幾何光學 ─光之折射 折射與司乃耳定律 一、折射現象： 1.光從一物質進入另一物質改變進行方向之現象稱光的折射。因為光自一物質進入他 物質時其速度改變故生折射。 2.實例：銅幣在水中似乎浮起，米尺在水中似乎彎曲。 入射線 法線 二、折射定律： 1.第一定律：入射線、折射線及界面的法線，均在同一平面上。 2.第二定律：入射角的正弦和折射角的正弦比是一定值。 註：有某些晶體，其入射線、折射線和界面的法線，可能不在 折射線 同一平面上。(雙折射現象) 3.第二定律又稱為司乃耳定律(Snell's law)可寫成  入射角的正弦和折射角的正弦比稱為折射率。 三、絕對折射率： 光線由真空(大略言之由空氣)進入某種介質所生之折射率，稱為該介質的絕對折射 率。絕對折射率恒大於１，即n≧１。 物 質 絕對折射率 物 質 絕對折射率  空氣(1atm、0oC) 1.0003 甘 油 1.47  玻 璃 1.5~1.9 酒 精 1.36  鑽 石 2.42 油 酸 1.46  熔融的石英 1.46 水(20oC) 1.33  石英結晶 1.54     四、相對折射率： 光線由第一種介質，進入第二種介質之折射率，稱為第二種介質對第一種介質之 相對折射率。即  五、光路之可逆性： 設n12與n21表示二種物質間第二介質相對第一介質之折射率，與第一介質對第二 介質之相對折射率。 則   故  六、相對折射率與絕對折射率的關係： 若nm為光由空氣進入介質m之折射率，θm為折射角，則 sinθa＝nmsinθm 因sinθa＝n1sinθ1 ； sinθa＝n2sinθ2 ∴n1sinθ1＝n2sinθ2 而；即  七、多層平行界面之折射： n1 n2 n3 n1sinθ1= n2sinθ2= n3sinθ3= n4sinθ4 n4 八、折射率與光速： 1.如圖所示，兩平行光線中，A、B為兩對應點 ，當A已達第二介質時，B仍在第一介質中。  B 介質1 若v1及v2各表兩種介質中光的速度，則經t秒 n1 後，A傳至C，B傳至D。若光在第二介質中 n2 A D 介質2 速度較慢，則AC較BD為短，但兩者所需時間 r C 相等。故AC＝v2t BD＝v1t 而  得  2.光在兩種介質中，傳光較速的介質稱光疏介質，較慢者稱光密介質，光疏及光密與 物質之疏密無關。 3.光由光疏進入光密介質(v1＞v2)折射角小於入射角，折射線靠近法線，反之由光密 至光疏介質，折射角大於入射角，折射線必遠離法線。 4.折射率之大小，不但隨兩介質之不同而異，亦隨其光波波長之不同而異。波長較長 頻率較小之紅光對介質之折射率較小，故紅光在介質中之速率較紫光為大。 ?折射率也常影響介質表面反射之光量大小，設介質表面之反射係數為Ｒ則 註：(a)若第一介質為真空，而第二介質為某介質時，則n12為某介質相對於真空的折射 率，亦即某介質的絕對折射率n，故n＝n12，而在真空中光速最大，常以C表 之，故一介質的絕對折射率 n=C(真空中的光速)/v(介質中的光速) (b)按(a)之定義，真空的絕對折射率為1；空氣的絕對折射率在一大氣壓及室溫情 形下約為 1.0003，幾近於1；故在一般光學計算中即可將在空氣中行進的光速， 看成為光在真空中行進的光速。 全反射 一、全反射： n2 光自光密介質(n2)進入光疏介質(n1)時，折射線 n1 　偏離法線，即θ2＞θ1，如圖。故當入射角增加 　到某一角度時(θC)，折射角為90o ，入射角再 增加，光線不再折射而全部反射。 法線 二、臨界角： n2 折射線 光自光密介質進入光疏介質時，當折射角為90o時 n1 之入射角稱為臨界角，如圖之θC。 θC 由公式 n1sinθ1＝n2sinθ2 入射線 反射線 n1sinθC＝n2sin90o ∴  三、全反射之條件： 1.