第 5章 谐振电路
5.2 关联
谐振
5.1 RLC
串联电路
的基本关系
5.3 正弦交流
电路的最大
功率传输
5.4 谐振
电路的应用
本章教学目的及要求
从频率的角度分析 RLC串联电路和
并联电路；通过分析掌握 RLC电路产生
谐振的条件；熟悉谐振发生时谐振电路
的基本特性和频率特性；掌握谐振电路
的谐振频率和阻抗等电路参数的计算；
熟悉交流电路中负载获得最大功率的条
件。
学习目标,熟悉串联谐振电路产生谐振的条件，理
解串谐电路的基本特性和频率特性，掌握串谐时电路
频率和阻抗等的计算。
5.1 串联谐振
谐振的概念
含有电感 L 和电容 C 的电路，如果无功功率得到
完全的补偿,即端口电压和电流出现 同相 现象时，此
时电路的功率因数 cosφ=1，称电路处于 谐振 状态。
谐振电路在无线电工程和电子测量技术等许多电
路中应用非常广泛。
谐振 串联谐振,含有 L和 C的串联电路出现 u,i同相 并联谐振,含有 L和 C的并联电路出现 u,i同相
串联谐振电路
CU?
R
SU?
RU?
LU?
I?
L
C
串谐电路复阻抗,
??? /)1( ZjXRCLjRZ ??????
R
XXRZ
CLX a r c t a n
1 22 ????? ?
??,，
其中,
??
?
???????
??
?
//
Z/
0/ SSS IU
Z
U
Z
UI
串谐电路中的电流,
5.1.1 RLC串联电路的基本关系
由串谐电路复阻抗,
??? /)1( ZjXRCLjRZ ??????
00a r c t a n ??? XRX,即?
据前所述，谐振时 u,i同相,φ =0,
fCfLCL ???? 2
12 1 ?? 或
电抗等于 0时，必定有感抗与容抗相等,
5.1.2 串联谐振的条件
串谐条件
由串谐条件又可得到串谐时的电路频率为,
LC
1
2
1
00 ?? ?? 或LCf
RCLjRZ ???? )1( ??
C
L
C ???
1L
0
0 ???
2.由于谐振时电路阻抗最小，所以谐振电流 I0最大。
f0是 RLC串联谐振电路的固有频率，只与电路的
参数有关,与信号源无关。
由此可得使串联电路发生谐振的方法,
①调整信号源的频率，使它等于电路的固有频率；
②信号源频率不变，调整 L和 C值的大小，使电路中
的固有频率等于信号源的频率。
5.1.3 串联谐振电路的基本特性
1.串谐时由于 u,i同相，电路复阻抗为电阻性质,
3.特性阻抗 ρ 是衡量串谐电路性能的一个重要指标,
RR
LQ ?? ?? 0
4.品质因数 Q是衡量串谐电路性能的另一个重要指标,
品质因数 Q的大小可达几十至几百，一般为 50~200。
电路在串联谐振状态下，电路的感抗或容抗往往比电
阻大得多，因此,
SS0
S
00L0C0 QUURLR
ULIUU ????? ???
由于谐振电路的品质因数很高，所以可知动态元
件两端的电压在谐振状态下要比外加的信号源电压大
得多，因此通常也将串联谐振称为 电压谐振 。
已知 RLC串联电路中的 L=0.1mH,C=1000pF,R
为 10Ω,电源电压 US=0.1mV，若电路发生谐振,
求：电路的 f0,ρ,Q,UC0和 I0。
A10
10
101.0
mV16.31.06.31
6.31
10
316
316
101 0 0 0
101.0
K H z500
102
1
101 0 0 0101.02
1
2
1
3
S
0
SC0
0 1 2
3
13123
0
?
?
?
???
?
?
??
????
???
??
?
?
??
??
???
??
?
?
???
R
U
I
QUU
R
Q
C
L
LC
f
5.1.4 串联谐振回路的能量特性
tItRUi 0m00Sm0 si nsi n ?? ??
设串谐时回路电流 为,
)(s i n 022m020R tRIRip ???电阻上的瞬时功率 为,
R022m00m00Sm0S )(s i ns i ns i n ptRItItUiup ????? ???
电源向电路供出的瞬时功率 为,
* 可见，谐振状态下电源供给电路的有功功率全
部消耗在电阻元件上。
)(si n2121 022m020L tLILiw ???
