第 12章 拉普拉斯变换
12.2 拉普
拉斯变换的
基本性质
12.3 拉普
拉斯反变换
12.4 应用
拉普拉斯变换
分析线性电路
12.1 拉普
拉斯变换
的定义
了解拉普拉斯变换的定义和基本
性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形
式、运算阻抗和运算导纳的基础上，
掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性
电路的方法和步骤；在求拉氏反变换
时，要求掌握分解定理及其应用。
本章教学目的及要求
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标,了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数,
象函数的概念。
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计
算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换 (简称拉氏变
换 )就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方
法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统 (如线性电路 )
的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
拉普拉斯变换可将时域函数 f(t)变换为频域函数 F(s)。
只要 f(t)在区间 [0,∞]有定义，则有
? ? ?? 0 )()( dtetfsF st
? ? ?? 0 )()( dtetfsF st 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的 e-st
称为 收敛因子,收敛因子中的 s=c+jω是一个复数形式的
频率，称为 复频率,其实部恒为正，虚部即可为正、为
负，也可为零。上式左边的 F(s)称为复频域函数,是 时
域函数 f(t)的拉氏变换,F(s)也叫做 f(t)的 象函数 。记作 )]([)( tfLsF ?
式中 L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉
氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时
间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。
如果复频域函数 F(s) 已知，要求出与它对应的时域函
数 f(t),又要用到拉氏反变换，即,
? ?? ??? jj ts dtesFjtf ??? )(2 1)(
该式左边的 f(t) 在这里称为 F(s)的 原函数,此式表
明：如果时域函数 f(t)已知，通过拉氏反变换，又
可得到它的象函数 F(s)，记作,
)]([)( 1 sFLtf ??
式中 L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函
数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数 f(t)惟一地对应一个
复频域函数 F(s)；反过来，一个复频域函数 F(s)惟
一地对应一个时域函数 f(t)，即 不同的原函数和不
同的象函数之间有着一一对应的关系,称为 拉氏变
换的惟一性 。
注意 在拉氏变换或反变换的过程中,原函数一律
用小写字母表示,而 象函数则一律用相应的大写字
母表示。 如电压原函数为 u(t)，对应象函数为 U(s)。
dtedteeeL tssttt ?? ?? ???? ??? ?? 0 )( 0 ][ ???
求指数函数 f(t)=e－ αt, f(t)=eαt (α≥ 0,α 是常数 )的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
此积分在 s>α 时收敛，有,
?
??
??? ?
?? ???
sdteeL
tst 1][
0
)(
?
??
??? ?
?? ??
sdteeL
tst 1][
0
)(
同理可得 f(t)=eαt 的 拉氏变换为,
sesdtedtettLsF
ststst 11)()]([)(
0
0
0 ??????
?
?
???
?
???
?
? ?? ??
求单位阶跃函数 f(t)=ε(t)、单位冲激函数 f(t)=δ(t),
正弦函数 f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为
同理，单位冲激函数的象函数为
1)()()]([)( )0(0 0 0 ????? ??? ??? ? ?? sstst edtetdtettLsF ???
22
0
22
0
)c o ss i n(
s i n][ s i n)(
?
?
????
??
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
sttss
e
dttetLsF
st
st
正弦函数 sin ωt的象函数为,
什么是拉普拉斯
变换？什么是拉
普拉斯反变换？
什么是原函数？
什么是象函数？
二者之间的关系
如何？
已知原函数求象函数
的过程称为拉普拉斯变
换；而已知象函数求原
函数的过程称为拉普拉
斯反变换。
原函数是时域函数，
一般用小写字母表示，
象函数是复频域函数，
用相应的大写字母表示。
原函数的拉氏变换为象
函数；象函数的拉氏反
变换得到的是原函数。
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标,了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分
性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以
很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以
把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质
则函数，和的象函数分别为和设函数 )()()()( 2121 sFsFtftf
的象函数为：)()()( 21 tBftAftf ??
