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光的行進
1. Fermat’s Principle 費馬定律
2. 反射定律
3. 折射定律
4. 色散 (Dispersion)
5. 全反射
Fermat’s Principle 費馬定律
大約在兩千年前的埃及時代，亞歷山大人 Hero於探討光反
射現象時提出下列的敘述
The path taken by a light in going from some point S to a
point P via a reflecting surface was the shortest possible one.
此定律後來發展為所知的變分法則 (variational principle)。
西元 1657年 Fermat提出最小作用法則 Principle of Least Time
同時解釋光的反射與折射現象。 Fermat重新詮釋 Hero的敘
述為
The actual path between two points taken by a beam of light is
the one that is traversed in the least time.
2
反射現象
S
P
P`
x
qi qr
l
hs hp
B
考慮一束光由點 S出發，於平面上
的 B點反射到達 P點。由於光皆在
同一介質中行進，故其行進速度
皆為 v。 由 S經 B到達 P點所花的時
間可寫為
v
xlh
v
xh
v
BP
v
SBt PS 2222 )( ?+++=+=
Fermat指出此路徑應為最短時間，故有
ri
PS xlh
xl
xh
x
dx
dt qq sinsin0
)(
)(0
2222 =?=?+
??
+
?=
折射現象
考慮一束光由點 S出發，通過平面
上的 B點到達界面另一端的 P點。
令光在 S端介質中行進速度為 v1 ，
在 P端介質中速度為 v2 。 則由 S經
B到達 P點所花的時間可寫為
2
22
1
22
21
)(
v
xlh
v
xh
v
BP
v
SBt PS ?+++=+=
Fermat指出此路徑應為最短時間，故有
21
22
2
22
1
//sinsin
0
)(
)(0
vcnvcnnn
xlhv
xl
xhv
x
dx
dt
tittii
PS
≡≡=?
=
?+
??
+
?=
qq
hs h
p
S
P
x
qi
qt
l
B
3
光學路徑
由此折射現象推廣，考慮光通過折射係數為 ni=c/vi介質的
空間距離為 Si ， 其總共所花的時間為
∑
=
=+???++=
m
i i
i
m
m
v
S
v
S
v
S
v
St
12
2
1
1
S1
S2
S3
Sm
兩邊皆乘以光於真空中速度 c則得
i
m
i
ii
m
i i
i SnS
v
cct ∑∑
==
==
11
因而 nS等效於光於真空行進的距離，
我們稱之為光學路徑長度 Optical
Path Length
光為電磁場波動，其電場與磁場可表示為
)cos()cos( maxmax tkxBBtkxEE ww ?=?=
而其傳播速度為 nknckv oo /// ww ===
由馬克斯威爾方程可得知，當光通過不同介質時，其行
進速度雖然不同，但是其振動頻率卻保持不便。
nnnkk o
o
oo //
22 ll
l
p
l
pww =?===?= Q
電磁場的波函數形式可因此而改寫為
)cos()cos( maxmax tnxkBBtnxkEE oo ww ?=?=
此結果顯示，光於不同介質中傳播時的等效距離為 nx
4
反射定律
由 Fermat法則推知，光於任一表面反射時需滿足入射角等
於反射角的條件 θI = θr 。 唯 此角度乃以垂直法線為參考。
因而若反射面為一光滑面，
則此平面上的法線方向皆
一樣，故所有的反射光皆
平行，我們稱之為鏡面反
射 (Specular Reflection)
若反射面為一粗糙面，則
此平面上的法線方向 不一
樣 ，致使反射光四處亂射，
我們稱之為散射 (Diffuse
Reflection)
反射的例子與應用
5
折射定律
由 Fermat法則推知，光通過不同介質界面時需滿足
ttii nn qq sinsin =
此為折射定律，或稱 Snell’s Law
例題：一波長為 550nm的光，以四十度的入射角進入一透
明介質中。若量得其折射角為二十六度，求其折射係數。
由折射定律 47.1sinsinsinsin ==?=
t
ii
tttii
nnnn
q
qqq
例題：一波長為 589nm的光，以三十度的入射角進入一折
射係數為 1.52的透明介質中。求其折射角。
o
t
o
t
ii
t n
n
2.19329.0sin
329.052.1 30sin00.1sinsin
1 ==∴
=?==
?
q
qq
6
例題：一般 CD player的雷射讀頭波長為 780nm。 若 CD表
面的透明保護層折射係數為 1.55，求雷射光於此透明保護
層中的速度與波長。
nmnmn
smsmncv
o 503
55.1
780
/1094.155.1 /100.3 8
8
===
×=×==
ll
例題：光通過一兩面
平行介質的行進方向
不變。
色散
物質的折射係數為電磁波頻率的函
數（如左圖所示），因而不同顏色
的光於介質中的行進速度不一樣。
此效應可於光通過不同折射係數界
面時，因折射係數隨頻率而改變，
使得不同顏色的光以不一樣的折射
角偏而離觀察到。此不同顏色因折
射係數變異而產生偏離（分離）的
現象被稱為色散 (Dispersion)。
7
彩虹
太陽光看起來雖為白色，然而其光
譜卻包含了整個可見光的範圍。因
而當它經過水滴產生折射時，不同
的譜線因偏折而分離。
例題：單色光通過稜鏡時所產生的最小偏移角為當入射角
等於出射角時（如圖所示），若稜鏡的頂角為 Φ，則由幾
何的關係與折射定律可得
22
min
21
daqq +Φ=+=
)2sin(
sinsin
min
21
d
qq
+Φ=
= n
2sin
)2sin( min
Φ
+Φ
=∴
d
n
8
全反射 (Total Internal Reflection)
當光由折射係數較大的介質 1進入折射係數較小的介質 2
時，由折射定律得知
2
1
2
12211 sinsinsinsin qqqq n
nnn =?=
當光進入介質 2 時可能產生的最大偏折角為 90度，此時入
射角為
1
21
1
1
2
1
2
1 sin2sinsin n
n
n
n
n
n
c
?==?== qqpq
我們稱此角度為臨界角 (critical angle)。 由上式可知，當入
射角大於臨界角時，所產生的偏折大於 90度，亦即光不
可能進入介質 2 內部，而完全反射回介質 1中。這為所謂
的全反射現象。
例題 （ 一）水的折射係數為 1.33，問其臨界角為何？
由前面式子可知臨界角為
o
c n
n 8.48
33.1
1sinsin 1
1
21 === ??q
（ 二）利用此結果預測當水中的
魚分別以 40o、 48.8o與 60o看水外
世界會是什麼樣的狀況？
