第 4章 相量分析法
4.1 复数
及其运算
4.3 相量
分析法
4.4 复功率
4.2 相量
和复阻抗
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加
减乘除运算规则；掌握正弦量的相量
表示法、相量的性能及其运算方法；
掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用
相量图进行正弦量的辅助分析；正确
理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.1 复数及其运算
学习目标,复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法
复数 A在复平面上是一个点,
＋ j
0 ?
a2
＋ 1
a1
A
原点指向复数的箭头称为它的 模,
模 a与正向实轴之间的夹角称为复
数 A的 幅角 ；
A在实轴上的投影是它的 实部 ； A在虚轴上的投影
称为其 虚部 。 复数 A的 代数表达式 为,A=a1+ja2
由图又可得出复数 A的模值 a和幅角 ψ 分别为,
1
22
2
2
1 a r c t a n a
aaaa ??? ?，
a
由图还可得出复数 A与模
复数还可以表示为 指数形式 和 极坐标形式,
41.53s i n5
31.53c o s5
2
1
???
???
a
a
又可得到复数 A的 三角函数式 为,
＋ j
0 ?
a2
＋ 1
a1
A
a a及幅角 ψ 之间的关系为
A=acosψ +jasinψ
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数 A的模 a=5，幅角 ψ =53.1°,试写出
复数 A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为, A=5/53.1°
?
?
s i n
c o s
2
1
aa
aa
?
?
代数表达形式 为,A=3+j4
4.1.2 复数运算法则
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；
复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
设有两个复数分别为,
A,B加、减、乘、除时的运算公式
21
21
jbbbB
jaaaA
b
a
???
???
?
?
/
/
ba
ba
b
a
B
A
abBA
bajbaBA
bajbaBA
??
??
??
???
?????
?????
/
/
)()(
)()(
2211
2211
在复数运算当中，一定要根据复数
所在象限正确写出幅角的值。如,
)1 8 03/4( a r c t a n9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n1 8 0(9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n(1.53/5 43
)3/4( a r c t a n1.53/5 43
???????? ?????
??????? ?????
??????? ????
????? ????
AjA
AjA
AjA
AjA
第三象限
第二象限
第四象限
第一象限
代数形式中虚部数值前面的 j是旋转因子,一个复
数乘以 j相当于在复平面上逆时针旋转 90° ；除以 j相
当于在复平面上顺时针旋转 90° （数学课程中旋转因
子是用 i表示，电学中为了区别于电流而改为 j)。
1,已知复数 A=4+j5,B=6-j2。试求 A+B、
A-B,A× B,A÷ B。
2,已知复数 A=17/24°, B=6/-65° 。试求
A+B,A-B,A× B,A÷ B。
?????????
?????????
?????????
???????????
?????????
7.69/01.1)4.18(3.51/32.64.6
9.32/4.40)4.18(3.51/32.64.6
4.18/32.626 3.51/4.654
1 0 6/28.772)]2(5[)64(
7.16/4.10310)25()64(
BA
BA
jBjA
jjBA
jjBA
第 2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标,了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为 相量 。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号, ·”。
例如 正弦量 i=14.1sin(ωt+36.9° )A，若用相量表示,
其最大值相量为,
A9.36/1.14 ??? mI
有效值相量为,A9.36/10 ???I
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即 模值 对应正弦量
的 有效值 （或最大值）,幅角 对应正弦量的 初相 。
按照各个正弦量的 大小 和 相位 关系用 初始位置的
有向线段 画出的若干个相量的图形，称为 相量图 。
把它们表示为相量，并且画在相量图中。 例
? ? ? ?，,222111 s i n2 s i n2 ???? ???? tUutUu已知
用有效值相量表示，即,U1 = U1 ψ1
U2 = U2 ψ2 画在相量图中,
1?
2?
U2
U1
也可以把复平面省略，直接画作
1?
2?
U2
U1
虚线可以不画
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正
弦量之间的加、减运算及其电路分析。
U
? ? ? ? 。，求,21222111 s i n2 s i n2 uuutUutUu ?????? ????
利用相量图辅助分析,
1?
2?
U2
U1
根据平行四边形法则,
?
由相量图可以清楚地看出,
2211
2211
2
2211
2
2211
c osc os
s i ns i n
a r c t a n
)s i ns i n()c osc os(
??
??
?
????
UU
UU
UUUUU
?
?
?
????