上式中的 A和 B为任意常数 (实数或复数 )。这一性质可
以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
),()()( 21 sBFsAFsF ??
的象函数。和求 ttfttf ?? c o s)(s i n)( 21 ??
可得：根据欧拉公式,tjte tj ??? s i nc o s ??
,2s i n jeet
tjtj ??
?
??
? 2c o s
tjtj ee
t
??
?
??
?
1][ ?? jseL tj ??由前面例题得出
1][ - ?? jseL tj ??
22222
1)11(
2
1][ s i n
?
?
?
??
??? ???
????
???? ss
jsjs
jjsjsjtL故
22)
11(
2
1][ c o s
???
?
?
?????
s
s
jsjstL同理：
2.微分性质
的拉氏变换为的导数则如果 dt tdftftfsFtfL )()(')(),()]([ ??
)0()(])([)]('[ ???? fssFdt tdfLtfL
)0()(
)()0(
))(()(
)(']
)(
[
0
0 0
0
fssF
dtetfsf
dtsetfetf
dtetf
dt
dtdf
L
st
stst
st
??
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以证明：
)()]('[ ssFtfL ?
导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算
转换成象函数乘以 s后减初值的代数运算。如果 f(0-)=0，则
有,
3.微分性质 (可参看课本 172页下至 173页上 )
课本 173页的表 12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，
在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性
质、延迟性质、频移性质等，由课本 P173页表 12.1表示了
这些性质的具体应用。
拉普拉斯变换有
哪些性质？
利用拉普拉
斯变换的性
质，对解决
问题有何种
效益？
利用拉普拉斯变换的
性质可以很方便地求得一
些较为复杂的函数的象函
数，同时也可以把线性常
系数微分方程变换为复频
域中的代数方程，利用这
些性质课本表 12.1中给出
了一些常用的时间函数的
拉氏变换。
12.3 拉普拉斯反变换
学习目标,了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏
反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象
函数 F(s)中求出原函数 f(t)，这就要用到拉氏反变换。
分解定理,利用拉氏变换表，将象函数 F(s)展开为简单分式
之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
nn
nn
mm
mm
bsbsbsb
asasasa
sF
sFsF
????
??????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
2
1
)(
)()(
?
?
其中 m和 n为正整数，且 n≥m。
把 F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项
式作因式分解，求出 F2(s)的根。 F2(s)的根可以是单
根、共轭复根和重根 3种情况，下面逐一讨论。
n
n
2
2
1
1)(
ps
k
ps
k
ps
ksF
??????????
???
?
???
?
???????? n
n
2
2
111 )()()( ps
k
ps
kpsksFps ?
1)]()[( 11 pssFpsk ???
2)]()[( 22 pssFpsk ???
npsnn sFpsk ??? )]()[(
1,F2(s)＝０有 n个单根
同理可得
设 n个单根分别为 p1,p2,…, pn,于是 F2(s)可以展开为
式中 k1,k2,k3…, kn 为待定系数。这些系数可以按下述
方法确定，即把上式两边同乘以 (s-p1)，得
……
令 s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
ipsii sFpsk ??? )]()[(
)('
)(
)('
)()(')(lim
)(
))((lim
2
1
2
11
2
1
i
ii
ps
i
psi pF
pF
sF
sFsFps
sF
pssFk
ii
??????
??
ni
sF
sFK
ips
i,，，,? 3 2 1 )('
)(
2
1 ??
?
tpntptp nekekeksFLtf ????? ? ?21 211 )]([)(
所求待定系数 ki为,
ni,,3,2,1 ??上式中,
另外把分部展开公式两边同乘 以 (s-pi),再令 s→ pi,然后
引用数学中的罗比塔法则，可得,
这样我们又可得到另一求解 ki的公式为,
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为,
。的原函数求 )(65 54)( 2 tfss ssF ?? ??
52s)('6554 2221 ??????? sFssFsF,，因为：
，代入公式可得：，的根为又由于 320)( 212 ????? ppsF
352 54)(' )(
22
1
1
1
??????
