第 3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.2 正弦量
的有效值
3.1 正弦
交流电路的
基本概念
3.3 交流
电路中的
常用元件
本章学习目的及要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析
方法是学习电路分析的重要内容之一，应
很好掌握。通过本章的学习，要求理解正
弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的
表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌
握单一参数及非单一参数的一般正弦交流
电路的分析与计算方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念
前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流
电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流
电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示,
u,i
t 0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常
其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动
直流电，如图所示。
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称
为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变
化正弦电压和正弦电流。表达式为,
)s i n ( um tUu ?? ??
)s i n ( im tIi ?? ??
u,i
t 0
3.1.1 正弦量的三要素
1,正弦交流电的周期、频率和角频率
角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系,
f
T
??? 22 ??
周期 T,正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系,
T
f
1
?
2,正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
)s i n ()( im tIti ?? ??
III
U
U
U
4 1 4.12
7 0 7.0
2
m
m
m
??
??
瞬时值 是以解析式表示的,
最大值 就是上式中的 Im,Im反映了正弦量 振荡的幅度 。
有效值 指 与交流电热效应相同的直流电数值 。
R i
交流电 i 通过电阻 R时，在 t
时间内产生的热量为 Q
R I 例
直流电 I 通过相同电阻 R时，在
t 时间内产生的热量也为 Q
即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流 i 的 有效
值 。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明,
3,正弦交流电的相位、初相和相位差
正弦量解析式中随时间变化的电角度 (ωt+φ )。
)s i n ( ),s i n ( imum tIitUu ???? ????
iuiu tt ??????? ?????? )()(
相位,
t=0时的相位 φ，它确定了正弦量计时始的位置。 初相,
两个同频率正弦量之间的相位之差。 相位差,
例
相位 初相
u,i 的相位差为,
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初
相之差。
I = U R
i = u R
3.3.1 电阻元件
3.3 交流电路中的常用元件
1,电阻元件上的电压、电流关系 i
R u
tUu ?s i n2?
tItR URui ?? s i ns i n2 m???
电压、电流的瞬时值表达式为,
由两式可推出, 电阻元件上电压, 电流的相位上
存在同相关系；数量上符合欧姆定律, 即,
2,功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
tUIUI
tItUiup
?
??
2c o s
s i ns i n mm
??
????
（ 1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
则
结论,1,p随时间变化； 2,p≥0,为耗能元件。
u
i
p=UI-UIcos2? t
ω t
UI
－ UIcos2? t
uip
2.平均功率（有功功率） P (一个周期内的平均值 )
tUIUI
tItUiup
?
??
2c o s
s i ns i n mm
??
????
由, 可得, P = UI
例 求：,220V,100W” 和,220V,40W” 灯泡的电阻？
平均功率用大写！
????
????
1 2 1 0
40
2 2 0
4 8 4
1 0 0
2 2 0
22
40
22
1 0 0
P
U
R
P
U
R
解,
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也
称之为 有功功率 。
i
安 (A)
韦伯 (Wb)
亨利 (H)
N 自感系数
+
–
u ? ?
L= i N?
在图示 u,i, e 假定参考方向的前提下，当通
过线圈的 磁通 或 i 发生 变化 时，线圈中产生感应电
动势为,
L
+
–
u
i
– e
L
+
L 称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越
大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
3.3.2 电感元件
1,自感系数和电磁感应
dt
diL
dt
dNe ???? ?
L
i
u L
)90s i n (
c o s
)s i n(
Lm
m
m
L
???
?
??
tU
tLI
dt
tId
L
dt
di
Lu
?
??
?
2,电感元件上的电压、电流关系
tIi ?s i n2?
设通过 L中的电流为,
则 L两端的电压为,
由式可推出 L上电压
电流之间的相位上存
在 90° 的正交关系,
且电压超前电流。
电压电流之间的数量关系,ULm=Imωt =ImXL
其中 XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称
感抗,单位和电阻一样，也是 欧姆 。
由于 L上 u,i 为动态关
系，所以 L 是 动态元件 dtdiLeu ??? LL
电感元件上电压、电流的有效值关系为,
XL=2πf L=ωL,虽然式中感抗和电阻类似，等于元
件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电
阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了
电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作
用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元
件的时间。
感抗与哪些
因素有关？
XL与 频率 成 正比 ；与 电感量 L成 正比
直流情
况下感
抗为多
大？
I
UX L
L ?