U1cosψ1+U2cosψ 2
U1sinψ1+U2sinψ 2
利用相量图分析计算 同频率正弦量 之
间的加、减运算，显然能起到 化隐含
为浅显的目的,根据相量与正弦量之
间的 对应 关系, u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用
复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简
称 复阻抗 。各元件复阻抗的代数形式如下,
，只有虚部没有实部。单一电容元件的复阻抗
，只有虚部没实部；单一电感元件的复阻抗
，只有实部没有虚部；单一电阻元件的复阻抗
C
L
jXZ
jXZ
RZ
??
?
?
如果 几个理想元件相串联 时，它们复阻抗的模
和幅角可由以下三角形求出,
R
XL
|Z|
?
RL串联电路
R
XC
|Z|
?
RC串联电路 R
XL-XC
|Z|
?
RLC串联电路
1,把下列正弦量表示为有效值相量,
V)30c os (2220 3
V)90s i n (2220 2
A)45s i n (10 1
???
????
???
tu
tu
ti
?
?
?
）（
）（
）（
V60/220
V135/220
A45/07.7
??
??
???
?
?
?
U
U
I
思考 练习
2,指出下列各式的错误并改正,
V60/3 8 0 3
A)9.36s i n (2109.36/10 2
A)22 2 0)
4
s i n (22 2 0 1 45
??
??????
???
?
?
U
tI
etu j
）（
）（
）（
?
?
?正弦量和相量
之间只有对应
没有相等。
电压单位是 V！
相量上面要加
符号, ·”！
I
4.3 相量分析法
4.3.1,串联电路的相量模型分析
RL串相量图
?
?
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
?
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析
中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。
UL
ULC
UR
I
UL
U
RL串相量模型
UR
I
UC
U
RC串相量模型
UR
I
UL U
RLC串相量模型
UC
由相量图可以看出,RL串联电路中总电压 超前
电流一个 φ角 ； RC串联电路中总电压 滞后 电流一个
φ角 ； RLC三元件相串联的电路中，若 UL>UC，则总
电压 超前 电流 一个 φ角,若 UL<UC，则总 电压 滞后 电
流 一个 φ角，若 UL=UC时,总电压与电流 同相,相位
差 φ=0，电路出现 串联谐振 （后面专门讨论）。
I
RL串相量图
?
?
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
?
UL
ULC
串联电路阻抗的一般表达式,
幅角。是串联电路中复阻抗的
的模，称为串联电路中复阻抗其中
a r c t a n
)(
/
a r c t a n
)()(
CL
2
CL
2
CL
2
CL
2
CL
R
XX
XXRZ
Z
R
XX
XXRXXjRZ
?
?
???
?
?
??????
?
?
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上
式仍旧适用 。 参看前面的阻抗三角形 。
11
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形,
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后
电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件 L和
C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电
路中总的复阻抗等于电阻 R。
4.3.2 并联电路的相量模型分析
IL>IC时的相量图,
电压超前总电流。
IC
U
'?
在 RLC并联电路中，各元件两
端加的电压相同，因此在相量分析
中，应以电压为参考相量。
IR
I
IL
U
RLC并联电路相量模型
IC
IR
IL
IC
ILC I
IL<IC时的相量图,
电压滞后总电流。
IC
U '? IR
IL
ILC I
IL
当 IL=IC时，电路出现 并联谐振,此时
电路中 阻抗最大,且为 纯电阻性 。
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路
的 复导纳 （即电阻和电纳总的作用效果的复数表示
形式），复导纳用 Y表示,Y=G+j(BC-BL）,式中
的 G是电导（电阻的倒数）； BC是容纳（容抗的倒
数）； BL是感纳（感抗的倒数）。
由复导纳的复数表达式又可得出,
'/
/)a r c t a n (/)( 22
?Y
GBBBBGY LCLC
?
????
G
BC-BL
|Y|
'? RLC并联电路
的导纳三角形
显然，在感性电路中,
电路中的电纳 BL>BC，电路
呈感性，导纳三角形为倒三
角形；若电路呈容性，导纳
三角形即为正三角形。
4.3.3 应用实例
1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
EeIiUu
jXCjXLRR CL
??? ???
????
、、
、、
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电
路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本
定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下,
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
4.将结果变换成要求的形式。
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，求,
A, UO 的读数。
解题方法有两种,1.利用复数进行相量分析；
A A B
C2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
2 I ?
I ? 1
I ?