??? sps s
s
sF
sFk
752 54)(' )(
32
1
2
2
?????
??? sps s
s
sF
sFk
3
7
2
3)(
???
??
sssF得象函数为
tt eetf 32 73)( ?? ???得原函数为
???? jsjs sF
sFk
sF
sFk
-2
1
2
2
1
1 )('
)(
)('
)(
???
??,
2,F2(s)＝０有共轭复根
设共轭复根为 p1=α +jω, p2=α -jω,则
显然 k1,k2也为共轭复数，设 k1=|k1| ejθ1,k2=|k1|e-jθ1，则
)c o s (2
][
)(
11
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
11
??
?
?????
??????
????
??
??
??
??
???
???
??
tek
eeek
eekeek
ekektf
t
tjtjt
tjjtjj
tjtj
为共轭复根，所以时, 210)( 212 jpsF ????
)6.262c o s (12.1)c o s (2)( 11 ?????? ? tetektf tt ???
。的原函数求 )(
52
)( 2 tf
ss
ssF
??
?
?6.26
212
1
1 56.025.05.022)('
)(
1
j
jsps
ej
s
s
sF
sFk ???
?
??
????
?6.26
12 56.0
1 jj eekk ?? ?? ?
|k1| =0.56,α =-1,ω =2,θ 1=26.6°,所以 原函数为
3,F2(s)＝０具有重根
设 p1为 F2(s)的重根, pi为其余单根 (i从 2开始 )，则 F(s)
可分解为,
对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定 k11、
k12，则需用下式,
???
?
???
? ????
?????? 2
2
2
1
11
1
12
)(
)( ps k
ps
k
ps
ksF
???
?
???
? ????
?
??????
2
22
111121
2
1 )()()()( ps
kpskkpssFps
1
)()( 2111 pssFpsk ???
1)]()[(
2
112 pssFpsds
dk
???
由上式把 k11单独分离出来，可得,
再对式子中 s进行一次求导，让 k12也单独分离出来，得,
如果 F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到
各系数，即,
1
])()[(
)!1(
1
11
1
1 ps
q
q
q
q sFpsds
d
q
k ??
?
?
?
?
参看课本 P175页例题 12.6。
在求拉氏反变换的
过程中，出现单根、
共轭复根和重根时
如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路
学习目标,熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和
运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路
的方法。
时域条件下电阻电路有 uR=RiR，把该式进行拉氏变换
可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为,
1.电阻元件的运算电路
时域的电阻电路
12.4.1 单一参数的运算电路
+ )(sUR
)(sIR
－ + )(tu
R
)(tiR
－
复频域的电阻运算电路
同样成立。显然欧姆定律在复频域 )()( sRIsU RR ?
时域条件下电感电路 u,i关系,2.电感元件的运算电路
)0()(
1
)(
L
-0 LL
L
L
???
?
? iuLi
dt
di
Ltu
t
?
)(L ti
时域的电感电路
+ )(L tu －
L
+ )(
L sU
)(L sI
－
复频域 的电感运算电路 1
sL )0(L ?Li + -
复频域 的电感运算电路 2
)(L sU
)(L sI
si )0(L ?
+ -
sL
1
对时域条件下电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()()( LLL ??? Liss L IsU
s
isU
sLsI
)0()(1)( L
LL
???
由此得复频域运算电路,
运算阻抗
运算导纳
相应附加
电流源
相应附加
电压源
时域条件下电容电路 u,i关系,3.电容元件的运算电路
)0()(
1
)(
C
-0 CC
C
C
???
?
? uiCu
dt
du
Cti
t
?
对时域条件下电容电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()()( CCC ??? Cuss C UsI
s
usI
sCsU
)0()(1)( C
CC
???