谐振时 L上的磁场能量
)(c o s2121 022m020C tLICuw C ???谐振时 C上的电场能量
2
m
2
m0
0
22
m00
22
m0CL
2
1
2
1
)(c o s
2
1
)(s i n
2
1
CCULI
tLItLIwwW
??
???? ??
谐振时磁场能量和电场能量的总和为,
? 此式说明，在串联谐振状态下，由于电感元件两
端的电压与电容元件两端的电压大小相等、相位相
反，因此，电感元件储存磁场能量时，恰逢电容元
件放电；电感元件释放磁场能量时又恰逢电容元件
充电，两个动态元件上不断地进行能量转换，在整
个串联谐振的过程中，存储能量的总和始终保持不
变。
5.1.5 串联谐振电路的频率特性
)1(2 CLRZ ?? ???
1.回路阻抗与频率之间的特性曲线
RLC串联电路的阻抗为,
阻抗及其各部分用曲线可表示为,
|Z|,R,X
ω 0
R
ωL
ωC
1 ω 0
|Z| 由 RLC串联电路的阻抗特性
曲线可看出：电阻 R不随频率变
化 ；感抗 XL与频率成正比 ；容抗
XC与频率成反比,阻抗 |Z|在谐振
之前呈容性（电抗为负值），谐
振之后呈感性（电抗为正值）,
谐振发生时等于电阻 R，此时电
路阻抗为 纯电阻性质 。
2
0
0
0
S
22
SS
1
)
1
(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
??
?
?
R
L
R
U
C
LR
U
Z
U
I
2.回路电流与频率的关系曲线
R
UI S
0 ?
RLC串谐电路谐振时的电流
2
0
0
2
2
0
0
2
0
1
1
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
??
f
f
f
f
QRQ
I
I
?
?
?
?
电路谐振时，串谐电路中的电流达到最大，为了便
于比较不同参数下串谐电路的特性，有,
2
0
0
2
2
0
0
2
0
1
1
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
??
f
f
f
f
QRQ
I
I
?
?
?
?
上式表示在直角坐标系中，即可得到 I—ω谐振
特性曲线如下图所示,
1
1 ω 0 0
ω
I0
I
Q小
Q大
从 I—ω谐振特性曲线可看出，
电流的最大值 I0出现在谐振
点 ω0处，只要偏离谐振角频
率，电流就会衰减，而且衰
减的程度取决于电路的品质
因数 Q。即,Q大 电路的 选
择性好 ； Q小 电路的 选择性
差 。
3.回路电流相位与频率的关系曲线
???
?
???
? ???
???
?
???
? ??????
?
?
?
?
?
?
?
????? 0
0
1-0
0
0
1-1- t a n1t a n
1
t a n QL
RR
C
L
i
若输入电压的初相为 0时，回路电流的初相等于
阻抗相位的负值，如上式所示。
电路的相频特性如右图所示
90°
－ 90°
ω 0
ω
?
4.通频带
在无线电技术中，要求电路具
有较好的选择性，常常需要采用较
高 Q值的谐振电路。
0f1f
707.0
I
f0 0
f
I0
I
1
2f
但是，实际的信号都具有
一定的频率范围，如电话线路
中传输的音频信号，频率范围
一般为 3.4KHz，广播音乐的频
率大约是 30Hz~15KHz。这说明 实际的信号都占有一
定的频带宽度 。为了不失真地传输信号，保证信号中
的各个频率分量都能顺利地通过电路，通常规定当电
流衰减到 最大值的 0.707倍 时，所对应的一段频率范围
称为 通频带 B。
12 ffB ??
其中 f2和 f1是通频带的上、下边界。
实践和理论都可以证明,
Q
fB 0?
可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
? ????
品质因数 Q愈大，通频带宽度愈窄，曲线愈尖
锐，电路的选择性能愈好； Q值愈小，通频带宽度
愈大，曲线愈平坦，选择性能愈差；但 Q值过高又
极易造成通频带过窄而使传输信号不能完全通过，
从而造成失真。
显然通频带 B和品质因数 Q是一对矛盾，实际当
中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。
结论
RLC串谐回路中的 L=310μH，欲接收载波 f=540
KHz的电台信号，问这时的调谐电容 C=？若回路
Q=50时该台信号感应电压为 1mV，同时进入调谐回路
的另一电台信号频率为 600KHz，其感应电压也为 1mV
，问两信号在回路中产生的电流各为多大？
(1)由谐振频率公式可得,
PF280
10310)105402(
1
)2(
1
2
1
6232
0
0
?
