幾何光學 ─光之反射
光的反射定律
一、光的反射
1.定義：光遇到障礙物時有一部分或全部返回原入射介質之現象。
註：光在一均勻介質中傳播時，係以直線進行，但如射落在一物體表面，則有反射、 吸收和透射等現象發生。
2.種類：
(1)單向反射：平行的入射光線，照射在光滑平面後，其反射光線亦為互相平行的現 象，稱為單向反射，如圖(A)。
(2)漫射：平行的入射光線，照射在粗糙平面後，其反射光線四向分散之現象，稱為 漫射，如圖(B)。
註：吾人能分辨物體之形狀和存在是由於漫射之故。
二、反射定律(Laws of reflection)：
1.第一定律──入射光線及反射光線各在法線(垂直境界面於入射點的直線)兩側，且 三線共面。
2.第二定律──入射角與反射角相等，即ｉ＝ｒ (如圖C)。
(1)反射定律適用於任何形狀之反射面。
(2)漫射之每一條光線均遵守反射定律。 入射線 法線 反射線 i r A o B 圖A 圖B 圖C
光徑的可逆性
一、意義：光線可以沿同一路徑逆向行進的現象，叫做光徑可逆性。
圖示說明：
一次反射：如圖(a)所示，光由P→O→Q作鏡面反射，i＝r。若光改由Q沿QO入
射，則根據反射定律知必沿OP反射而出，如圖(b)所示。
多次反射：依上述推廣，如圖(c)所示，若光由A入射經B→C→D→E→F，而EF
射出，則若改由FE入射，則必沿BA射出，如圖(d)所示。
註：光徑的可逆性是光反射及折射的一般特性。 (a) P Q (b) P Q A B A B
(c) (d)
二、反射光路徑的可逆現象：
依照光徑可逆性的原理，若是將光源(物體)與實像對調來看，將光源置於原先成像的 地方，則經過同一面鏡反射所成的實像，必在原先光源處。如圖(a)與(b)的對照。
註：若面鏡反射所生成之像為虛像時則無上述現象。
平面鏡的成像
一、像(Image)：
1.意義：凡由光源或被照體所發出的光線，經各種光學現象(如反射、折射、繞射、 干涉)聚光所形成的圖形，皆稱為像。
2.種類：
(1)實像(Real Image)：凡由光線實際會聚而成之像，稱為實像。
(2)虛像(Virtual Image)：凡非光線實際會聚，而由其反向延長線會聚而成之像，稱 為虛像。
註：實像與虛像皆對光學儀器而言，對人眼而言，看見之物皆成實像在網膜上。
二、平面鏡所成之像(根據光之反射原理)──與原物對稱於平面鏡：
1.與物體同大小→放大率＝
2.在鏡後與鏡之距離等於物體在鏡前與鏡之距離(即像距＝物距)。
3.為正立虛像(不能在屏幕上形成)。
4.與原物左右相反、上下不顛倒(即正立)之相似形。
B A N S M o' o P S'
註：如圖(a)所示，所有入射光交於界面前P點，P為實物；圖(b)中入射光繼續延伸
而交於界面後P'點，P'為虛物。對平面反射而言，實物產生虛像，虛物產生實像。
P(實物) Q(虛像) 界面 Q'(實像) 界面 P'(虛物) 圖(a)入射光發散(實物) 圖(b)入射光會聚(虛物)
三、決定平面鏡反射成虛像位置的方法： L 1.方法(一)──視線交叉法： Q P 取平面鏡L，鏡前立一物P，沿BA方向 看去，當像Q與AB成一直線時畫出AB Q' 線，依相同方法另外找到A'B'線，延長 A BA和B'A'相交於Q，即為虛像之位置。 2.方法(二)──視差法： B 在鏡後立一較鏡為高之物Q'，沿BA看去 A' Q'Q在一起，然後換其他方向如B'A'， B' 若Q'不為虛像位置，則B'A'Q'不成直線，改變Q'之位置，直到不論從何方向看到，