由此得电容运算电路,
运算阻抗
运算导纳
相应附加
电流源
相应附加
电压源
时域的电容电路
+ )(C tu －
C ) ( C t i
+ )(
C sU
)(C sI
－
复频域 的电容运算电路 1
+ - s
u )0(C ?sC 1
+ -
sC
)0(C ?Cu
复频域 的电容运算电路 2
)(C sU
)(C sI
+ -
12.4.2 耦合电感的运算电路
时域的耦合电感电路
L1
*
L2
i1
u1
－
M
* i2 ＋
u2
－
＋
时域条件下耦合电感电路 u,i关系,
dt
diM
dt
diLu 21
11 ?? dt
diM
dt
diLu 12
22 ??
对时域的耦合电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()0()()()( 2112111 ?? ???? MiiLssM IsIsLsU
得
耦
合
电
感
运
算
电
路
附加电压源
)0()0()()()( 1221222 ?? ???? MiiLss M IsIsLsU
sL1
*
sL2
I1(s)
U1(s)
－
sM
*
I2(s)
＋
U2(s)
－
＋
)0(22 ?iL+
-
+
-
-
+
-
+
)0(11 ?iL
)0(2 ?Mi )0(1 ?Mi
12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路
拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它
将描述系统的时域微积分方程变换为 复频 域的代数方程，
更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分
别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全
响应。
应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下,
1.确定和计算各储能元件的初始条件；
2.将 t≥0时的时域电路变换为相应的运算电路 ；
3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响
应的象函数；
4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中
的待求响应。
A51110)0(L ????i
求下图所示电路在 t≥0时各支路上的电流响应。 (设开
关闭合以前电路已达稳态 )
ik
S
(t=0)
例题 电路图
1Ω
10V
－
＋
uC － ＋
1Ω 1Ω
1F
iC
iL
1H
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋ 1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s 1
首先确定动态元件的初始条件
V5151)0()0( LC ????? ?? iu
1
510
)1(
510
1
510
)(L ???????
?
? ssss ssssI
由此可得出相应运算电路如图示,
1
5
1
510
11
510
)(C
?
??
?
?
?
?
?
s
s
s
s
s
sssI
根据运算电路求两支路电流的象函数
对运算电路上结点列 KCL可得,
sssssIsIsI
10
1
5
1
510)()()(
CLk ????????
A10)(
A5)(
A510)(
L
C
L
?
?
??
?
?
ti
eti
eti
t
t
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋ 1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s 1 再对各支路电流进行拉氏反变换
V)]2(2)1()([)(S ????? ttttu ???求下图所示电路的 iL(t)。已知
例题 电路图
5H
－
＋
us(t)
1Ω
5Ω
画出 ε(t)作用下的运算电路并求解
根据运算电路求出 1/s作用下
运算电路的响应。
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1 s
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1 s
对运算电路求 1/s作用下的响应,
，有，，可求得令 61 00)( 212 ???? ppsF
应用叠加原理可得电路响应为,
)61(
1
55
5
)305(
55
55
5
55
25
1
1
)(
L
sssss
s
s
s
s
s
sI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
1
121
1
) ] '([
)(
1
121
1
')(
)(
121')(
6
1
6
1
2
1
2
002
1
1
2
??
?
??
?
?
??
??
????
??
ss
ss
ssF
sF
k
ssF
sF
k
ssF
A)()1()( 6L teti
t
????运算响应为：
A)]2()1(2)1(
)1()()1[()(
6
2
6
1
6
L
????
????
?
?
?
??
tet
eteti
t
t
t
??
?