2.利用相量图分析求解。
V45/4.141100)10(10)(
A0/10101010
A45/14.14
45/07.7
0/100
55
0/100
A90/10V0/100
ABC1O
21
2
1AB
??????????
???????
???
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
??
jUjXIU
jjIII
j
I
IU
则：；则，作为电路参考相量，设：
利用复数进行相量分析,
A A B C2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
2 I ?
I ? 1
I ?
已知,I1=10A,
UAB =100V,
求,A,UO的读数。
A的读数是 10安培,UO的读数是 141.4伏特。
，，，
电路呈感性。，
相位差：
电路中电流有效值：
由阻抗三角形可得：
，
V1.1 4 3/8V9.36/24V1.53/21
A )1.532 5 0 0s i n (28.0
1.53)15/20(a r c t a n
A8.025/20/
25)1030(15
10
402 5 0 0
10
300 1 2.02 5 0 0
CLR
22
6
CL
????????
????
???
???
?????
??
?
?????
???
UUU
ti
ui
ZUI
Z
XX
?
利用相量图分析求解,
例 2
UR
I
UL U
电路的相量模型
UC
R
jXL
-jXC
下图中已知 R=15Ω,L=12mH,C=40μF，端
电压 u=28.3sin(2500t)V，求,i及各元件电压。
I ? UR
UC
U
UL
UL+ UC
由电压三角形可导
出阻抗三角形为,
R
XL-XC |Z|
?
1,一个 110V,60W的白炽灯接到 50Hz,220V的正弦
电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它
串联。试分别求所需的 R,L,C的值。如果换接到
220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？
思考 练习
白炽灯的灯丝电阻为,
???? 20260110'
22
N
N
P
UR
????? 2 0 2V1 1 01 1 02 2 0R RU 同，即：，分压相同，阻值也相
白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此
总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以,
H11.1
314545.0
191
V191110220 A545.0
110
60
L
22
L
?
?
??
??????
?I
U
L
U
U
P
I
N
N,
白炽灯和电感相串联时，电路为 RL串联，有,
)
11
(
1
)()2(
)(s i n2/u ( t )
)
1
()1(
CL
LC
XX
j
R
Y
BBGYR L C
tIZ
C
LjRZR L C
i
???
???
???
???
，并联电路：
，串联电路：
???
?
?
μF09.9314191 545.0 V191110220
C
22
C ??????? ?U
ICU,
白炽灯和电容相串联时，电路为 RC串联，有,
如果换接到 220V直流电源上，电阻的情况不变；
但直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多大
的电感,220V电压都会全部加在白炽灯上，白炽灯就
会因过电压而烧损；电容元件在直流电路中相当于开
路，因此无论接多大的电容，白炽灯中均无电流。
2.判断下列结论的正确性,
4.4 复功率
学习目标,正确区分正弦电路中的瞬时功率、有功
功率、无功功率、视在功率、复功率和功率因数的概
念，熟练掌握其分析计算的方法。
4.4.1 正弦交流电路中的功率
设一个无源二端网络的端口电压、电流为,
u=Umsin(ω t+ψ u)
i=Imsin(ω t+ψ i)
1,电路吸收的瞬时功率,
? ? )](2s i n [s i n)](2c o s [1c o s
)22s i n (s i n)22c o s (c o sc o s
)22c o s (c o s
)2c o s ()c o s (
)s i n (2)s i n (2
uu
uu
u
iuiu
iu
tUItUI
tUItUIUI
tUIUI
tUIUI
tItUuip
??????
???????
????
?????
????
?????
?????
????
?????
?????
上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬
时功率相似，始终大于或等于零，是 网络吸收能量 的瞬时功
率，其平均值为 UIcos φ 。第二项与电感元件或电容元件的瞬
时功率相似，其值正负交替，是 网络与外部电源交换能量 的
瞬时功率，它的最大值为 UIsin φ 。
2,电路吸收的平均功率,
平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一
个周期内的平均值，即,
?c o s 1 0 UIp d tTP T? ??3,电路吸收的无功功率,
无功功率反映了,只交换而不消耗”的电路现象,
其中“无功”二字不能理解为“无用”，感性电路中的无
功功率就是吸收电能建立磁场的那部分功率，用 QL表
示，恒为正值；容性电路中的无功功率是建立电场储
存电能的那部分功率用 QC表示，即,
?s i nCL UIQQQ ???Q的单位是乏尔（ var)
QL和 QC一正一负，说明两元
件之间的无功功率具有 相互补偿
作用，即 L建立磁场时 C恰逢放电,
C建立电场时 L恰逢释放磁场能,
L和 C之间的能量交换可以互补 。
电力设备的容量一般由其额定电压和额定电流的
乘积来决定，称为视在功率，用 S表示,
222CL2 )( QPQQPUIS ??????
