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1. 聚焦原理 (Principle of Focus)
2. 反射成像 (Image Form by Reflection)
3. 折射成像 (Image Form by Refraction)
4. 薄鏡公式 (Thin Lens Equation)
5. 像差 (Aberrations)
幾何光學
聚焦原理
當光 S通過曲面上位置 A到達 P 點。若 A為曲面上任意點，
而 S與 P為固定，則我們稱 S與 P為共軛點。若 S為物點，
則 P 為像點。此狀況為 S所發射出的光會聚焦於 P。
由 Fermat法則得知，若 S所發射
出的光會聚焦於 P， 則其光學路
徑必然相等（都是最短路徑）。
SPOPLSAPOPL
surfaceA
=?
∈?
tconsOPnSOnAPnSAn tan2121 =+=+∴
S P
A
O
2
.
.
2
1
21
constAPDAnn
constAPnDAn
=+?
=+?
考慮 S點位於無窮遠的位置，這相當於平行光經過曲面 A
後聚焦於 P點。此時光學路徑相等的條件可寫為：
D
P
A
O
幾何已知上滿足此條件所形成的曲線為二次曲線，而比值
n1/n2=e相當於二次曲線中的離心率。 e < 1時為橢圓， e = 1
時為拋物線，而 e >1時為雙曲線。
結論：用不同材質所磨成的聚焦鏡片，其曲面必須依其折
射係數而滿足不同（且 唯一 ）的曲率條件。
球面鏡成像
球面鏡成像時可以下列圖示表達之。
由前面所述的聚焦原理可知，理想的反射聚焦鏡應為拋物
面鏡 (n1=n2所以 e=1)。 由於球面鏡於製作上較為簡便，因
而市面上價廉的反射鏡多半為球面鏡，因此非理想聚焦狀
態，導致球面鏡成像時影像模糊不清，稱之為球面像差。
Rp
qR
h
h
qR
h
Rp
h
?
??=′?
?
′?=
?= atan
焦距 =≡=+?
?=????=∴
?=′
ffRqp
q
R
p
R
Rp
qR
p
q
pqhh
1211
11
//Q
3
Ray Diagrams
球面透鏡成像
考慮如下圖所示球面透鏡的折射聚焦。在角度都不是很大
的狀況，折射定律可寫為
22112211 sinsin qqqq nnnn =?=
由幾何關係有 gqbbaq +=+= 21 &
qdRdpd /tan/tan/tan ≈≈≈ gba
將此結果代入折射定律，經整理後可寫為
R
nn
q
n
p
nnnnn )()( 1221
1221
?=+??=+ bga
4
例題：直徑為四公分的蒲公英種子被封裝於直徑為六公
分的透明塑膠球中。若塑膠的折射率為 1.50，問此種子
由外面看起來離球面約多近？
此問題相當於由蒲公英種子
最外層的任意一點所發出的
光被聚焦於像點上，故由球
面透鏡的折射聚焦關係可得
cmq
cmqcm
R
nn
q
n
p
n
75.0
0.3
5.10.11
0.1
50.1
)( 1221
?=
?
?=+∴
?=+
平面折射聚焦
若介質界面為一平面，這相當於
曲率半徑為無窮大，故
pnnq
nn
q
n
p
n
1
2
1221 )(
?=?
∞
?=+
例題：一魚於距離水表面為 d的深度悠
游，若由正上方觀看此魚所在深度為
多少？
ddq 752.033.1 0.1 ?=?=
5
薄鏡公式
考慮由兩個距離為 t 的球面曲面所形成的透鏡系統（如下
圖所示），由其成像關係可得
2112121
222111
)1(
)(
11
)1(1)1(1
R
n
tqq
tn
qq
n
qtq
n
R
n
qp
n
R
n
q
n
p
?=
??+?≈++??
?=+?=+ ＆
在鏡片厚度可忽略的情況下，
結合上面兩曲面成像關係式
???
?
???
? ??=
+
21
21
11)1(
11
RRn
qp
qpRRnf
1111)1(1
21
+=??
?
?
???
? ??≡
由此可定義透鏡系統的焦距 f， 其成像關係可寫為
6
例題：一折射係數為 1.52的聚焦透鏡於空氣中的焦距為
40.0公分，若將此透鏡至於水中，其焦距將變為多少？
cmRRnf
air
0.4011)1(1
21
=??
?
?
???
? ??≡
由透鏡焦距 f的定義
cmRRn nf
waterwater
?11)1(1
21
=??
?
?
???
? ??≡
cmf
cm
cm
n
n
n
f
f
water
water
air
water
148
?
0.40
133.1 52.1
152.1
)1(
)1(
=?
=
?
?=
?
?≡∴
像差 (Aberrations)
Chromatic AberrationsSpherical Aberrations