A
1.对单个正弦半波，能否求出其拉氏变
换？
2,对零状态线性电路进行复频域分析
时，能否用叠加原理？若为非零状
态，即运算电路中存在附加电源时
，能否用叠加原理？
单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范
畴，因此无法求出其拉氏变换。
零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定
理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零
状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响
应。
12.2 拉普
拉斯变换的
基本性质
12.3 拉普
拉斯反变换
12.4 应用
拉普拉斯变换
分析线性电路
12.1 拉普
拉斯变换
的定义
了解拉普拉斯变换的定义和基本
性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形
式、运算阻抗和运算导纳的基础上，
掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性
电路的方法和步骤；在求拉氏反变换
时，要求掌握分解定理及其应用。
本章教学目的及要求
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标,了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数,
象函数的概念。
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计
算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换 (简称拉氏变
换 )就是其中的一种。
拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方
法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统 (如线性电路 )
的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
拉普拉斯变换可将时域函数 f(t)变换为频域函数 F(s)。
只要 f(t)在区间 [0,∞]有定义，则有
? ? ?? 0 )()( dtetfsF st
? ? ?? 0 )()( dtetfsF st 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的 e-st
称为 收敛因子,收敛因子中的 s=c+jω是一个复数形式的
频率，称为 复频率,其实部恒为正，虚部即可为正、为
负，也可为零。上式左边的 F(s)称为复频域函数,是 时
域函数 f(t)的拉氏变换,F(s)也叫做 f(t)的 象函数 。记作 )]([)( tfLsF ?
式中 L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉
氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时
间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。
如果复频域函数 F(s) 已知，要求出与它对应的时域函
数 f(t),又要用到拉氏反变换，即,
? ?? ??? jj ts dtesFjtf ??? )(2 1)(
该式左边的 f(t) 在这里称为 F(s)的 原函数,此式表
明：如果时域函数 f(t)已知，通过拉氏反变换，又
可得到它的象函数 F(s)，记作,
)]([)( 1 sFLtf ??
式中 L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函
数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数 f(t)惟一地对应一个
复频域函数 F(s)；反过来，一个复频域函数 F(s)惟
一地对应一个时域函数 f(t)，即 不同的原函数和不
同的象函数之间有着一一对应的关系,称为 拉氏变
换的惟一性 。
注意 在拉氏变换或反变换的过程中,原函数一律
用小写字母表示,而 象函数则一律用相应的大写字
母表示。 如电压原函数为 u(t)，对应象函数为 U(s)。
dtedteeeL tssttt ?? ?? ???? ??? ?? 0 )( 0 ][ ???
求指数函数 f(t)=e－ αt, f(t)=eαt (α≥ 0,α 是常数 )的
拉普拉斯变换。
由拉氏变换定义式可得
此积分在 s>α 时收敛，有,
?
??
??? ?
?? ???
sdteeL
tst 1][
0
)(
?
??
??? ?
?? ??
sdteeL
tst 1][
0
)(
同理可得 f(t)=eαt 的 拉氏变换为,
sesdtedtettLsF
ststst 11)()]([)(
0
0
0 ??????
?
?
???
?
???
?
? ?? ??
求单位阶跃函数 f(t)=ε(t)、单位冲激函数 f(t)=δ(t),
正弦函数 f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为
同理，单位冲激函数的象函数为
1)()()]([)( )0(0 0 0 ????? ??? ??? ? ?? sstst edtetdtettLsF ???
22
0
22
0
)c o ss i n(
s i n][ s i n)(
?
?
????
??
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
sttss
e
dttetLsF
st
st
正弦函数 sin ωt的象函数为,
什么是拉普拉斯
变换？什么是拉
普拉斯反变换？
什么是原函数？
什么是象函数？
二者之间的关系
如何？
已知原函数求象函数
的过程称为拉普拉斯变
换；而已知象函数求原
函数的过程称为拉普拉
斯反变换。
原函数是时域函数，
一般用小写字母表示，
象函数是复频域函数，
用相应的大写字母表示。
原函数的拉氏变换为象
函数；象函数的拉氏反
变换得到的是原函数。
12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标,了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分
性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以
很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以
把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质
则函数，和的象函数分别为和设函数 )()()()( 2121 sFsFtftf
的象函数为：)()()( 21 tBftAftf ??
上式中的 A和 B为任意常数 (实数或复数 )。这一性质可
以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
),()()( 21 sBFsAFsF ??