为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用
“伏安 (VA)”或“千伏安 (KVA)”。
由上式又可看出视在功率 S和有功功率 P、无功功
率 Q三者之间存在着相当勾股弦定理的数量关系，因
此可以把这种数量关系用一个三角形来表示,
P
QL-QC S
?
显然功率三角形和阻抗三角形,
电压三角形是相似三角形。
只有电阻元
件上才消耗有功
功率！
P
QL-QC S
?
4.4.2 复功率
根据功率三角形可以导出复功率,
??
????
???
?????
*
2
CL
2
//
)/a r c t a n (/)(
s i nc o s/
IUUIUI
PQQQP
j U IUIjQPSS
iu ???
???
复功率是一个辅助计算功率的复数，它的模是视
在功率，它的辐角的余弦等于电路中总电压与电流之
间的相位差角，其实部是有功功率，虚部是无功功率
复功率将正弦稳态电路的三个功率统一在一个公
式中，只要计算出电路中的电压相量和电流相量，各
种功率就可以很方便的计算出来。复功率的单位仍用
视在功率的单位 【 VA】 。
4.4.3 功率因数的提高
c o s c o sc o s SPSUIP ??? ??? 可得：：由
功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率
因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率
一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电
线路上的电流 I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率
损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常
重要的意义。 提高功率因数的
意义是什么？如
何提高？
提高功率因数的意义,
1,提高发配电设备的利用率；
2,减少输电线上的电压降和功率损
失。
尽量减少感性设备的空载和轻载，或在感性设
备两端并联适当的电容。
A66.860s i n10s i n
s i ns i n
A5.5220105.79314
11
11C
6
C
???
??
?????? ?
?
??
?
I
III
CUI
?
一台功率为 1.1kW的感应电动机, 接在 220V,50 Hz的电
路中, 电动机需要的电流为 10A,求,(1)电动机的功率因数；
(2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器, 电路的功率因
数为多少？
（ 1）
??????? 60 5.010220 10001.1c o s 1??,UIP
（ 2） 设未并联电容前电路中的电流为 I1；并联电容后，
电动机中的电流不变，仍为 I1，但电路中的总电流发生
了变化，由 I1变成 I。电流相量关系为,
画电路相量图分析,
C1 III ??? ??
U
I
?
IC
?? co sco s 11 II ?
I1
11sin?I
1?
IC
?sinI
8 4 5.0c o s
3.325 3 5.0a r c s i n
5 3 5.0
91.5
16.3
s i n
A91.516.35
A55.01060c o s10c o s
A16.35.566.8s i n
X
22
11
C11X
?
???
???
????
??????
?????
?
?
?
?
?
I
I
I
I
III
U
I
?
IC
?? co sco s 11 II ?
I1
11sin?I
1?
IC
?sinI
可见, 电路并联了电容 C后, 功率因数由原来
的 0.5提高到了 0.845,电源利用率得以提高 。
。，）（；，
A03/6 V012/2 2 02
A1 0 0/8 V70/48)1(
????
????
??
??
IU
IU
1,RL串联电路接到 220V的直流电源时功率为 1.2KW,接在
220V,50 Hz的电源时功率为 0.6KW,试求它的 R,L值 。
2,判断下列结论是否正确,(1)S=I 2Z*； （ 2） S=U 2Y*
3,已知无源一端口,
试求：复阻抗, 阻抗角, 复功率, 视在功率, 有功功率, 无
功功率和功率因数 。
分析,RL在直流下相当纯电阻, 所以 R=2202÷ 1200≈40.3Ω;
工频下,
mH129.0
31486.3
156
V;156)3.4086.3(220A86.3
3.40
600
L
22
L
?
?
??
???????