????
???
?
???
?
Lf
C
LC
f?
(3)600KHz的信号在回路中产生的电流为,
A51.4
6 0 0
5 4 0
5 4 0
6 0 0
501
6.47
1
1
2
2
2
0
0
2
0 ??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
?
f
f
f
f
Q
II
此例说明，当信号源的感应电压值相同、而频率
不同时，电路的选择性使两信号在回路中所产生的电
流相差 10倍以上。因此，电流小的电台信号就会被抑
制掉，而发生谐振的电台信号自然就被选择出来。
(2)540KHz的信号在回路中产生的是谐振电流,
A6.47
103101054028.6
1050
2 63
3
0
SSS
0 ??? ?????
?????
?
?
Lf
QU
Q
U
R
UI
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
串联谐振应用举例
其中,
L1：收音机接收电路的接
收天线；
L2和 C：组成收音机的谐振
电路；
L3：将选择出来的电台信
号送到接收电路。
1L
2L 3L
C
e1
RL2
L2
e2
e3
C
三个感应电动
势来自于三个
不同的电台在
空中发射的电
磁波。
L2和 C 组成收
音机选频（调
台）电路，通
过调节不同的
C值选出所需
电台。
? ? 222
1
Lf
C
?
??
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
问题,如果要收听 e1节目,C应调节为多大？
e1
RL2
L2
e2
e3
C
已知,L2=250μH,RL2=20Ω,
f1=820KHz。
CL
f
2
1 2
1
?
??
结论,当 C调到 150pF时，即可收到 e1的节目。
1.RLC串联电路发生谐振的条件是什么？如何使电
路发生谐振？
2.串联谐振电路谐振时的基本我有哪些？
3.RLC串谐电路的品质因数 Q与电路的频率特性曲线
有何关系？是否影响通频带？
串谐电路在谐振时动态元件两端的电压分别是电路总电
压的 Q倍，是高 Q串谐电路的特征之一，与基尔霍夫定律并不
矛盾。因为串谐时 UL=UC，且相位相反，因此二者作用相互
抵消，电源总电压等于电阻两端电压 UR=U。
4.已知 RLC串谐电路的品质因数 Q=200,当电路发生谐
振时,L和 C上的电压值均大于回路的电源电压，这
是否与基尔霍夫定律有矛盾？
学习目标,熟悉并联谐振电路产生谐振的条件，理
解并谐电路的基本特性和频率特性，掌握并谐时电路
频率特性及品质因数和通频带之间的关系等。
5.2 并联谐振
串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的
情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严
重地降低回路的品质因素，使选择性显著变坏（通频
带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。
右图所示为并联谐振电路
的一般形式，当电路出现总电
流和路端电路同相位时，称电
路发生并联谐振。
5.2.1 并联谐振电路的谐振条件
U?
I?
RLI?
CI?
L
R
C
? ? ? ?
jBG
Lr
L
Cj
Lr
r
Cj
Ljr
Y
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2222
1
?
?
?
?
?
?
并联谐振电路的复导纳,
若要并谐电路发生谐振，复导纳虚部应为零。即,
? ? 202
0
0 Lr
LC
?
??
?
?
并谐电路中 r很小，所以
LC 00
1
?? ?
由此可导出并谐条件为,
CL
1
0 ??
或
CLf ?2
1
0 ?
U?
I?
RLI?
CI?r
ω C -j 1 ω L j
显然，并谐条件近似等于串谐条件。因此由同样大小
的 L和 C分别组成串、并谐电路时，两电路 f0相等。
RC
Lr ?
实际的并联谐振电路还可以根据 等效条件变换 为,
rC
L
r
L
LC
r
L
r
Lr
R
?
?
?
?
?
?
2
2
0
2
0
2
1
)()( ??
U?
I?
ω L -j 1
ω C j
R U?
I?
RLI?
CI?r
ω C -j 1 ω L j
两电路中的电阻关系为,
以及
5.2.2 并联谐振电路的 基本 特性
1.并联谐振发生时，电路 阻抗最大 (导纳最小 )，且
呈纯电阻性（理想情况 r=0时，阻抗无穷大）；
2.并联谐振发生时，由于阻抗最大，因此当电路中
总电流一定时,路端电压最大,且与电流同相。
3.并联时电感、电容支路出现 过电流现象,其两支
路电流分别为电路总电流的 Q倍；
RrQrCLZZ ???? 2m a x0
Q为电路的 品质因数,
R
CR
L
R
r
LQ ???
