 当两构件组成运动副
后, 它们的相对运动就受到限制 （ 约束 ）, 自由度随之减少 。
? 运动副的作用是约束构件间的某些运动, 而保留另外一些运
动 。 一个运动副至少引入一个约束, 也至少保留一个自由度 。
?不同类型的运动副引入的约束不同, 保留的自由度
也不同 。
?平面运动的一个 转动副 或一个 移动副 引入两个约束,
保留一个自由度 。
?一个平面 高副 引入一个约束, 保留两个自由度 。
?综上所述，平面机构中,每个低副引入两个约束，
使构件失去两个自由度；每个高副引入一个约束，
使构件失去一个自由度。
1,平面机构自由度计算公式
? 在机构中, 若共有 K个构件, 除去机架外, 其活动构件数为
n=K-1。 显然, 这些活动构件在未组成运动副之前, 其自由度
总数为 3n,当它们用 PL个低副和 PH个高副联接组成机构后, 因
为每个低副引入两个约束, 每个高副引入一个约束, 所以, 总
共引入 (2PL+PH)个约束 。 故 整个机构的自由度应为活动构件的
自由度总数与全部运动副引入的约束总数之差, 用 F 表示, 即
F=3n-2PL-PH (1-1)
? 由上式可知,机构自由度 F取决于活动构件的件数与运动副的
性质（高副或低副）和个数。
2,机构具有确定运动的条件
? 机构的自由度也是机构相对机架所具有的独立运动的数目 。
? 在机构中，当机构的结构确定之后，从动件的运动规律完全取决
于原动件的运动规律。通常一个原动件只能给定一种独立运动规
律，那么在一个机构中，应该给定几个原动件，才能使其具有确
定运动？
? 如 图 a所示为五构件运动链。其自由度为：
F=3n－ 2PL－ PH=3× 4－ 2× 5－ 0=2
? 若给定一个原动件 (构件 1)的角位移规律为 φ1=φ1(t)，此时构件 2、
3,4的运动并不能确定。
? 说明 当原动件数少于机构的自由度时，其运动是不确定的。
? 又如 图 b所示四构件机构, 其自由度为：
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 0=1
? 设构件 1为原动件,φ1为其独立转动的参变量，那么每给定
一个的值 φ1,构件 2,3便随之有一个确定的相对位置。说明
该机构具有确定的相对运动。若在该机构中同时给定构件 1和
构件 3作为原动件，这时构件 2势必既要处于由原动件 1的参变
量 φ1所决定的位置，又要随构件 3的独立运动规律而运动，显
然是不可能的。
? 说明,当原动件数多于机构的自由度时，机构的运动难以确
定。
?桁架在机构分析中作为一个构件 (结构体 )来对待 。
? 综上所述可知,机构具有确定运动的条件是, 机构的
自由度 F>0且等于原动件数。
如图所示 静定的桁架 （图
a）和 超静定的桁架 （图
b）,自由度分别为 0和
－ 1,即各构件之间不可
能运动。
? 由两个以上的构件在同一处以
转动副相联而成的铰链称为 复
合铰链 。 如图所示 。
? 由 K个构件以复合铰链相联接
时构成的转动副数为 (K-1)个 。
计算自由度时要特别注意, 复
合铰链, 。
二, 计算平面机构自由度时应注意的事项
1,复合铰链
图 a所示的机构的自由度计算为,n=5,PL=7(PL≠6)、
PH=0,则 F=3n－ 2PL－ PH=3× 5－ 2× 7－ 0=1。
? 不影响机构中其它构件相对运动的
自由度称为 局部自由度 。如右图所
示 。
? 在计算机构的自由度时，局部自由
度不应计入 。
? 图 a所示的凸轮机构中，自由度计
算为：
n=2,PL=2(PL≠ 3),PH=1，则
F=3n－ 2PL－ PH=3× 2－ 2× 2－ 1=1。
局部自由度
2,局部自由度
? 一般在高副接触处，若有滚子存在，则 滚子绕自身轴线转动
的自由度属于局部自由度,采用滚子结构的目的在于将高副
间的滑动摩擦转换为滚动摩擦，以减轻摩擦和磨损。
3,虚约束
? 对机构的运动不起独立限制作用的约束称为 虚约束 。 如 图 a所
示为机车车轮联动机构, 图 b为其机构运动简图 。
? 计算机构自由度时, 应将产生虚约束的构件连同它所带入的
运动副一起除去不计 。