?I
U
L
U
R
P
I,
复功率 S=48× 8/70° -100° =384/-30° ≈333-j192(VA); S=384VA
φ=-30° (电路呈容性 )； S=384VA； P=333W； Q=192var;
cosφ=cos(-30° )=0.866 自练 (2)
解 (1),Z=48÷ 8/70° -100° =6/-30° Ω；
本章作业,习题 4.1,4.2,4.4,4.5,4.6,4.9,
4.12,4.16,4.20,4.21
4.1 复数
及其运算
4.3 相量
分析法
4.4 复功率
4.2 相量
和复阻抗
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加
减乘除运算规则；掌握正弦量的相量
表示法、相量的性能及其运算方法；
掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用
相量图进行正弦量的辅助分析；正确
理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.1 复数及其运算
学习目标,复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法
复数 A在复平面上是一个点,
＋ j
0 ?
a2
＋ 1
a1
A
原点指向复数的箭头称为它的 模,
模 a与正向实轴之间的夹角称为复
数 A的 幅角 ；
A在实轴上的投影是它的 实部 ； A在虚轴上的投影
称为其 虚部 。 复数 A的 代数表达式 为,A=a1+ja2
由图又可得出复数 A的模值 a和幅角 ψ 分别为,
1
22
2
2
1 a r c t a n a
aaaa ??? ?，
a
由图还可得出复数 A与模
复数还可以表示为 指数形式 和 极坐标形式,
41.53s i n5
31.53c o s5
2
1
???
???
a
a
又可得到复数 A的 三角函数式 为,
＋ j
0 ?
a2
＋ 1
a1
A
a a及幅角 ψ 之间的关系为
A=acosψ +jasinψ
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数 A的模 a=5，幅角 ψ =53.1°,试写出
复数 A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为, A=5/53.1°
?
?
s i n
c o s
2
1
aa
aa
?
?
代数表达形式 为,A=3+j4
4.1.2 复数运算法则
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；
复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
设有两个复数分别为,
A,B加、减、乘、除时的运算公式
21
21
jbbbB
jaaaA
b
a
???
???
?
?
/
/
ba
ba
b
a
B
A
abBA
bajbaBA
bajbaBA
??
??
??
???
?????
?????
/
/
)()(
)()(
2211
2211
在复数运算当中，一定要根据复数
所在象限正确写出幅角的值。如,
)1 8 03/4( a r c t a n9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n1 8 0(9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n(1.53/5 43
)3/4( a r c t a n1.53/5 43
???????? ?????
??????? ?????
??????? ????
????? ????
AjA
AjA
AjA
AjA
第三象限
第二象限
第四象限
第一象限
代数形式中虚部数值前面的 j是旋转因子,一个复
数乘以 j相当于在复平面上逆时针旋转 90° ；除以 j相
当于在复平面上顺时针旋转 90° （数学课程中旋转因
子是用 i表示，电学中为了区别于电流而改为 j)。
1,已知复数 A=4+j5,B=6-j2。试求 A+B、
A-B,A× B,A÷ B。
2,已知复数 A=17/24°, B=6/-65° 。试求
A+B,A-B,A× B,A÷ B。
?????????
?????????
?????????
???????????
?????????
7.69/01.1)4.18(3.51/32.64.6
9.32/4.40)4.18(3.51/32.64.6
4.18/32.626 3.51/4.654
1 0 6/28.772)]2(5[)64(
7.16/4.10310)25()64(
BA
BA
jBjA
jjBA
jjBA
第 2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标,了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为 相量 。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号, ·”。
例如 正弦量 i=14.1sin(ωt+36.9° )A，若用相量表示,
其最大值相量为,
A9.36/1.14 ??? mI
有效值相量为,A9.36/10 ???I
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即 模值 对应正弦量
的 有效值 （或最大值）,幅角 对应正弦量的 初相 。
按照各个正弦量的 大小 和 相位 关系用 初始位置的
有向线段 画出的若干个相量的图形，称为 相量图 。
把它们表示为相量，并且画在相量图中。 例
? ? ? ?，,222111 s i n2 s i n2 ???? ???? tUutUu已知
用有效值相量表示，即,U1 = U1 ψ1
U2 = U2 ψ2 画在相量图中,
1?
2?
U2
U1
也可以把复平面省略，直接画作
1?
2?
U2
U1
虚线可以不画
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正
弦量之间的加、减运算及其电路分析。
U
? ? ? ? 。，求,21222111 s i n2 s i n2 uuutUutUu ?????? ????
利用相量图辅助分析,
1?
2?
U2
U1
根据平行四边形法则,
?
由相量图可以清楚地看出,
2211
2211
2
2211
2
2211
c osc os
s i ns i n
a r c t a n
)s i ns i n()c osc os(
??
??
?
????
UU
UU
UUUUU
?
?
?
????