0
0
?
?
两支路电流,
LC
???? ??? IjQIIjQI
上述分析均是以等效的并联电路为研究对象。
5.2.3 并联谐振电路的 频率 特性
并联谐振 电路的电压 幅频特性 为,
2
0
0
2
0
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
f
f
f
f
Q
U
U
并联谐振 电路的 相频特性 为,
???
?
???
? ???
f
f
f
fQ 0
0
0 a r c t a n?
?
Z
I
0?
思考,时
为什么是感性？ 0
?? ?
f
I
0?
问,在串联谐振电
路中，何时电路呈
感性、电阻性、容
性？
并联谐振 电路的 谐振特性曲线 为,
感性 容性 电阻性
5.2.5 电源内阻对并联谐振电路的 影响
并谐电路的信号源总
是存在内阻的，信号源内
阻将降低并谐回路的并联
等效电阻 R值，从而使 Q
值降低，选择性变差。
当并谐电路接入信号源后，阻抗变为,
S0 // RRZ ?
电路品质因数随之变为,
L
RRQ
0
S//
??低，电路的选择性变差，但是电路的通频带展宽。
结论,
并联谐振电路只适宜配合 高内阻信号源 工作。
显然品质因数降
ω L -j 1
ω C j
R
RS
US · ＋
－
读图练习,六管超外差式晶体管收音机
输入电路
高放
变频
中放 检波 低放 功放
T1 方框图 T
3 T2 T4 T6 T5 D
T1 T2 T3 T4
T5
T6
R1
R2 R3
R4
R5 RW R6
R7
R8 R9
R10
R11
R12 R13
R14
R15
R16
R17
6V
D
线路图
1.如果信号源的频率大于、小于及等于并联谐振回
路的谐振频率时，问回路将呈现何种性质？
2.为什么称并联谐振为电流谐振？相同的 Q值并联谐
振电路，在长波段和短波段，通频带是否相同？
3.RLC并联谐振等效电路的两端并联一个负载电阻
RL时，是否会改变电路的 Q值？
并谐电路在谐振时支路电流分别是电路总电流的 Q倍，因
之称 电流谐振 。相同 Q值的并联谐振电路，由于在长波段和短
波段中的谐振频率 f0不同,因此，通频带 B=f0/Q也各 不相同 。
RLC并联等效的谐振电路两端若并联一负载电阻 RL，并谐
电路中的并联等效电阻 R‘将减小，根据 Q0=R’/ω 0L可知，电路
的品质因数 Q值要降低 。
学习目标,理解正弦交流电路处于什么状态时负载
具备获得最大功率的条件。
5.3 正弦交流电路的最大功率传输
图中正弦交流电路的电源阻抗,
SSS jXRZ ??Z
L
ZS
US ·
＋
－
I ·
负载阻抗,
LLL jXRZ ??
通过电路的电源流,
)()( LSLS
S
XXjRR
UI
???
?
负载从电源获取的有功功率为
)()( LSLS
L
2
S
L
2
L XXjRR
RURIP
?????
ZL
ZS
US ·
＋
－
I ·
)()( LSLS
L
2
S
L
2
L XXjRR
RURIP
?????
由上式可推导出负载从电源获取
最大功率的条件是,
SLSL XXRR ??,
或
*SL ZZ ?
在满足负载从电源获取最大功率的条件下，负
载上获得的最大功率是,
S
2
S
L m a x 4 R
UP ?
当负载为纯电阻时
SL ZR ?
此时负载获得的最大功率
2
S
2
SS
SS
L ma x )( XZR
ZU
P
??
?