Q'Q總是在一起，則Q'即為虛像位置。以上方法可以證實平面鏡所生之像與物在鏡 之對稱位置，此法叫視差法，當QQ'不在一起時，從BA左右附近看去有"視差"， 當QQ'在一起則無"視差"。
註：(1)因觀察者本身之運動而感覺遠近不同的兩物體有相對運動的現象，稱為視差 →用視差可判斷遠近，遠物隨觀察者同向運動，近物隨觀察者作反向運動， 若無視差現象時表示兩物在同一位置。
(2)測定實像位置的方法：(a)視差法(b)視線交叉法(c)屏之映像法 測定虛像位置的方法：(a)視差法(b)視線交叉法
四、若眼睛在某觀測位置與平面鏡所生虛像上某像 P E3 C E1 點之連線與平面鏡相交會，則可看到該像點。 E2 1.如圖若眼睛位於平面鏡AB前∠CQD的範圍 D 內，則可看到物點P之像Q。例如眼睛在E1 而E1Q與平面鏡相交於O，有交點則一定可 A B 看到像Q，光經P→O→E1進入眼內。
2.眼睛位於E3時，E3Q與AB未相交，故看不 到像Q。 Q
3.觀看曲面鏡(如凹、凸面鏡等)成像也是如此。
五、平面鏡中所成之像其運動狀態：虛像恒與實物對稱於平面鏡 物 像 物 像 物 像 1.物垂直鏡面方向運動時，像對鏡之速度與物對鏡之速度其量值相等，方向相反。
2.物平行鏡面方向運動時，像對鏡之速度與物對鏡之速度其量值與方向均相同。
→在平行鏡面方向實物與虛像無相對速度
六、多次反射成像：
兩平面鏡夾角經多次反射成像：
1.δ＝０（恰可整除）
(1)若ｎ為奇數
A.物體不在分角線上，則像的個數 m＝n
B.物體在分角線上，則像的個數 m＝n－1
(2)若n為偶數，則像的個數 m＝n－1
註：＞90°，m之數目將隨物之位置而變(須作圖求之)。
?(3)如果物不放在分角線上，m一定是奇數。
(4)所看到像的個數隨眼睛的位置不同而異。
2.δ≠０（不可整除）時，所看到像的個數隨眼睛的位置、物的位置、δ之大不同 而異，須作圖求之。
曲面鏡的成像 入射線 一、曲面鏡之反射──遵守反射定律： N 法線 1.入射線、反射線與法線共面且各在法線 i 一側。 r 2.入射角＝反射角。 △A 反射線 說明：右圖為一光線入射於曲面鏡上一點P。 P (1)在P點附近的曲面上取一面積素△A， 當△A極微小時，可視為P點的切面上 的一平面，其法線為PN。 (2)入射光經△A反射遵守反射定律，即入 射角i等於反射角r，且其中入射線、 反射線與法線皆在同一平面內。
二、曲面鏡之成像：
1.形狀規則的曲面鏡(如橢球面鏡、拋物面鏡及球面鏡)：反射光(或其延長線)可會聚 於一點而成清楚的像。
2.形狀不規則的曲面鏡：鏡面反射的光線不能聚於一點，故不能形成清楚的像。
拋物面鏡的成像
一、拋物面鏡：
1.意義：凡反射面為拋物面之一部分的反射鏡稱為拋物面鏡。
註：拋物面鏡乃係將平面上的一拋物曲線，繞它的主軸旋轉而產生的面。
2.幾何特性：可以看成為另一焦點在無限遠點的橢球面鏡。
二、拋物面鏡的成像：
1.由拋物凹面鏡的焦點F射出或射向拋物凸面鏡的焦點F之光線，經鏡面反射後將 聚集於無限遠處的另一焦點，換言之，將成一與主軸平行的光束，如圖(a)與(b)所 示。
2.與主軸平行的光線束，入射於拋物凹面鏡上，經鏡面反射後，其反射線將聚集於焦 點F上，如圖(c)所示。
3.與主軸平行的光線束，入射於拋物凸面鏡上，經鏡面反射後其反射線的延長線交於 焦點F，如圖(d)所示。
F F (a)凹面鏡 (b)凸面鏡 (c)凹面鏡 (d)凸面鏡
三、拋物面鏡之應用：
1.反射式天文望遠鏡： 2.探照燈：