的象函数。和求 ttfttf ?? c o s)(s i n)( 21 ??
可得：根据欧拉公式,tjte tj ??? s i nc o s ??
,2s i n jeet
tjtj ??
?
??
? 2c o s
tjtj ee
t
??
?
??
?
1][ ?? jseL tj ??由前面例题得出
1][ - ?? jseL tj ??
22222
1)11(
2
1][ s i n
?
?
?
??
??? ???
????
???? ss
jsjs
jjsjsjtL故
22)
11(
2
1][ c o s
???
?
?
?????
s
s
jsjstL同理：
2.微分性质
的拉氏变换为的导数则如果 dt tdftftfsFtfL )()(')(),()]([ ??
)0()(])([)]('[ ???? fssFdt tdfLtfL
)0()(
)()0(
))(()(
)(']
)(
[
0
0 0
0
fssF
dtetfsf
dtsetfetf
dtetf
dt
dtdf
L
st
stst
st
??
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以证明：
)()]('[ ssFtfL ?
导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算
转换成象函数乘以 s后减初值的代数运算。如果 f(0-)=0，则
有,
3.微分性质 (可参看课本 172页下至 173页上 )
课本 173页的表 12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，
在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性
质、延迟性质、频移性质等，由课本 P173页表 12.1表示了
这些性质的具体应用。
拉普拉斯变换有
哪些性质？
利用拉普拉
斯变换的性
质，对解决
问题有何种
效益？
利用拉普拉斯变换的
性质可以很方便地求得一
些较为复杂的函数的象函
数，同时也可以把线性常
系数微分方程变换为复频
域中的代数方程，利用这
些性质课本表 12.1中给出
了一些常用的时间函数的
拉氏变换。
12.3 拉普拉斯反变换
学习目标,了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏
反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象
函数 F(s)中求出原函数 f(t)，这就要用到拉氏反变换。
分解定理,利用拉氏变换表，将象函数 F(s)展开为简单分式
之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
nn
nn
mm
mm
bsbsbsb
asasasa
sF
sFsF
????
??????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
2
1
)(
)()(
?
?
其中 m和 n为正整数，且 n≥m。
把 F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项
式作因式分解，求出 F2(s)的根。 F2(s)的根可以是单
根、共轭复根和重根 3种情况，下面逐一讨论。
n
n
2
2
1
1)(
ps
k
ps
k
ps
ksF
??????????
???
?
???
?
???????? n
n
2
2
111 )()()( ps
k
ps
kpsksFps ?
1)]()[( 11 pssFpsk ???
2)]()[( 22 pssFpsk ???
npsnn sFpsk ??? )]()[(
1,F2(s)＝０有 n个单根
同理可得
设 n个单根分别为 p1,p2,…, pn,于是 F2(s)可以展开为
式中 k1,k2,k3…, kn 为待定系数。这些系数可以按下述
方法确定，即把上式两边同乘以 (s-p1)，得
……
令 s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
ipsii sFpsk ??? )]()[(
)('
)(
)('
)()(')(lim
)(
))((lim
2
1
2
11
2
1
i
ii
ps
i
psi pF
pF
sF
sFsFps
sF
pssFk
ii
??????
??
ni
sF
sFK
ips
i,，，,? 3 2 1 )('
)(
2
1 ??
?
tpntptp nekekeksFLtf ????? ? ?21 211 )]([)(
所求待定系数 ki为,
ni,,3,2,1 ??上式中,
另外把分部展开公式两边同乘 以 (s-pi),再令 s→ pi,然后
引用数学中的罗比塔法则，可得,
这样我们又可得到另一求解 ki的公式为,
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为,
。的原函数求 )(65 54)( 2 tfss ssF ?? ??
52s)('6554 2221 ??????? sFssFsF,，因为：
，代入公式可得：，的根为又由于 320)( 212 ????? ppsF
352 54)(' )(
22
1
1
1
??????
??? sps s
s
sF
sFk
752 54)(' )(
32
1
2
2
?????