学习目标,了解谐振电路的基本应用。
5.4 谐振电路的应用
1,用于信号的选择
2,用于元器件的测量
3,提高功率的传输效率
信号在传输的过程中，不可避免要受到一定的干
扰，使信号中混入了一些不需要的干扰信号。利用谐
振特性，可以将大部分干扰信号滤除。 参看课本 82页。
Q表就是一个典型的例子。利用谐振电路特性,
可以测量出电感性元器件上 Q值的大小及电感量的大
小。 参看课本 82~83页。
利用谐振状态下，电感的磁场能量与电容的电场
能量实现完全交换这一特点，电源输出的功率全部消
耗在负载电阻上，从而实现最大功率传输。
课后练习题及作业,5.1,5.2,5.3,5.4,5.6,5.8
5.2 关联
谐振
5.1 RLC
串联电路
的基本关系
5.3 正弦交流
电路的最大
功率传输
5.4 谐振
电路的应用
本章教学目的及要求
从频率的角度分析 RLC串联电路和
并联电路；通过分析掌握 RLC电路产生
谐振的条件；熟悉谐振发生时谐振电路
的基本特性和频率特性；掌握谐振电路
的谐振频率和阻抗等电路参数的计算；
熟悉交流电路中负载获得最大功率的条
件。
学习目标,熟悉串联谐振电路产生谐振的条件，理
解串谐电路的基本特性和频率特性，掌握串谐时电路
频率和阻抗等的计算。
5.1 串联谐振
谐振的概念
含有电感 L 和电容 C 的电路，如果无功功率得到
完全的补偿,即端口电压和电流出现 同相 现象时，此
时电路的功率因数 cosφ=1，称电路处于 谐振 状态。
谐振电路在无线电工程和电子测量技术等许多电
路中应用非常广泛。
谐振 串联谐振,含有 L和 C的串联电路出现 u,i同相 并联谐振,含有 L和 C的并联电路出现 u,i同相
串联谐振电路
CU?
R
SU?
RU?
LU?
I?
L
C
串谐电路复阻抗,
??? /)1( ZjXRCLjRZ ??????
R
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CLX a r c t a n
1 22 ????? ?
??,，
其中,
??
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???????
??
?
//
Z/
0/ SSS IU
Z
U
Z
UI
串谐电路中的电流,
5.1.1 RLC串联电路的基本关系
由串谐电路复阻抗,
??? /)1( ZjXRCLjRZ ??????
00a r c t a n ??? XRX,即?
据前所述，谐振时 u,i同相,φ =0,
fCfLCL ???? 2
12 1 ?? 或
电抗等于 0时，必定有感抗与容抗相等,
5.1.2 串联谐振的条件
串谐条件
由串谐条件又可得到串谐时的电路频率为,
LC
1
2
1
00 ?? ?? 或LCf
RCLjRZ ???? )1( ??
C
L
C ???
1L
0
0 ???
2.由于谐振时电路阻抗最小，所以谐振电流 I0最大。
f0是 RLC串联谐振电路的固有频率，只与电路的
参数有关,与信号源无关。
由此可得使串联电路发生谐振的方法,
①调整信号源的频率，使它等于电路的固有频率；
②信号源频率不变，调整 L和 C值的大小，使电路中
的固有频率等于信号源的频率。
5.1.3 串联谐振电路的基本特性
1.串谐时由于 u,i同相，电路复阻抗为电阻性质,
3.特性阻抗 ρ 是衡量串谐电路性能的一个重要指标,
RR
LQ ?? ?? 0
4.品质因数 Q是衡量串谐电路性能的另一个重要指标,
品质因数 Q的大小可达几十至几百，一般为 50~200。
电路在串联谐振状态下，电路的感抗或容抗往往比电
阻大得多，因此,
SS0
S
00L0C0 QUURLR
ULIUU ????? ???
由于谐振电路的品质因数很高，所以可知动态元
件两端的电压在谐振状态下要比外加的信号源电压大
得多，因此通常也将串联谐振称为 电压谐振 。
已知 RLC串联电路中的 L=0.1mH,C=1000pF,R
为 10Ω,电源电压 US=0.1mV，若电路发生谐振,
求：电路的 f0,ρ,Q,UC0和 I0。
A10
10
101.0
mV16.31.06.31
6.31
10
316
316
101 0 0 0
101.0
K H z500
102
1
101 0 0 0101.02
1
2
1
3
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0
SC0
0 1 2
3
13123
0
?
?
?
???
?
?
??
????
???
??
?
?
??
??
???
??
?
?
???
R
U
I
QUU
R
Q
C
L
LC
f
5.1.4 串联谐振回路的能量特性
tItRUi 0m00Sm0 si nsi n ?? ??
设串谐时回路电流 为,
)(s i n 022m020R tRIRip ???电阻上的瞬时功率 为,
R022m00m00Sm0S )(s i ns i ns i n ptRItItUiup ????? ???
电源向电路供出的瞬时功率 为,
* 可见，谐振状态下电源供给电路的有功功率全
部消耗在电阻元件上。
)(si n2121 022m020L tLILiw ???