U1cosψ1+U2cosψ 2
U1sinψ1+U2sinψ 2
利用相量图分析计算 同频率正弦量 之
间的加、减运算，显然能起到 化隐含
为浅显的目的,根据相量与正弦量之
间的 对应 关系, u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用
复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简
称 复阻抗 。各元件复阻抗的代数形式如下,
，只有虚部没有实部。单一电容元件的复阻抗
，只有虚部没实部；单一电感元件的复阻抗
，只有实部没有虚部；单一电阻元件的复阻抗
C
L
jXZ
jXZ
RZ
??
?
?
如果 几个理想元件相串联 时，它们复阻抗的模
和幅角可由以下三角形求出,
R
XL
|Z|
?
RL串联电路
R
XC
|Z|
?
RC串联电路 R
XL-XC
|Z|
?
RLC串联电路
1,把下列正弦量表示为有效值相量,
V)30c os (2220 3
V)90s i n (2220 2
A)45s i n (10 1
???
????
???
tu
tu
ti
?
?
?
）（
）（
）（
V60/220
V135/220
A45/07.7
??
??
???
?
?
?
U
U
I
思考 练习
2,指出下列各式的错误并改正,
V60/3 8 0 3
A)9.36s i n (2109.36/10 2
A)22 2 0)
4
s i n (22 2 0 1 45
??
??????
???
?
?
U
tI
etu j
）（
）（
）（
?
?
?正弦量和相量
之间只有对应
没有相等。
电压单位是 V！
相量上面要加
符号, ·”！
I
4.3 相量分析法
4.3.1,串联电路的相量模型分析
RL串相量图
?
?
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
?
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析
中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。
UL
ULC
UR
I
UL
U
RL串相量模型
UR
I
UC
U
RC串相量模型
UR
I
UL U
RLC串相量模型
UC
由相量图可以看出,RL串联电路中总电压 超前
电流一个 φ角 ； RC串联电路中总电压 滞后 电流一个
φ角 ； RLC三元件相串联的电路中，若 UL>UC，则总
电压 超前 电流 一个 φ角,若 UL<UC，则总 电压 滞后 电
流 一个 φ角，若 UL=UC时,总电压与电流 同相,相位
差 φ=0，电路出现 串联谐振 （后面专门讨论）。
I
RL串相量图
?
?
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
?
UL
ULC
串联电路阻抗的一般表达式,
幅角。是串联电路中复阻抗的
的模，称为串联电路中复阻抗其中
a r c t a n
)(
/
a r c t a n
)()(
CL
2
CL
2
CL
2
CL
2
CL
R
XX
XXRZ
Z
R
XX
XXRXXjRZ
?
?
???
?
?
??????
?
?
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上
式仍旧适用 。 参看前面的阻抗三角形 。
11
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形,
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后
电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件 L和
C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电
路中总的复阻抗等于电阻 R。
4.3.2 并联电路的相量模型分析
IL>IC时的相量图,
电压超前总电流。
IC
U
'?
在 RLC并联电路中，各元件两
端加的电压相同，因此在相量分析
中，应以电压为参考相量。
IR
I
IL
U
RLC并联电路相量模型
IC
IR
IL
IC
ILC I
IL<IC时的相量图,
电压滞后总电流。
IC
U '? IR
IL
ILC I
IL
当 IL=IC时，电路出现 并联谐振,此时
电路中 阻抗最大,且为 纯电阻性 。
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路
的 复导纳 （即电阻和电纳总的作用效果的复数表示
形式），复导纳用 Y表示,Y=G+j(BC-BL）,式中
的 G是电导（电阻的倒数）； BC是容纳（容抗的倒
数）； BL是感纳（感抗的倒数）。
由复导纳的复数表达式又可得出,
'/
/)a r c t a n (/)( 22
?Y
GBBBBGY LCLC
?
????
G
BC-BL
|Y|
'? RLC并联电路
的导纳三角形
显然，在感性电路中,
电路中的电纳 BL>BC，电路
呈感性，导纳三角形为倒三
角形；若电路呈容性，导纳
三角形即为正三角形。
4.3.3 应用实例
1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
EeIiUu
jXCjXLRR CL
??? ???
????
、、
、、
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电
路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本
定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下,
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
4.将结果变换成要求的形式。
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，求,
A, UO 的读数。
解题方法有两种,1.利用复数进行相量分析；
A A B
C2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
2 I ?
I ? 1
I ?