??? sps s
s
sF
sFk
3
7
2
3)(
???
??
sssF得象函数为
tt eetf 32 73)( ?? ???得原函数为
???? jsjs sF
sFk
sF
sFk
-2
1
2
2
1
1 )('
)(
)('
)(
???
??,
2,F2(s)＝０有共轭复根
设共轭复根为 p1=α +jω, p2=α -jω,则
显然 k1,k2也为共轭复数，设 k1=|k1| ejθ1,k2=|k1|e-jθ1，则
)c o s (2
][
)(
11
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
2
)(
1
11
11
??
?
?????
??????
????
??
??
??
??
???
???
??
tek
eeek
eekeek
ekektf
t
tjtjt
tjjtjj
tjtj
为共轭复根，所以时, 210)( 212 jpsF ????
)6.262c o s (12.1)c o s (2)( 11 ?????? ? tetektf tt ???
。的原函数求 )(
52
)( 2 tf
ss
ssF
??
?
?6.26
212
1
1 56.025.05.022)('
)(
1
j
jsps
ej
s
s
sF
sFk ???
?
??
????
?6.26
12 56.0
1 jj eekk ?? ?? ?
|k1| =0.56,α =-1,ω =2,θ 1=26.6°,所以 原函数为
3,F2(s)＝０具有重根
设 p1为 F2(s)的重根, pi为其余单根 (i从 2开始 )，则 F(s)
可分解为,
对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定 k11、
k12，则需用下式,
???
?
???
? ????
?????? 2
2
2
1
11
1
12
)(
)( ps k
ps
k
ps
ksF
???
?
???
? ????
?
??????
2
22
111121
2
1 )()()()( ps
kpskkpssFps
1
)()( 2111 pssFpsk ???
1)]()[(
2
112 pssFpsds
dk
???
由上式把 k11单独分离出来，可得,
再对式子中 s进行一次求导，让 k12也单独分离出来，得,
如果 F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到
各系数，即,
1
])()[(
)!1(
1
11
1
1 ps
q
q
q
q sFpsds
d
q
k ??
?
?
?
?
参看课本 P175页例题 12.6。
在求拉氏反变换的
过程中，出现单根、
共轭复根和重根时
如何处理？
12.4 应用拉氏变换分析线性电路
学习目标,熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和
运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路
的方法。
时域条件下电阻电路有 uR=RiR，把该式进行拉氏变换
可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为,
1.电阻元件的运算电路
时域的电阻电路
12.4.1 单一参数的运算电路
+ )(sUR
)(sIR
－ + )(tu
R
)(tiR
－
复频域的电阻运算电路
同样成立。显然欧姆定律在复频域 )()( sRIsU RR ?
时域条件下电感电路 u,i关系,2.电感元件的运算电路
)0()(
1
)(
L
-0 LL
L
L
???
?
? iuLi
dt
di
Ltu
t
?
)(L ti
时域的电感电路
+ )(L tu －
L
+ )(
L sU
)(L sI
－
复频域 的电感运算电路 1
sL )0(L ?Li + -
复频域 的电感运算电路 2
)(L sU
)(L sI
si )0(L ?
+ -
sL
1
对时域条件下电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()()( LLL ??? Liss L IsU
s
isU
sLsI
)0()(1)( L
LL
???
由此得复频域运算电路,
运算阻抗
运算导纳
相应附加
电流源
相应附加
电压源
时域条件下电容电路 u,i关系,3.电容元件的运算电路
)0()(
1
)(
C
-0 CC
C
C
???
?
? uiCu
dt
du
Cti
t
?
对时域条件下电容电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()()( CCC ??? Cuss C UsI
s
usI
sCsU
)0()(1)( C
CC
???