焦平面
遠處星球 拋物面鏡 主軸 球面鏡 星球之像 點光源
球面鏡的成像 一、球面鏡： A' A 1.意義：反射面為圓球面的一部分者，稱為球面鏡。 2.種類： o' F' F O (1)凹面鏡：以球內面AB為反射面之球面鏡。 C (2)凸面鏡：以球外面A'B'為反射面之球面鏡。 3.重要名詞：如圖所示。 B' B (1)鏡心：反射鏡的中心點O，亦稱鏡頂(Vertex) (2)曲率中心：球面鏡之球心C稱為曲率中心。 (3)曲率半徑：球面鏡的曲率中心到鏡心間的距離，即r=OC。 (4)孔徑：鏡面圓周之直徑，即AB。
(5)孔徑角：由鏡緣兩端引至C點之直線間所夾的角∠ACB。此孔徑角＝
(6)主軸：通過球心且垂直於鏡心之直線CO稱為主軸。
(7)主焦點：與主軸平行之光線經拋物面鏡(或極小孔徑角之球面鏡)反射後會聚之點 F，稱為主焦點簡稱焦點。
(a)實焦點：凹面鏡之焦點為實際光線之交點稱為實焦點。
(b)虛焦點：凸面鏡之焦點為反射光線往後延長的交點，稱為虛焦點。
(8)焦距：焦點到鏡心間之距離稱焦距，以f=OF=R/2表之。
(9)焦平面：所有平行之光束(不一定平行主軸)經拋物面鏡(或極小孔徑角之球面鏡) 反射所形成諸焦點之集合平面，焦點面通過主焦點且垂直主軸。
F F
(a)凹面鏡實焦點F (b)凸面鏡虛焦點F' (c)焦平面P
4.球面鏡的性質(可依反射定律用幾何作圖法來說明)：
(1)由曲率中心C至鏡面各點的線，皆為法線，故由C發出之光經凹面鏡反射，皆 回向C。
(2)與主軸平行的光束，經凹面鏡反射後，並不聚於任何一點；入射光愈近鏡之邊 緣，則反射後聚點愈近鏡面產生所謂球面像差。
(3)由於上述?的性質，故欲求入射平行光束的約略聚於一點(F點)，則宜取極小孔 徑角之鏡，則入射平行光束約聚集於一點Ｆ，稱為焦點。
(4)如光源位於小孔徑角的凹面鏡的F點，則反射的光，將約略成一平行光束。
(5)入射光投射在凹面鏡的『頂點』，其反射方向與入射光線，對主軸對稱。
二、拋物面鏡與球面鏡：
1.所需孔徑不太大時，球面鏡近似拋物面鏡，如圖所示，F為共同焦點，C為共同曲 率中心。
2.因球面鏡易於製造，故鏡面孔徑不需太大時，常以曲率半徑r＝2f的球面鏡代替焦 距為f的拋物面鏡。
註：為避免球面像差，本章我們僅討論孔徑角極小之球面鏡的成像。
C F
凹面鏡的成像
一、成像作圖法則－圖(a)所示
(依據反射定律)
1.平行於主軸之光線，經凹面鏡
反射後，通過焦點。
2.通過凹面鏡焦點之光線，反射
後與主軸平行
3.通過凹面鏡球心之光線反射後
沿原路射回。
4.射至鏡頂之光線，反射線與入
射線對稱於主軸(主軸為法線)。 圖(a)
圖(b) 物在位置(、(…位置時，像在位置('、('…。
討論：
(A)凹面鏡所生之像不可能在鏡頂與焦點之間(因鏡前實像之像距q＞f)。
(B)實物在凹面鏡前沿主軸方向移動時，不論其所生成之像為實像或虛像，其移動方向 恒與實物移動方向相反。
(C)凹面鏡所生成之虛像恒不小於實物(實物與虛像在鏡面重合且大小相等)。
(D)凹面鏡所生之實像恒與物體在鏡之同側(均在鏡前)；而虛像則與物體分在鏡之兩側 (物體在鏡前而虛像在鏡後)。
(E)根據光的可逆性，物與實像位置可以互換而共軛成像。
凸面鏡的成像
一、成像作圖法則：圖所示(依據反射定律)：
1.平行於主軸之光線，經凸面鏡反射後，其反方向延長線通過焦點。
2.射向凸面鏡焦點之光線，反射後與主軸平行。
3.射向凸面鏡球心之光線反射後沿原路射回。
4.射至鏡頂之光線、反射線與入射線對稱於主軸。