? 对于上图 a所示的机构可就看成是图 c所示的机构, 此时 n=3(而不
是 n=4)),PL=4,PH=0,则
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 0=1。
? 平面机构的虚约束常出现于下列情况中：
⑴ 两构件间形成多个轴线重合的转动副 (如下图所示 )
在此情况下, 计算机构自
由度时, 只考虑一处运动
副引入的约束, 其余各运
动副引入的约束为虚约
束 。
⑵ 两构件形成多个导路平行的移
动副 (如右图所示 )
? 在此情况下, 计算机构自由度时,
只考虑一处运动副引入的约束,
其余各运动副引入的约束为虚约
束 。
⑶ 用一个构件及两个转动副将两个
构件上距离始终不变的两个动点
相联时, 引入一个虚约束 。
? 如右图所示, 如用构件 5及两个转
动副联接 E,F点时, 将引入一个
虚约束 。
⑷ 在机构中如果有两构件相联接, 当将此两构件在联接处拆开时,
若两构件上原联接点的轨迹是重合的, 则该联接引入一个虚约
束 。
如机车车轮 联动机构 和右图所示
的椭圆仪机构中的虚约束均属于
这种情况 。
⑸ 对机构运动不起作用的对称部分
引入虚约束 。
如 下图 所示的行星轮系, 只需一个行星齿轮 2便可满足运动要求 。
但为了平衡行星齿轮的惯性力, 采用多个行星齿轮对称布置 。 由
于行星齿轮 2′的加入, 使机构增加了一个虚约束 。
? 分析计算时, 须将对运动不起作
用的其它对称部分除去不计 。
? 机构中的虚约束都是在某些特定
的几何条件下产生的 。 如果不满
足这些几何条件, 虚约束将变成
实际的有效约束, 从而使机构的
自由度减少 。
所以从保证机构的运动和便于加工装配等方面考虑, 应尽量减
少机构中的虚约束 。 但为了改善受力情况, 增加机构刚度或保
证机械运动的顺利进行, 虚约束往往又是不可缺少的 。
? 综上所述, 运用公式 (1-1)计算机构的自由度时, 需正
确计算复合铰链处的运动副数目, 除去局部自由度
和虚约束 。
? 例 计算 图示 的发动机配气机构的自由度, 并判断其运动是否
确定？
? 解 在此机构中,n=6,PL=8,PH=1,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 6－ 2× 8－ 1=1
由机构运动简图可知，该机构有一原动件 1，原动件数与自由
度数相等，所以该机构的运动是确定的。
? 例 判别图示构件的组合是否能动？ 如果能动, 要满足什么条
件才能有确定的相对运动？ 如果有复合铰链, 局部自由度或
虚约束, 须一一指出 。
解 (a) 在此构件组合中,n=5,PL=7、
PH=0,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 5－ 2× 7－ 0=1
– 因 F>0,所以该构件组合可动 。
– 由机构具有确定的相对运动条件可知, 当机构原动件数为 1时,
原动件数与自由度数相等, 机构才能有确定的运动 。
– 在 C处构件 BC与两滑块构成复合铰链 。
(a)
(b)
(b) 在此构件组合中,n=3,PL=4,PH=1，
由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 3－ 2× 4－ 1=0
因 F=0,所以该构件组合不能动 。
无复合铰链, 局部自由度或虚约束存在 。
(c)
(c) 在此构件组合中,在 B处滚子与凸轮构
成高副, 滚子引入一局部自由度, 应除
去；在 F和 F′两处, 竖杆与机架组成导路
平行的移动副, 引入一虚约束, 应除去；
因此, n=4,PL=5,PH=1,由 (1-1)式得
F=3n－ 2PL－ PH=3× 4－ 2× 5－ 1=1
? 因 F>0,所以该构件组合可动 。
? 由机构具有 确定的相对运动 条件可知, 当机构原动件数为 1
时, 原动件数与自由度数相等, 机构才能有确定的运动 。
§ 1-4 速度瞬心及其在机构速度
分析上的应用
一、速度瞬心及其求法
1.速度瞬心 (瞬心 )的概念
? 速度瞬心 (瞬心 )—— 作相对平面