光由光密介質進入光疏介質。 2.入射角大於臨界角。 四、討論： 1.通常說明某介質的臨界角，係指對真空而言。因已之物質的臨界角以鑽石為最小， 最易於全反射，故成燦爛發光。 2.折射率為n的介質臨界角為　θC＝sin-1 3.事實上，當光自一介質射至另一個介質時，有一部份透過，有一部份光反射，這兩 部份光的強度則和介質性質及入射角大小都有關係，所以全反射現象並不是突然發 生的，在玻璃對空氣的界面，當入射角增大時，反射光的強度增加，而折射光的強 度減少，在入射角超過臨界角後，所有的入射光線全部反射而回，不生折射。 4.「光纖管」為全反射現象的一個極重要的應用，係一透明細絲管，其與外圍界質的相對折射率大於1，光從一端射入，在管的內面經連續多次幾乎不損其強度的全反射，由管的他端射出。如醫學診斷的各種內視鏡及光纖通訊等。 5.海市蜃樓(Mirage)的原因： (1)海邊奇景(正立虛像於空中)： 因海水比熱很大，日間受太陽照射，溫度不易改變，致使愈近海面的空氣溫度愈 低，密度愈大，折射率愈大，故下層空氣為光密介質而上層空氣為光疏介質，使 得遠方低處射來的光線經層層空氣的連續折射，一在地由光密介質進入光疏介質 而偏離法線，至入射角大於臨界角後終於產生全反射而向下彎曲。 (2)沙漠幻影(倒立虛像於原物下方)： 沙漠地帶，因沙之比熱小，日間受太陽照射溫度易升高，致使地面附近之空氣溫 度較上空高，密度、折射率遂較高空小，故當遠方高處之物體射出之光線接近地 面時(相當於由光密介質射向光疏介質)，其行經路徑類似 (1)之原理，經多次折射 及一次全反射之作用而向上彎曲。 兩介質的平界面之折射成像 一、物體由第一介質中發出光經平界面產生折射現象 n2 O 而由第二介質中觀察第一介質之位置已經改變。 n1 C 所見者為虛像，如圖。A物成虛像於B，AO為 B 實深(p，物距)，BO為視深(q，像距)。當：θ1 與θ2很小時，則 A  即  (光線由介質1進入介質2，觀測者在介質2。) 二、1.若由光疏介質中觀看光密介質中景物時n12<1，像之視深較淺，q<p。 2.若由光密介質中觀看光疏介質中景物時n12>1，像之視深較深，q>p。 三、若有m層折射率不同之介質，其厚度分別為d1、d2…dm而對應介質折射率為n1、 n2…nm。則最底層物體之視深D為：(觀測者所在介質之折射率為nx)  四、由光疏介質看光密介質之光點，愈離法線方向觀察視深愈淺。 五、視深隨光之顏色不同而變，因各色光之折射率不同，紅光最小紫光最大，故在光疏 介質中觀測光密介質之視深，紫光最小，紅光最大，即紫光浮升較高，紅光浮升較 低。 光經過平行板的折射 平行玻璃板的偏向位移： 厚為d的平行透光板，光線自一面斜射而入，而由他面射出(如圖)，經兩次折射，射 出光線與射入光線平行，但側移一距離D。  設n為透明板之折射率， 由sinθi/sinθr＝n，故 n d  三稜鏡的折射及偏向角 一、三稜鏡之折射： 1.三稜鏡是改變光的進行方向之儀器。 2.偏向角：入射光線與出射光線之夾角稱為偏向角以δ表之。由圖可知： ∠1＝ｉ－α，∠2＝ｒ－β α＋β＝180o－∠3＝∠A 故：　δ＝∠1＋∠2＝ｉ＋ｒ－(α＋β) ＝ｉ＋ｒ－A (A為頂角) A E D 1 i F F B C 二、最小偏向角： 1.最小偏向角：由理論或實驗可證明左右對稱的情況下，偏向角為最小，即 ｉ＝ｒ，α＝β時δm為最小。 2.偏向角之大小隨頂角，入射於第一面光線的方向，及稜鏡的折射率而定。折射率隨 不同顏色的光而有不同的數值。 色散現象 一、色散： 1.平行之日光光束，經三稜鏡折射後，因對玻璃折射率不同而分散成紅、橙、黃、綠、 藍、紫等六色光譜的現象稱光之色散。由上述討論偏向角δ之大小與折射率有關， 紅光經稜鏡，偏向最小其折射率亦小，紫光最大，折射率亦大。 