谐振时 L上的磁场能量
)(c o s2121 022m020C tLICuw C ???谐振时 C上的电场能量
2
m
2
m0
0
22
m00
22
m0CL
2
1
2
1
)(c o s
2
1
)(s i n
2
1
CCULI
tLItLIwwW
??
???? ??
谐振时磁场能量和电场能量的总和为,
? 此式说明，在串联谐振状态下，由于电感元件两
端的电压与电容元件两端的电压大小相等、相位相
反，因此，电感元件储存磁场能量时，恰逢电容元
件放电；电感元件释放磁场能量时又恰逢电容元件
充电，两个动态元件上不断地进行能量转换，在整
个串联谐振的过程中，存储能量的总和始终保持不
变。
5.1.5 串联谐振电路的频率特性
)1(2 CLRZ ?? ???
1.回路阻抗与频率之间的特性曲线
RLC串联电路的阻抗为,
阻抗及其各部分用曲线可表示为,
|Z|,R,X
ω 0
R
ωL
ωC
1 ω 0
|Z| 由 RLC串联电路的阻抗特性
曲线可看出：电阻 R不随频率变
化 ；感抗 XL与频率成正比 ；容抗
XC与频率成反比,阻抗 |Z|在谐振
之前呈容性（电抗为负值），谐
振之后呈感性（电抗为正值）,
谐振发生时等于电阻 R，此时电
路阻抗为 纯电阻性质 。
2
0
0
0
S
22
SS
1
)
1
(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
??
?
?
R
L
R
U
C
LR
U
Z
U
I
2.回路电流与频率的关系曲线
R
UI S
0 ?
RLC串谐电路谐振时的电流
2
0
0
2
2
0
0
2
0
1
1
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
??
f
f
f
f
QRQ
I
I
?
?
?
?
电路谐振时，串谐电路中的电流达到最大，为了便
于比较不同参数下串谐电路的特性，有,
2
0
0
2
2
0
0
2
0
1
1
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
??
f
f
f
f
QRQ
I
I
?
?
?
?
上式表示在直角坐标系中，即可得到 I—ω谐振
特性曲线如下图所示,
1
1 ω 0 0
ω
I0
I
Q小
Q大
从 I—ω谐振特性曲线可看出，
电流的最大值 I0出现在谐振
点 ω0处，只要偏离谐振角频
率，电流就会衰减，而且衰
减的程度取决于电路的品质
因数 Q。即,Q大 电路的 选
择性好 ； Q小 电路的 选择性
差 。
3.回路电流相位与频率的关系曲线
???
?
???
? ???
???
?
???
? ??????
?
?
?
?
?
?
?
????? 0
0
1-0
0
0
1-1- t a n1t a n
1
t a n QL
RR
C
L
i
若输入电压的初相为 0时，回路电流的初相等于
阻抗相位的负值，如上式所示。
电路的相频特性如右图所示
90°
－ 90°
ω 0
ω
?
4.通频带
在无线电技术中，要求电路具
有较好的选择性，常常需要采用较
高 Q值的谐振电路。
0f1f
707.0
I
f0 0
f
I0
I
1
2f
但是，实际的信号都具有
一定的频率范围，如电话线路
中传输的音频信号，频率范围
一般为 3.4KHz，广播音乐的频
率大约是 30Hz~15KHz。这说明 实际的信号都占有一
定的频带宽度 。为了不失真地传输信号，保证信号中
的各个频率分量都能顺利地通过电路，通常规定当电
流衰减到 最大值的 0.707倍 时，所对应的一段频率范围
称为 通频带 B。
12 ffB ??
其中 f2和 f1是通频带的上、下边界。
实践和理论都可以证明,
Q
fB 0?
可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
? ????
品质因数 Q愈大，通频带宽度愈窄，曲线愈尖
锐，电路的选择性能愈好； Q值愈小，通频带宽度
愈大，曲线愈平坦，选择性能愈差；但 Q值过高又
极易造成通频带过窄而使传输信号不能完全通过，
从而造成失真。
显然通频带 B和品质因数 Q是一对矛盾，实际当
中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。
结论
RLC串谐回路中的 L=310μH，欲接收载波 f=540
KHz的电台信号，问这时的调谐电容 C=？若回路
Q=50时该台信号感应电压为 1mV，同时进入调谐回路
的另一电台信号频率为 600KHz，其感应电压也为 1mV
，问两信号在回路中产生的电流各为多大？
(1)由谐振频率公式可得,
PF280
10310)105402(
1
)2(
1
2
1
6232
0
0
?