討論：
(A)凸面鏡所生虛像之像距恒不大於焦距。
(B)凸面鏡恒生正立虛像且其大小恒不大於物體(實物與虛像在鏡面重合且大小相等)
(C)若物體等速移近鏡面，則虛像自鏡後加速移近鏡面，且像逐漸變大。
圖(c) 物在位置(、(位置時，像在位置('、('。
二、球面鏡成像總整理(當曲率半徑ｒ→∞時，凸面鏡或凹面鏡均趨於平面鏡)：
像之
物之 性質
鏡別 位置
像之位置
虛
實
正
倒
與物
大小
比較
像物移動
速率
之比較
凹
面
鏡
1.無窮遠處
焦平面上
實
一點
物速＞像速
2.球心外
球心與焦點間
實
倒
較小
3.球心上
球心上
實
倒
相等
物速＝像速
4.球心與焦點間
球心外
實
倒
較大
物速＜像速
5.焦平面上
無窮遠
6.焦點內
鏡後
虛
正
較大
物速＜像速
7.焦點內向鏡頂漸近
鏡後移近鏡頂
虛
正
較大
凸
面
鏡
1.無窮遠處
焦平面上
虛
一點
物速＞像速
2.鏡前
鏡後
虛
正
較小
3.鏡前向鏡頂漸近
鏡後移近鏡頂
虛
正
較小
平
面
1.鏡前ｄ處
鏡後ｄ處
虛
正
相等
物速＝像速
2.鏡前向鏡面移近
鏡後移近鏡面
虛
正
相等
三、成像公式：
1.牛頓式：
2.高斯式：
物焦距So：物至焦點之距離
像焦距Si：像至焦點之距離
物長：Ho、像長：Hi
物距 Do＝p：物至鏡頂之距離
像距 Di＝q：像至鏡頂之距離
焦距：f、曲率半徑：R、R＝2f
3.橫向放大率：
註：平面鏡可視為曲率半徑ｒ或焦距ｆ趨於無窮大之拋物面鏡(或球面鏡)， 故其q=-p 且 m=-1。
4.符號法則：
(1)焦距f：凹面鏡(可會聚光線)取正，凸面鏡(可發散光線)取負。
(2)物距p：鏡前實物取正，鏡後虛物取負。
(3)像距q：鏡前實像取正，鏡後虛像取負。
(4)物焦距So：實物在焦點外側為正，在焦點內側為負。
(5)像焦距Si：實像在焦點外側為正，在焦點內側為負。
(6)曲率半徑r：凹面鏡取正；凸面鏡取負。
四、凹面鏡之成像圖解
五、凸面鏡之成像圖解
面鏡組合成像─光在面鏡之間經多次反射所成之像
一、成像情形：
焦距分別為f1與f2且相距d之兩面鏡M1與M2同軸相向而立，將一物體置於M1前 主軸上距M1為P1。物體經第一面鏡反射所成之像，不論為實像或虛像皆可視為第 二面鏡之物體，再對第二面鏡反射成像：
(1)若第一面鏡所成之像為虛像，則恒位於第二面鏡之鏡前，可視為"實物"，其物距 取"正"。
(2)若第一面鏡所成之像為實像，其像距q1>０，且位在第二面鏡的
(a)鏡前(q1<d)→可視為"實物"，其物距p2取"正"→p2＝d－q1>０
(b)鏡後(q1>d)→可視為"虛物"，其物距p2取"負"→p2＝d－q1<０
二、成像公式
1.成像位置：
(1)先經第一面鏡反射成像──此像可視為第二面鏡的物體
由求出像距q1
?再經第二面鏡反射成像──物距p2＝d－q1
由 ( 求出像距q2
(a)若q2＞０→最後成像為實像且位在第二面鏡之鏡前。
(b)若q2＜０→最後成像為虛像且位在第二面鏡之鏡後。
2.放大率：兩面鏡放大率之乘積
三、成像性質：經多次反射成像後，虛像不一定是正立，實像也不一定是倒立，必須以 每個情況逐漸判斷。
1.像的正立或倒立，由組合面鏡的總放大率的符號來決定：
由m＝m1×m2 → m＞０ 為正立 、 m＜０ 為倒立。
2.虛物對
(A)平面鏡必成正立與物等大之實像。
(B)凹面鏡必成正立縮小實像。
(C)凸面鏡可成正立放大實像，倒立縮小虛像，倒立相等虛像，倒立放大虛像。