2.利用相量图分析求解。
V45/4.141100)10(10)(
A0/10101010
A45/14.14
45/07.7
0/100
55
0/100
A90/10V0/100
ABC1O
21
2
1AB
??????????
???????
???
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
??
jUjXIU
jjIII
j
I
IU
则：；则，作为电路参考相量，设：
利用复数进行相量分析,
A A B C2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
2 I ?
I ? 1
I ?
已知,I1=10A,
UAB =100V,
求,A,UO的读数。
A的读数是 10安培,UO的读数是 141.4伏特。
，，，
电路呈感性。，
相位差：
电路中电流有效值：
由阻抗三角形可得：
，
V1.1 4 3/8V9.36/24V1.53/21
A )1.532 5 0 0s i n (28.0
1.53)15/20(a r c t a n
A8.025/20/
25)1030(15
10
402 5 0 0
10
300 1 2.02 5 0 0
CLR
22
6
CL
????????
????
???
???
?????
??
?
?????
???
UUU
ti
ui
ZUI
Z
XX
?
利用相量图分析求解,
例 2
UR
I
UL U
电路的相量模型
UC
R
jXL
-jXC
下图中已知 R=15Ω,L=12mH,C=40μF，端
电压 u=28.3sin(2500t)V，求,i及各元件电压。
I ? UR
UC
U
UL
UL+ UC
由电压三角形可导
出阻抗三角形为,
R
XL-XC |Z|
?
1,一个 110V,60W的白炽灯接到 50Hz,220V的正弦
电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它
串联。试分别求所需的 R,L,C的值。如果换接到
220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？
思考 练习
白炽灯的灯丝电阻为,
???? 20260110'
22
N
N
P
UR
????? 2 0 2V1 1 01 1 02 2 0R RU 同，即：，分压相同，阻值也相
白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此
总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以,
H11.1
314545.0
191
V191110220 A545.0
110
60
L
22
L
?
?
??
??????
?I
U
L
U
U
P
I
N
N,
白炽灯和电感相串联时，电路为 RL串联，有,
)
11
(
1
)()2(
)(s i n2/u ( t )
)
1
()1(
CL
LC
XX
j
R
Y
BBGYR L C
tIZ
C
LjRZR L C
i
???
???
???
???
，并联电路：
，串联电路：
???
?
?
μF09.9314191 545.0 V191110220
C
22
C ??????? ?U
ICU,
白炽灯和电容相串联时，电路为 RC串联，有,
如果换接到 220V直流电源上，电阻的情况不变；
但直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多大
的电感,220V电压都会全部加在白炽灯上，白炽灯就
会因过电压而烧损；电容元件在直流电路中相当于开
路，因此无论接多大的电容，白炽灯中均无电流。
2.判断下列结论的正确性,
4.4 复功率
学习目标,正确区分正弦电路中的瞬时功率、有功
功率、无功功率、视在功率、复功率和功率因数的概
念，熟练掌握其分析计算的方法。
4.4.1 正弦交流电路中的功率
设一个无源二端网络的端口电压、电流为,
u=Umsin(ω t+ψ u)
i=Imsin(ω t+ψ i)
1,电路吸收的瞬时功率,
? ? )](2s i n [s i n)](2c o s [1c o s
)22s i n (s i n)22c o s (c o sc o s
)22c o s (c o s
)2c o s ()c o s (
)s i n (2)s i n (2
uu
uu
u
iuiu
iu
tUItUI
tUItUIUI
tUIUI
tUIUI
tItUuip
??????
???????
????
?????
????
?????
?????
????
?????
?????
上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬
时功率相似，始终大于或等于零，是 网络吸收能量 的瞬时功
率，其平均值为 UIcos φ 。第二项与电感元件或电容元件的瞬
时功率相似，其值正负交替，是 网络与外部电源交换能量 的
瞬时功率，它的最大值为 UIsin φ 。
2,电路吸收的平均功率,
平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一
个周期内的平均值，即,
?c o s 1 0 UIp d tTP T? ??3,电路吸收的无功功率,
无功功率反映了,只交换而不消耗”的电路现象,
其中“无功”二字不能理解为“无用”，感性电路中的无
功功率就是吸收电能建立磁场的那部分功率，用 QL表
示，恒为正值；容性电路中的无功功率是建立电场储
存电能的那部分功率用 QC表示，即,
?s i nCL UIQQQ ???Q的单位是乏尔（ var)
QL和 QC一正一负，说明两元
件之间的无功功率具有 相互补偿
作用，即 L建立磁场时 C恰逢放电,
C建立电场时 L恰逢释放磁场能,
L和 C之间的能量交换可以互补 。
电力设备的容量一般由其额定电压和额定电流的
乘积来决定，称为视在功率，用 S表示,
222CL2 )( QPQQPUIS ??????