直流下频率 f =0，所以
XL=0。 L 相当于短路 。
3,电感元件的功率
u
tUu
tIi
?
?
c o s
s i n
LmL
m
?
?
tIU
tItUiup
?
??
2sin
sinc o s
L
mLmL
?
????
（ 1）瞬时功率 p
则
i p=ULIsin2? t
ω t
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
电感元件上只有
能量交换而不耗
能，为 储能元件
结论,
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,L吸
收的电能等于它释放的磁
场能。
P = 0，电感元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
问题与讨论 1,电源电压不变，当电路的频率变化时,
通过电感元件的电流发生变化吗？
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
（ 3） 无功功率 QL （单位为乏尔 Var）
2,能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？
f 变化时 XL随之变化，导致电流 i 变化。
不能！
为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入
无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换
成磁场能的那部分功率,
L
2
L
2
LL X
UXIIUQ ???
CuquqC ?? 或
3.3.3 电容元件 1,电容
电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模
型。如右下图所示，两块平行的金属极板就构成一个
电容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存
贮等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
+
－
US +q -q E
可见，电容元件是 是一种能聚集
电荷，贮存电能的二端元件，当
它两个极板间 电压为零时，电
荷也为零 。 电容元件的储能本
领可用电容量 C表示，即,
式中：电荷量 q的单位是库仑（ C）；电压 u的单位是
伏特（ V）；电容量 C的单位为法拉（ F）。
单位换算,1F=106μ F=1012pF,
C
m
mCm X
UCUI ?? ?
ic
u C
2,电容元件上的电压、电流关系
)90s i n(
c os
)s i n(
Cm
m
m
C
???
?
??
tI
tCU
dt
tUd
C
dt
du
Ci
?
??
?
tUu ?s i n2?
若加在 C两端的电压为,
则 C上的充放电电流为,
C上 u,i 也为微分关系，
所以电容也是 动态元件 dtduCdtdqi ??C
由电压、电流解析式可
推出,电容元件上电
流总是超前电压 90°
电角
数量上存在着,
3,容抗的概念
其中,
IC=U?C=U2πf C=U/XC
电容元件上电压、电流的有效值关系为,
容抗与哪些
因素有关？
XC与 频率 成 反比 ；与 电容量 C成 反比,
因此频率越高电路中容抗越小，这被称
作电容元件的通交作用，高频电路中电
容元件相当于短路。 直流情
况下容
抗为多
大？
直流下频率 f =0，所以 XC=∞。我们说
电容元件 相当于开路 。（隔直作用）
CfC
X
??
1
2
1
C ??
XC称为电容元件上的容
抗，单位为欧姆 (Ω)。
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。
只有在 一定频率 下，电容元件的容抗才是 常数 。
4,电容元件的功率关系
i
tIi
tUu
?
?
c o s
s i n
CmC
m
?
?
tUI
tItU
iup
?
??
2s i n
c o ss i n
C
Cmm
C
?
??
??
（ 1）瞬时功率 p
则
u p=UICsin2? t
ω t
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
电容元件和电感元
件相同，只有能量
交换而不耗能，因
此也是 储能元件。
结论,
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,C充
电吸收的电能等于它放电
发出的电能。
P = 0，电容元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔 (Var)
（ 3） 无功功率 QC
无功功率 QC反映了电容元件在充放电过程中与电
源之间进行能量交换的规模。即,
CUXIUIQ ?2C2CCC ???
问题与讨论 1,电容元件在直流、高频电路中如何？
2,电感元件和电容元件有什么异同？
直流时 C相当于开路，高频时 C相当于短路。
L和 C上都存在相位 正交关系,所不同的是 L上 电压超前
电流, C上 电流超前电压,二者具有 对偶关系, L和 C都是
储能元件 ； 直流情况下 C相当 开路 ； L相当于 短路 。
CUICuiCUIXUi m
C
??? ???? ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
L
UI
L
ui
L
UI
X
Ui m
??? ???? ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1 L
想想 练练
1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多
少？判断下列表达式的正误。
R
ui
R
Ui
R
UI
R
Ui m ???? ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是
多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的
正误。
3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是
多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的
正误。
0??