2.如玻璃的折射率n為光波長λ的函數，且有如下關係 　　n(紫光)＞n(藍色)＞…＞n(黃色)＞n(紅色) 則偏向角δ的關係為： δ(紫)＞δ(藍)＞…＞δ(黃)＞δ(紅) B δ 白光 n A C 3.折射率隨波長而不同，紅光波長最大，在玻璃中速度最快，偏向角最小，折射率最 小；紫光恰相反。 4.色散度乃視折射率n和波長λ的函數關係而定。如下所示n－λ圖，若圖線為一水 平直線，即折射率與波長無關，則折射光將無色散。而n－λ圖中在可見光的範圍， 因n之值隨光波長的增加而遞減，其變率隨不同物質的性質而定，故有色散現象， 不同物質之色散度亦不同。 5.鑽石的折射率ｎ值，對不同波長有較大的改變度如n－λ圖所示，故鑽石的色散作 用遠大於玻璃；它將入射的白光經折射後分散，產生光彩。 n 2.4354 2.4100 鑽石 1.517 1.509 冕玻璃 1.000279 1.000276 空氣 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 λ(埃) 紫 藍 黃 紅 　 折射率n與光波長λ之關係圖 二、虹與霓： 1.原因：陽光經浮游空中之小水滴(雲)反射，折射及色散之綜合作用而產生。 2.虹：陽光射入水滴，經兩次折射一次反射後產生色散，紫光偏向約為140o，紅光 偏向約為138o。故射出時紫光與日光方向成40o，紅光成42o，故虹之紫色在 內，紅色在外。 3.霓：陽光射入水滴，經兩次折射兩次反射後，產生色散，紅光與日光成51o，紫光 與日光成54o，故霓之紅色在內，紫色在外。 註：1.霓虹同時出現時，虹在內(40o紫～42o紅)顏色較濃，霓在外(51o紅～54o紫)顏色 較淡。　 2.每人所見之虹之仰角相同，但因形成虹或霓的水滴都非常小，其直徑通常均在毫 米以下，故來自一個水滴的虹光只有一種顏色，即每人所見各種顏色，並非由同 一水滴色散的結果，而係由許多水滴對入射的陽光色散後的集體現象。 3.對同一水滴，觀察者的位置若略加變動，則見到的虹光顏色應當不同，故各人所 見的虹並非同一條。 4.虹所以成圓弧之原因為：以眼為頂點，則和水平線成42o夾角之直線繞水平線為 軸作一圓錐，經面上之任何水滴射入人眼之光均為紅光，由人眼望去這些水滴排 列在一圓周上而成一紅色圈，同理可說明其他色圈，如下圖(b)所示。 5.虹之色圈的圓心[即圖(b)中的O點]可看成是陽光照射到觀察者[圖(b)中的P點]在 觀察者另一方所形成的影子，因此當太陽對P點的仰角越大，則O點愈低，觀察 者所能看到的虹也就越少，此即人在地面所見者大約為半圓形的原因；而當太陽 仰角大於42o時，則地面上的觀察者即無法看到虹；相反的，如觀察者位置越高， 所看到的虹越多，飛機上的乘客有時可看到全圓的虹，原因即在此。 球面透鏡 球面透鏡的成像 一、透鏡的意義：利用折射作用以達到控制光線與引導光線目的之儀器。 二、透鏡的聚光原理：光線透過不同厚度的玻璃塊時，光會向厚的方向偏折。 三、透鏡的種類： 1.柱面透鏡：由兩柱面相交而成，能將平行光線折射後，會聚成一直線。　 2.球面透鏡：由兩球面相交而成，能將平行光線折射後，會聚成一點。 (a)凸透鏡(Convex Lens)──中心部分之厚度比周緣為厚。　 (b)凹透鏡(Concave Lens)──中心部分之厚度比周緣為薄。 雙凸 平凸 凹凸 雙凹 平凹 凸凹 (a)凸透鏡 (b)凹透鏡 四、透鏡各部份名稱： 1.主軸(Axis)：聯結兩個球面曲率中心的連線。 2.主焦點F(Principal Focus)──平行於透鏡軸的入射光柱經透鏡折射後焦聚或延長 交於軸上的一點。 3.光心(或鏡心)：光線透過之後不生偏向之點。 4.焦平面：當一組平行光線射入透鏡，並不與主軸平行時，光經透鏡折射，亦會聚於 一點，此等交會點所組成之面，稱為焦點面。 ※焦平面與主軸垂直，其與主軸之交點即為主焦點。 5.孔徑：透鏡面之直徑(鏡高)。 6.曲率半徑r(Radius of Curvature)：透鏡面至球心C的距離。 ※透鏡兩面的曲率半徑不一定相等。 7.焦距f(Focal Distance)：從透鏡的中心到主焦點的距離。 ※如果透鏡的厚度與其焦距比較算是很薄時，則不管光線是從透鏡的那一面入射， 其焦距常是相等。 五、薄透鏡(孔徑角極小的透鏡─→減少像差)的成像公式： 設薄透鏡之兩球面的曲率半徑分別為r1與r2，折射率為n2，而透鏡周圍介質之折 射率為n1，則一物體置於n1介質中經透鏡折射成像，可視為由兩個球界面折射成 像之組合。 1.造鏡者公式(Lens Maker's Formula)：  曲率半徑r之值：當球面外凸者r為正，內凹者為負，平者為∞。 (2)對凸透鏡而言：＞０，且對凹透鏡而言：＜０ (A)當透鏡(n2＞１)周圍介質為空氣(n1＝１)時，則因n12＞１，故凸透鏡的焦距 f＞０，為會聚透鏡；凹透鏡的焦距f＜０，為發散透鏡。 (B)當n12＞１，即透鏡四周介質為光疏介質(n1＜n2)時，則凸透鏡仍然為會聚透鏡， 而凹透鏡則為發散透鏡。 (C)當n12＜１，及透鏡周圍為光密介質(n1＞n2)時，則凸透鏡為發散透鏡；凹透鏡為 會聚透鏡。 2.薄透鏡的焦距f可由下述二法之一定義之： (1)f為像距無限遠時的物距，即q→∞時的p＝f。此時物體在主軸上的位置，稱為 第一交點F1(亦稱物焦點)，見圖。 (2)f為物距無限大時的像距，即p→∞時的q＝f。此時物體在主軸上的位置稱為第 二焦點Ｆ２(亦稱像焦點)，見圖。 3.成像公式： (1)牛頓式：SoSi＝f 2 B p D q (2)高斯式： 物焦距So：物至物焦點之距離 像焦距Si：像至像焦點之距離 物長：Ho　　　　 So f f Si 像長：H i 物距ｐ：物至鏡頂之距離 像距ｑ：像至鏡頂之距離 (3)橫向放大率： 4.符號法則： (1)焦距f：由造鏡者公式決定、會聚鏡為正，發散鏡為負。 (2)物距p：鏡前實物取正，鏡後虛物取負。 　 (3)像距q：鏡後實像取正，鏡前虛像取負。 六、薄透鏡的組合(Thin－lens Combination)： 　 焦距分別為f1，f2的兩薄透鏡L1與L2，同軸而立，一物置於L1前主軸上，距L1為 P1，兩鏡相距d。 1.物體經第一透鏡所成之像可視為第二透鏡的物體，再對第二透鏡成像。 (1)若第一透鏡所成之像為實像(像距q1＞0)，則 (A)位在第二透鏡前，可視為實物，其物距p2取正(p2＝d－q1＞0)。 (B)位在第二透鏡後，可視為虛物，其物距p2取負(p2＝d－q1＜0)。 (2)若第一透鏡所成之像為虛像(像距q1＜0)，則恆位於第二透鏡前，可視為實物， 其物距p2取正(p2＝d－q1＞0)。 2.成像位置： 第一次成像：。 第二次成像：。 3.放大率： 【注意】組合透鏡或面鏡，其像的性質討論如下： 1.像的虛實由最後像距q2的符號決定： (1)q2＞0為實像 (2)q2＜0為虛像。 2.像的正立或倒立，由組合透鏡的放大率乘積的符號來決定： m＝m1×m2 → (1)m＞0為正立 (2)m＜0為倒立。 作圖法 一、成像作圖：由以下三條光線任選兩條便可決定像的位置。 1.凸透鏡：圖(A)所示。 (1)平行主軸入射光線，經透鏡折射後必通過異側焦點(像焦點)。 (2)通過光心之入射光線，經透鏡折射後其方向不變(即側位移＝0) (3)通過焦點(物焦點)之入射線，經透鏡折射後，其折射線必平行主軸。 2.凹透鏡：圖(B)所示。 (1)平行主軸入射光線，經透鏡折射後，似由同側虛焦點(像焦點)射出。 (2)通過光心之入射光線，經透鏡折射後其方向不變(即側位移＝0) (3)射向鏡後焦點(物焦點)之入射線，經透鏡折射後，其折射線必平行主軸。 【註】利用薄透鏡成像，通常以 表薄凸透鏡，而以I表薄凹透鏡。 B (1) B (1) (3) (2) (2) A F1 A F2 A' F1 B' (圖Ａ) (圖B) 二、透鏡成像之性質： 像之 物之 性質 鏡別 位置  像之位置 虛 實 正 倒 與物 大小 比較 像物移動 速率 之比較   凸 透 鏡 1.無窮遠處 另側焦平面上 實  一點 物速＞像速   2.二倍焦距外 另側F與2f間 實 倒 較小    3.二倍焦距上 另側2f上 實 倒 相等 物速＝像速   4.焦點與二倍焦距間 另側2f外 實 倒 較大 物速＜像速   5.焦平面上 無窮遠       6.焦點內 鏡前(與物同側) 虛 正 較大 物速＜像速  凹 透 鏡 1.無窮遠處 焦平面上 虛  一點  物速＞像速   2.透鏡前 鏡後(與物同側) 虛 正 較小    3.透鏡前向鏡頂漸近 鏡前移近鏡頂 虛 正 較小    三、測定成像的位置： 1.觀察者的位置必定與物異側(無論觀察實像或虛像)。 2.測定實像位置的方法：(1)視差法 (2)視線交叉法 (3)映像法。 3.測定虛像位置的方法：(1)視差法 (2)視線交叉法。 四、共軛成像：凸透鏡與凹面鏡所成實像位置與物交換，其成像位置亦互換。其 放大率互為倒數。(令p'＝q且q'＝p → ) 共軛點：實物與實像可以互換之兩點。 (a) 實物 F2 F1 倒立縮小實像 (b) 實物 F2 F1 倒立等大實像 (c) 實物 F1 F2 倒立放大實像 (d) 正立放大虛像 實物 F1 F2 (e) 實物 正立縮小虛像 F2 F1 近視眼鏡與遠視眼鏡 一、眼： 1.構造：晶狀體(相當於一片凸透鏡)，網膜(相當於底片)，睫狀肌(可調整晶狀體之曲 度)，如圖所示。 2.成像：成縮小倒立實像在網膜上。 註：視網膜上雖成倒立、左右對調之實像，但因心理之聯繫合觸覺與視覺為一，故 由感光細胞轉成微弱電波經視神經，傳到大腦視覺區，人視物作為正立影像。 3.明視距離：物與實像對凸透鏡而言，其移動方向相同，物體很遠時，成像很近而在 網膜之前，必須調節睛珠使成像於網膜上。以一般人之網膜離睛珠距離而言，物距 25cm時容易成像於網膜上而不必調節睛珠，即不但可以看的清楚而不費力，久看 也不易疲勞，這段距離稱為明視距離。 註：(a)眼珠即晶狀體。 (b)眼睛之晶狀體至網膜之距離(即像距)無法改變，但焦距可藉著晶狀體的彈性與周 圍捷狀肌肉的動作調節晶狀體的焦距，使物體的像均能落在網膜上。 (C)由知若像距q固定，則物距p增加時，焦距f亦增加，欲看清楚較遠 之物體，晶狀體之焦距須較大，又 即其曲率半徑R要較 大，或曲度要較小。 4.遠點與近點： 遠點(Far point)：眼睛可以明視之最遠處。 近點(Near point)：眼睛可以明視之最近處。 註：正常人的遠點是在無限遠處，近點是依水晶體能調節作用的程度而定，它隨 著年齡而漸增，如右表所示，即越老近點越遠。 年齡(歲) 10 20 30 40 50 60  近點(cm) 7 10 14 22 40 200   5.視覺缺陷及其矯正： (1)遠視：因眼球的曲度過小或與網膜間之距離太短而使近處物體成像在網膜後方。 　　※矯正：需戴凸透鏡製成的眼鏡補救。 　(2)近視：因眼球的曲度過大或與網膜間之距離太長，遠處物體成像於網膜前方。 ※矯正：需戴凹透鏡製成的眼鏡補救。 (3)老花眼：老年人的眼珠失去靈敏的調節作用，當其注視近物時常不能增加眼珠的 曲率，故與遠視眼睛相似。 (4)像散眼(線視眼或散光)：因角膜各截面的曲率半徑不等，對於一點之物體所生的 像將作線形。 (5)透鏡度：透鏡焦距之倒數稱為透鏡度：D(焦度)＝1/f(公尺)