运动的两构件 (刚体 )瞬时相对速度
为零的重合点, 即瞬时绝对速度
相等的重合点 (即同速点 )。 如右图
所示 。
? 如果两构件都是运动的, 则其瞬心称为 相对速度瞬心 ；如果两构
件中有一个是静止的, 则其瞬心称为 绝对速度瞬心 。 因静止构件
的绝对速度为零, 所以绝对瞬心是运动刚体上瞬时绝对速度等于
零的点 。
? 在机构分析中, 瞬心概念适用于任意两个构件 （ 运动构件或固定
构件 ） 间的运动关系 。
2,机构瞬心的数目
? 由于作相对运动的任意两个构件都有一个瞬心, 如果一个机构中
含有 K个构件, 则其瞬心数目 N为
)21(2 )1( ??? KKN
3,瞬心的求法
⑴ 根据瞬心定义确定
① 当两构件的相对运动已知时, 其瞬心位置可根据瞬心定义求
出 。 如图 所示, 构件 1和构件 2的瞬心 P12是两速度向量的垂线
的交点 。
② 当两构件组成转动副时, 其瞬心 P12为转动副的中心, 如 图 a所
示 。
③ 当两构件组成移动副时, 其瞬心 P12位于垂直于移动方向的无
穷远处, 如 图 b所示 。
④ 当两构件组成纯滚动的高副时, 接触点处的相对速度为 0,所
以接触点即为其瞬心, 如 图 c所示 。
⑤ 当两构件组成滑动兼滚动的高副时，如上图 d所示，由于接触点
处的相对速度不为 0，因此其瞬心应位于过接触点的公法线上，
但具体位置还要根据其它条件才能确定。
⑵ 不直接相联的两构件的瞬心可用三心定理来确定
? 三心定理 —— 作平面相对运动的三个构件共有三个瞬心, 它
们位于同一直线上 。 其证明如下图所示 。
? 例 1-8 求图 1-21所示铰链四杆机构的各速度瞬心 。
图 1-21 铰链四杆机构的瞬心
二、瞬心在速度分析上的应用
? 利用瞬心进行速度分析, 可求出两构件的角速度之比, 构件
的角速度及构件上某点的线速度 。
1,铰链四杆机构
? 如 图 2-21所示, P24为构件 4和构件 2的等速重合点, 而构件
4和构件 2分别绕绝对瞬心 P14和 P12转动, 因此有
1424122424 42 PPPPP llv ????
故得
)31(
1224
1424
4
2
1224
1424 ???
?
?
PP
PP
l
l
PP
PP
? 上式表明,作平面相对运动的两构件, 在已知两构件绝对瞬心的
情况下, 只要定出相对瞬心位置, 就可求出二者的角速度比 。 即
角速度比等于二构件的相对瞬心至其绝对瞬心之距离的反比 。 如
果 P24在 P14和 P12的同一侧, 则 ω2和 ω4方向相同；如果 P24在 P14
和 P12之间, 则 ω2和 ω4方向相反 。
? 如再知一构件的角速度, 即可求出另一构件的角速度大小和方向 。
2,齿轮或摆动从动件凸轮机构
如 图 所示为相啮合的两齿轮, 可以利用相对瞬心求两轮的角速
度之比 。 齿轮 2和 3的绝对瞬心为 P12和 P13,其相对瞬心 P23应在
过接触点 K的公法线 n-n上, 又应位于 P12和 P13的连线上, 故二
线的交点即为 P23。
? 上式表明,组成高副的两构件, 其角速度比与连心线被接触
点处的公法线所分成的两线段长度成反比 。 因 P23为内分连
线, 故两构件转向相反；如 P23为外分连线, 则两构件转向
相同 。
齿轮机构的瞬心
因 P23为该瞬时两轮的同速点,
即
1323122323 32 PPPPP llv ?? ??
)41(
1223
1323
3
2
1223
1323 ???
?
?
PP
PP
l
l
PP
PP
故
3,直动从动件凸轮机构
? 对于象右图所示的平底直动从动
件凸轮机构，可以利用速度瞬心
求出从动件 3的速度。
? P23为在图示位置时凸轮与从动件
的同速点，故
)51(231223 23 ????? PPP lvv
直动从动件凸轮机构
的瞬心
用瞬心法求简单机构的速度很方便, 但是构件数目较多时, 瞬心
数目太多, 求解费时, 且作图时某些瞬心可能落在图纸之外 。 此
外, 瞬心法只能用于速度分析, 不能用于加速度分析 。
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