。超前且,iu 90 ???
。超前且 ui,90 ???
电阻元件上电压与电流的相位同相,
电感元件上电压与电流的相位差
感抗与频率成正比，直流情况下 f=0,L相当于短路；
高频情况下，由于感抗很大,L相当于开路。
高频情况下，由于容抗近似等于零,C相当于短路。
电容元件上电压与电流的相位差
容抗与频率成反比，直流情况下 f=0,C相当于开路；
3.2 正弦量
的有效值
3.1 正弦
交流电路的
基本概念
3.3 交流
电路中的
常用元件
本章学习目的及要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析
方法是学习电路分析的重要内容之一，应
很好掌握。通过本章的学习，要求理解正
弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的
表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌
握单一参数及非单一参数的一般正弦交流
电路的分析与计算方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念
前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流
电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流
电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示,
u,i
t 0
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常
其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动
直流电，如图所示。
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称
为交流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变
化正弦电压和正弦电流。表达式为,
)s i n ( um tUu ?? ??
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3.1.1 正弦量的三要素
1,正弦交流电的周期、频率和角频率
角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系,
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周期 T,正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系,
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2,正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
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瞬时值 是以解析式表示的,
最大值 就是上式中的 Im,Im反映了正弦量 振荡的幅度 。
有效值 指 与交流电热效应相同的直流电数值 。
R i
交流电 i 通过电阻 R时，在 t
时间内产生的热量为 Q
R I 例
直流电 I 通过相同电阻 R时，在
t 时间内产生的热量也为 Q
即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流 i 的 有效
值 。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明,
3,正弦交流电的相位、初相和相位差
正弦量解析式中随时间变化的电角度 (ωt+φ )。
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相位,
t=0时的相位 φ，它确定了正弦量计时始的位置。 初相,
两个同频率正弦量之间的相位之差。 相位差,
例
相位 初相
u,i 的相位差为,
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初
相之差。
I = U R
i = u R
3.3.1 电阻元件
3.3 交流电路中的常用元件
1,电阻元件上的电压、电流关系 i
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电压、电流的瞬时值表达式为,
由两式可推出, 电阻元件上电压, 电流的相位上
存在同相关系；数量上符合欧姆定律, 即,
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（ 1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
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结论,1,p随时间变化； 2,p≥0,为耗能元件。
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2.平均功率（有功功率） P (一个周期内的平均值 )
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由, 可得, P = UI
例 求：,220V,100W” 和,220V,40W” 灯泡的电阻？
平均功率用大写！
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1 2 1 0
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2 2 0
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P
U
R
P
U
R
解,
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也
称之为 有功功率 。
i
安 (A)
韦伯 (Wb)
亨利 (H)
N 自感系数
+
–
u ? ?
L= i N?