为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用
“伏安 (VA)”或“千伏安 (KVA)”。
由上式又可看出视在功率 S和有功功率 P、无功功
率 Q三者之间存在着相当勾股弦定理的数量关系，因
此可以把这种数量关系用一个三角形来表示,
P
QL-QC S
?
显然功率三角形和阻抗三角形,
电压三角形是相似三角形。
只有电阻元
件上才消耗有功
功率！
P
QL-QC S
?
4.4.2 复功率
根据功率三角形可以导出复功率,
??
????
???
?????
*
2
CL
2
//
)/a r c t a n (/)(
s i nc o s/
IUUIUI
PQQQP
j U IUIjQPSS
iu ???
???
复功率是一个辅助计算功率的复数，它的模是视
在功率，它的辐角的余弦等于电路中总电压与电流之
间的相位差角，其实部是有功功率，虚部是无功功率
复功率将正弦稳态电路的三个功率统一在一个公
式中，只要计算出电路中的电压相量和电流相量，各
种功率就可以很方便的计算出来。复功率的单位仍用
视在功率的单位 【 VA】 。
4.4.3 功率因数的提高
c o s c o sc o s SPSUIP ??? ??? 可得：：由
功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率
因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率
一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电
线路上的电流 I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率
损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常
重要的意义。 提高功率因数的
意义是什么？如
何提高？
提高功率因数的意义,
1,提高发配电设备的利用率；
2,减少输电线上的电压降和功率损
失。
尽量减少感性设备的空载和轻载，或在感性设
备两端并联适当的电容。
A66.860s i n10s i n
s i ns i n
A5.5220105.79314
11
11C
6
C
???
??
?????? ?
?
??
?
I
III
CUI
?
一台功率为 1.1kW的感应电动机, 接在 220V,50 Hz的电
路中, 电动机需要的电流为 10A,求,(1)电动机的功率因数；
(2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器, 电路的功率因
数为多少？
（ 1）
??????? 60 5.010220 10001.1c o s 1??,UIP
（ 2） 设未并联电容前电路中的电流为 I1；并联电容后，
电动机中的电流不变，仍为 I1，但电路中的总电流发生
了变化，由 I1变成 I。电流相量关系为,
画电路相量图分析,
C1 III ??? ??
U
I
?
IC
?? co sco s 11 II ?
I1
11sin?I
1?
IC
?sinI
8 4 5.0c o s
3.325 3 5.0a r c s i n
5 3 5.0
91.5
16.3
s i n
A91.516.35
A55.01060c o s10c o s
A16.35.566.8s i n
X
22
11
C11X
?
???
???
????
??????
?????
?
?
?
?
?
I
I
I
I
III
U
I
?
IC
?? co sco s 11 II ?
I1
11sin?I
1?
IC
?sinI
可见, 电路并联了电容 C后, 功率因数由原来
的 0.5提高到了 0.845,电源利用率得以提高 。
。，）（；，
A03/6 V012/2 2 02
A1 0 0/8 V70/48)1(
????
????
??
??
IU
IU
1,RL串联电路接到 220V的直流电源时功率为 1.2KW,接在
220V,50 Hz的电源时功率为 0.6KW,试求它的 R,L值 。
2,判断下列结论是否正确,(1)S=I 2Z*； （ 2） S=U 2Y*
3,已知无源一端口,
试求：复阻抗, 阻抗角, 复功率, 视在功率, 有功功率, 无
功功率和功率因数 。
分析,RL在直流下相当纯电阻, 所以 R=2202÷ 1200≈40.3Ω;
工频下,
mH129.0
31486.3
156
V;156)3.4086.3(220A86.3
3.40
600
L
22
L
?
?
??
???????
?I
U
L
U
R
P
I,
复功率 S=48× 8/70° -100° =384/-30° ≈333-j192(VA); S=384VA
φ=-30° (电路呈容性 )； S=384VA； P=333W； Q=192var;
cosφ=cos(-30° )=0.866 自练 (2)
解 (1),Z=48÷ 8/70° -100° =6/-30° Ω；
本章作业,习题 4.1,4.2,4.4,4.5,4.6,4.9,
4.12,4.16,4.20,4.21