????
???
?
???
?
Lf
C
LC
f?
(3)600KHz的信号在回路中产生的电流为,
A51.4
6 0 0
5 4 0
5 4 0
6 0 0
501
6.47
1
1
2
2
2
0
0
2
0 ??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
??
?
f
f
f
f
Q
II
此例说明，当信号源的感应电压值相同、而频率
不同时，电路的选择性使两信号在回路中所产生的电
流相差 10倍以上。因此，电流小的电台信号就会被抑
制掉，而发生谐振的电台信号自然就被选择出来。
(2)540KHz的信号在回路中产生的是谐振电流,
A6.47
103101054028.6
1050
2 63
3
0
SSS
0 ??? ?????
?????
?
?
Lf
QU
Q
U
R
UI
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
串联谐振应用举例
其中,
L1：收音机接收电路的接
收天线；
L2和 C：组成收音机的谐振
电路；
L3：将选择出来的电台信
号送到接收电路。
1L
2L 3L
C
e1
RL2
L2
e2
e3
C
三个感应电动
势来自于三个
不同的电台在
空中发射的电
磁波。
L2和 C 组成收
音机选频（调
台）电路，通
过调节不同的
C值选出所需
电台。
? ? 222
1
Lf
C
?
??
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
问题,如果要收听 e1节目,C应调节为多大？
e1
RL2
L2
e2
e3
C
已知,L2=250μH,RL2=20Ω,
f1=820KHz。
CL
f
2
1 2
1
?
??
结论,当 C调到 150pF时，即可收到 e1的节目。
1.RLC串联电路发生谐振的条件是什么？如何使电
路发生谐振？
2.串联谐振电路谐振时的基本我有哪些？
3.RLC串谐电路的品质因数 Q与电路的频率特性曲线
有何关系？是否影响通频带？
串谐电路在谐振时动态元件两端的电压分别是电路总电
压的 Q倍，是高 Q串谐电路的特征之一，与基尔霍夫定律并不
矛盾。因为串谐时 UL=UC，且相位相反，因此二者作用相互
抵消，电源总电压等于电阻两端电压 UR=U。
4.已知 RLC串谐电路的品质因数 Q=200,当电路发生谐
振时,L和 C上的电压值均大于回路的电源电压，这
是否与基尔霍夫定律有矛盾？
学习目标,熟悉并联谐振电路产生谐振的条件，理
解并谐电路的基本特性和频率特性，掌握并谐时电路
频率特性及品质因数和通频带之间的关系等。
5.2 并联谐振
串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的
情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严
重地降低回路的品质因素，使选择性显著变坏（通频
带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。
右图所示为并联谐振电路
的一般形式，当电路出现总电
流和路端电路同相位时，称电
路发生并联谐振。
5.2.1 并联谐振电路的谐振条件
U?
I?
RLI?
CI?
L
R
C
? ? ? ?
jBG
Lr
L
Cj
Lr
r
Cj
Ljr
Y
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2222
1
?
?
?
?
?
?
并联谐振电路的复导纳,
若要并谐电路发生谐振，复导纳虚部应为零。即,
? ? 202
0
0 Lr
LC
?
??
?
?
并谐电路中 r很小，所以
LC 00
1
?? ?
由此可导出并谐条件为,
CL
1
0 ??
或
CLf ?2
1
0 ?
U?
I?
RLI?
CI?r
ω C -j 1 ω L j
显然，并谐条件近似等于串谐条件。因此由同样大小
的 L和 C分别组成串、并谐电路时，两电路 f0相等。
RC
Lr ?
实际的并联谐振电路还可以根据 等效条件变换 为,
rC
L
r
L
LC
r
L
r
Lr
R
?
?
?
?
?
?
2
2
0
2
0
2
1
)()( ??
U?
I?
ω L -j 1
ω C j
R U?
I?
RLI?
CI?r
ω C -j 1 ω L j
两电路中的电阻关系为,
以及
5.2.2 并联谐振电路的 基本 特性
1.并联谐振发生时，电路 阻抗最大 (导纳最小 )，且
呈纯电阻性（理想情况 r=0时，阻抗无穷大）；
2.并联谐振发生时，由于阻抗最大，因此当电路中
总电流一定时,路端电压最大,且与电流同相。
3.并联时电感、电容支路出现 过电流现象,其两支
路电流分别为电路总电流的 Q倍；
RrQrCLZZ ???? 2m a x0
Q为电路的 品质因数,
R
CR
L
R
r
LQ ???