在图示 u,i, e 假定参考方向的前提下，当通
过线圈的 磁通 或 i 发生 变化 时，线圈中产生感应电
动势为,
L
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+
L 称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越
大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。
3.3.2 电感元件
1,自感系数和电磁感应
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2,电感元件上的电压、电流关系
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设通过 L中的电流为,
则 L两端的电压为,
由式可推出 L上电压
电流之间的相位上存
在 90° 的正交关系,
且电压超前电流。
电压电流之间的数量关系,ULm=Imωt =ImXL
其中 XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称
感抗,单位和电阻一样，也是 欧姆 。
由于 L上 u,i 为动态关
系，所以 L 是 动态元件 dtdiLeu ??? LL
电感元件上电压、电流的有效值关系为,
XL=2πf L=ωL,虽然式中感抗和电阻类似，等于元
件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电
阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了
电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作
用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元
件的时间。
感抗与哪些
因素有关？
XL与 频率 成 正比 ；与 电感量 L成 正比
直流情
况下感
抗为多
大？
I
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直流下频率 f =0，所以
XL=0。 L 相当于短路 。
3,电感元件的功率
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（ 1）瞬时功率 p
则
i p=ULIsin2? t
ω t
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
p < 0
u i 同相,
吸收电能 ;
储存磁能 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
释放磁能 ;
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电感元件上只有
能量交换而不耗
能，为 储能元件
结论,
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,L吸
收的电能等于它释放的磁
场能。
P = 0，电感元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
问题与讨论 1,电源电压不变，当电路的频率变化时,
通过电感元件的电流发生变化吗？
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
（ 3） 无功功率 QL （单位为乏尔 Var）
2,能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？
f 变化时 XL随之变化，导致电流 i 变化。
不能！
为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入
无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换
成磁场能的那部分功率,
L
2
L
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LL X
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CuquqC ?? 或
3.3.3 电容元件 1,电容
电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模
型。如右下图所示，两块平行的金属极板就构成一个
电容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存
贮等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
+
－
US +q -q E
可见，电容元件是 是一种能聚集
电荷，贮存电能的二端元件，当
它两个极板间 电压为零时，电
荷也为零 。 电容元件的储能本
领可用电容量 C表示，即,
式中：电荷量 q的单位是库仑（ C）；电压 u的单位是
伏特（ V）；电容量 C的单位为法拉（ F）。
单位换算,1F=106μ F=1012pF,
C
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2,电容元件上的电压、电流关系
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若加在 C两端的电压为,
则 C上的充放电电流为,
C上 u,i 也为微分关系，
所以电容也是 动态元件 dtduCdtdqi ??C
由电压、电流解析式可
推出,电容元件上电
流总是超前电压 90°
电角
数量上存在着,
3,容抗的概念
其中,
IC=U?C=U2πf C=U/XC
电容元件上电压、电流的有效值关系为,
容抗与哪些
因素有关？
XC与 频率 成 反比 ；与 电容量 C成 反比,
因此频率越高电路中容抗越小，这被称
作电容元件的通交作用，高频电路中电
容元件相当于短路。 直流情
况下容
抗为多
大？
直流下频率 f =0，所以 XC=∞。我们说
电容元件 相当于开路 。（隔直作用）
CfC
X
??
1
2
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C ??
XC称为电容元件上的容
抗，单位为欧姆 (Ω)。
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。
只有在 一定频率 下，电容元件的容抗才是 常数 。
4,电容元件的功率关系
i
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（ 1）瞬时功率 p
则
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电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
u i 同相,
电容充电 ;
建立电场 ;
p >0
u i 反相,
送出能量 ;
电容放电 ;
p < 0
电容元件和电感元
件相同，只有能量
交换而不耗能，因
此也是 储能元件。
结论,
p为正弦波，频率为 ui 的 2
倍；在一个周期内,C充
电吸收的电能等于它放电
发出的电能。
P = 0，电容元件不耗能
（ 2）平均功率（有功功率） P
为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔 (Var)
（ 3） 无功功率 QC
无功功率 QC反映了电容元件在充放电过程中与电
源之间进行能量交换的规模。即,
CUXIUIQ ?2C2CCC ???
问题与讨论 1,电容元件在直流、高频电路中如何？
2,电感元件和电容元件有什么异同？
直流时 C相当于开路，高频时 C相当于短路。
L和 C上都存在相位 正交关系,所不同的是 L上 电压超前
电流, C上 电流超前电压,二者具有 对偶关系, L和 C都是
储能元件 ； 直流情况下 C相当 开路 ； L相当于 短路 。
CUICuiCUIXUi m
C
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想想 练练
1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多
少？判断下列表达式的正误。
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Ui m ???? ）（；）（；）（；）（ 4 3 2 1
2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是
多少？感抗与频率有何关系？判断下列表达式的
正误。
3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是
多少？容抗与频率有何关系？判断下列表达式的
正误。
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。超前且,iu 90 ???
。超前且 ui,90 ???
电阻元件上电压与电流的相位同相,
电感元件上电压与电流的相位差
感抗与频率成正比，直流情况下 f=0,L相当于短路；
高频情况下，由于感抗很大,L相当于开路。
高频情况下，由于容抗近似等于零,C相当于短路。
电容元件上电压与电流的相位差
容抗与频率成反比，直流情况下 f=0,C相当于开路；