由此得电容运算电路,
运算阻抗
运算导纳
相应附加
电流源
相应附加
电压源
时域的电容电路
+ )(C tu －
C ) ( C t i
+ )(
C sU
)(C sI
－
复频域 的电容运算电路 1
+ - s
u )0(C ?sC 1
+ -
sC
)0(C ?Cu
复频域 的电容运算电路 2
)(C sU
)(C sI
+ -
12.4.2 耦合电感的运算电路
时域的耦合电感电路
L1
*
L2
i1
u1
－
M
* i2 ＋
u2
－
＋
时域条件下耦合电感电路 u,i关系,
dt
diM
dt
diLu 21
11 ?? dt
diM
dt
diLu 12
22 ??
对时域的耦合电感电路 u,i关系式进行拉氏变换后可得,
)0()0()()()( 2112111 ?? ???? MiiLssM IsIsLsU
得
耦
合
电
感
运
算
电
路
附加电压源
)0()0()()()( 1221222 ?? ???? MiiLss M IsIsLsU
sL1
*
sL2
I1(s)
U1(s)
－
sM
*
I2(s)
＋
U2(s)
－
＋
)0(22 ?iL+
-
+
-
-
+
-
+
)0(11 ?iL
)0(2 ?Mi )0(1 ?Mi
12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路
拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它
将描述系统的时域微积分方程变换为 复频 域的代数方程，
更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分
别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全
响应。
应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下,
1.确定和计算各储能元件的初始条件；
2.将 t≥0时的时域电路变换为相应的运算电路 ；
3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响
应的象函数；
4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中
的待求响应。
A51110)0(L ????i
求下图所示电路在 t≥0时各支路上的电流响应。 (设开
关闭合以前电路已达稳态 )
ik
S
(t=0)
例题 电路图
1Ω
10V
－
＋
uC － ＋
1Ω 1Ω
1F
iC
iL
1H
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋ 1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s 1
首先确定动态元件的初始条件
V5151)0()0( LC ????? ?? iu
1
510
)1(
510
1
510
)(L ???????
?
? ssss ssssI
由此可得出相应运算电路如图示,
1
5
1
510
11
510
)(C
?
??
?
?
?
?
?
s
s
s
s
s
sssI
根据运算电路求两支路电流的象函数
对运算电路上结点列 KCL可得,
sssssIsIsI
10
1
5
1
510)()()(
CLk ????????
A10)(
A5)(
A510)(
L
C
L
?
?
??
?
?
ti
eti
eti
t
t
Ik(s)
例题 运算电路图
10s
－
＋
－
＋ 1
1
IC(s)
IL(s)
5s
s
－
＋
－
＋
5s
s 1 再对各支路电流进行拉氏反变换
V)]2(2)1()([)(S ????? ttttu ???求下图所示电路的 iL(t)。已知
例题 电路图
5H
－
＋
us(t)
1Ω
5Ω
画出 ε(t)作用下的运算电路并求解
根据运算电路求出 1/s作用下
运算电路的响应。
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1 s
5S
－
＋
1
5
ε (t)作用下的运算电路
1 s
对运算电路求 1/s作用下的响应,
，有，，可求得令 61 00)( 212 ???? ppsF
应用叠加原理可得电路响应为,
)61(
1
55
5
)305(
55
55
5
55
25
1
1
)(
L
sssss
s
s
s
s
s
sI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
1
121
1
) ] '([
)(
1
121
1
')(
)(
121')(
6
1
6
1
2
1
2
002
1
1
2
??
?
??
?
?
??
??
????
??
ss
ss
ssF
sF
k
ssF
sF
k
ssF
A)()1()( 6L teti
t
????运算响应为：
A)]2()1(2)1(
)1()()1[()(
6
2
6
1
6
L
????
????
?
?
?
??
tet
eteti
t
t
t
??
?
A
1.对单个正弦半波，能否求出其拉氏变
换？
2,对零状态线性电路进行复频域分析
时，能否用叠加原理？若为非零状
态，即运算电路中存在附加电源时
，能否用叠加原理？
单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范
畴，因此无法求出其拉氏变换。
零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定
理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零
状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响
应。