0
0
?
?
两支路电流,
LC
???? ??? IjQIIjQI
上述分析均是以等效的并联电路为研究对象。
5.2.3 并联谐振电路的 频率 特性
并联谐振 电路的电压 幅频特性 为,
2
0
0
2
0
1
1
??
?
?
??
?
?
??
?
f
f
f
f
Q
U
U
并联谐振 电路的 相频特性 为,
???
?
???
? ???
f
f
f
fQ 0
0
0 a r c t a n?
?
Z
I
0?
思考,时
为什么是感性？ 0
?? ?
f
I
0?
问,在串联谐振电
路中，何时电路呈
感性、电阻性、容
性？
并联谐振 电路的 谐振特性曲线 为,
感性 容性 电阻性
5.2.5 电源内阻对并联谐振电路的 影响
并谐电路的信号源总
是存在内阻的，信号源内
阻将降低并谐回路的并联
等效电阻 R值，从而使 Q
值降低，选择性变差。
当并谐电路接入信号源后，阻抗变为,
S0 // RRZ ?
电路品质因数随之变为,
L
RRQ
0
S//
??低，电路的选择性变差，但是电路的通频带展宽。
结论,
并联谐振电路只适宜配合 高内阻信号源 工作。
显然品质因数降
ω L -j 1
ω C j
R
RS
US · ＋
－
读图练习,六管超外差式晶体管收音机
输入电路
高放
变频
中放 检波 低放 功放
T1 方框图 T
3 T2 T4 T6 T5 D
T1 T2 T3 T4
T5
T6
R1
R2 R3
R4
R5 RW R6
R7
R8 R9
R10
R11
R12 R13
R14
R15
R16
R17
6V
D
线路图
1.如果信号源的频率大于、小于及等于并联谐振回
路的谐振频率时，问回路将呈现何种性质？
2.为什么称并联谐振为电流谐振？相同的 Q值并联谐
振电路，在长波段和短波段，通频带是否相同？
3.RLC并联谐振等效电路的两端并联一个负载电阻
RL时，是否会改变电路的 Q值？
并谐电路在谐振时支路电流分别是电路总电流的 Q倍，因
之称 电流谐振 。相同 Q值的并联谐振电路，由于在长波段和短
波段中的谐振频率 f0不同,因此，通频带 B=f0/Q也各 不相同 。
RLC并联等效的谐振电路两端若并联一负载电阻 RL，并谐
电路中的并联等效电阻 R‘将减小，根据 Q0=R’/ω 0L可知，电路
的品质因数 Q值要降低 。
学习目标,理解正弦交流电路处于什么状态时负载
具备获得最大功率的条件。
5.3 正弦交流电路的最大功率传输
图中正弦交流电路的电源阻抗,
SSS jXRZ ??Z
L
ZS
US ·
＋
－
I ·
负载阻抗,
LLL jXRZ ??
通过电路的电源流,
)()( LSLS
S
XXjRR
UI
???
?
负载从电源获取的有功功率为
)()( LSLS
L
2
S
L
2
L XXjRR
RURIP
?????
ZL
ZS
US ·
＋
－
I ·
)()( LSLS
L
2
S
L
2
L XXjRR
RURIP
?????
由上式可推导出负载从电源获取
最大功率的条件是,
SLSL XXRR ??,
或
*SL ZZ ?
在满足负载从电源获取最大功率的条件下，负
载上获得的最大功率是,
S
2
S
L m a x 4 R
UP ?
当负载为纯电阻时
SL ZR ?
此时负载获得的最大功率
2
S
2
SS
SS
L ma x )( XZR
ZU
P
??
?
学习目标,了解谐振电路的基本应用。
5.4 谐振电路的应用
1,用于信号的选择
2,用于元器件的测量
3,提高功率的传输效率
信号在传输的过程中，不可避免要受到一定的干
扰，使信号中混入了一些不需要的干扰信号。利用谐
振特性，可以将大部分干扰信号滤除。 参看课本 82页。
Q表就是一个典型的例子。利用谐振电路特性,
可以测量出电感性元器件上 Q值的大小及电感量的大
小。 参看课本 82~83页。
利用谐振状态下，电感的磁场能量与电容的电场
能量实现完全交换这一特点，电源输出的功率全部消
耗在负载电阻上，从而实现最大功率传输。
课后练习题及作业,5.1,5.2,5.3,5.4,5.6,5.8
