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1. 疊加原理 (Principle of Superposition)
2. 雙狹縫干涉 (Double-Slit Interference)
4. 波的相位加成 (Phasor Addition of Wave)
5. 薄膜干涉 (Thin Film Interference)
6. Michelson干涉儀 (Michelson Interferometer)
干涉現象
3. 雙狹縫干涉圖形光強度分佈
疊加原理 (Principle of Superposition)
光的本質為電磁波，因而當兩束以上的光疊加在一起時，其總
和光的電磁場振幅等於每束光電磁場振幅的線性相加。
∑∑ ==
i
i
i
i txBtxBtxEtxE ＆ ),(),(),(),(
考慮兩束頻率相同的光疊加在一起，其總和的電場強度為
iii kxtEtEtxE eaawaw +?≡+++= )sin()sin(),( 220110
由三角函數關係
abbaba
abbaba
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
+=?
+=+
兩束光的電場強度可展開為
tEtEtE
tEtEtE
wawaaw
wawaaw
cossinsincos)sin(
cossinsincos)sin(
220220120
110110110
+=+
+=+
2
重新整理後，電場強度可寫為
tEE
tEEtxE
waa
waa
cos)sinsin(
sin)coscos(),(
220110
220110
++
+=
220110
220110
00
2201100
2201100
coscos
sinsintan
)sin(cossinsincos
)sinsin(sin
)coscos(cos
aa
aaa
awwawa
aaa
aaa
EE
EEwhere
tEtEtEE
EEE
EEE
o
+
+=
+=+=?
+≡
+≡
方便起見，我們定義
)cos(2 12201022021020 aa ?++= EEEEE
總和電場強度的大小，可由其平方值求得
其相位差為
)()(2
)()(
2121
221112
eelp
eeaad
?+?=
+?+=?≡
xx
kxkx
由此可知，若此二束光彼此不相干，則
Λ=?=?= 021
0
21 )(
2)(2 kxxnxx
l
p
l
pd
其中 Λ為光學路徑差（ Optical Path Difference簡寫為 OPD），
此時總和的光強會因二束光光學路徑的差異而產生週期性
變化。
2
20
2
10
2),(0cos EEtxEI
timetime
+=∝?= d
此時不會有干涉的現象。因而在相干的前提下，考慮 21 ee =
則
3
雙狹縫干涉 (Double-Slit Interference)
1801年 Thomas Young利用如下圖所示的裝置進行實驗，他首次
發現投射於顯示幕上的光呈現平行的條紋圖樣 (fringe pattern)。
Young所觀測到的現象可以同調 (ω1=ω2,ε1=ε2)的兩道光源於顯示
幕上的疊加來解釋（如下圖所示）。
其 光學路徑差 Λ為 qsin)( 12 ndrrn =?=Λ
考慮此二光源的強度一樣 (E10=E20)， 則投射於顯示幕上光強度為
020100
2
0
2
0
2
0 )cos(22 EEEkEEEI ≡=Λ+=∝
4
當 OPD等於光源波長的整數倍 m 時
0
0
0
00
4
22
II
mmkm
=?
==Λ?=Λ
pllpl
當 OPD等於光源波長的整數倍 m再加上 1/2個波長時
0
)12()(2)( 021
0
002
1
=?
+=+=Λ?+=Λ
I
mmkm
pllpl
此時投射於顯示幕上的光強度為極大值，形成一明亮的條紋，
此為 建設性干涉 (constructive interference)時的條件。
此時投射於顯示幕上的光強度為極小值，形成一灰暗的條紋，
此為 破壞性干涉 (destructive interference)時的條件。
考慮狹縫到顯示幕的距離為 L， y為顯示幕上與對稱中心位置的
距離。在 L>>d與 d>>l的 情況下，我們可寫出明暗條紋的位置
1tan ＜＜ qqq whenLLy ≈=
)( 21+==∴ mdLymdLy darkbright ll ＆
例題：某雙狹縫到顯示幕的距離為 1.2m， 雙狹縫間距為 0.03
mm。 若顯示幕上干涉圖形中第二級亮紋 (m=2 second order
fringe)與對稱中心位置的距離為 4.5cm， 問此光的波長為？
由上面所得條件可求出
mm mmmLdy 7
52
2 106.5
)2.1(2
)100.3)(105.4( ??? ×=××==? l
mdLybright l=
5
雙狹縫干涉圖形光強度分佈
)2(cos
2
)cos(14)cos(22
02
max
02
00
2
0
2
0
2
0
Λ=?
?????? Λ+=Λ+=∝
kII
kEkEEEI
)(cos
)sin(cos
2
max
2
max
yLdI
dII
l
p
l
qp
=
=
除了可寫出雙狹縫干涉明暗條紋的位置外，我們可進一步的描
述干涉條紋光強度於空間的分佈狀況。在前述條件下於顯示幕
上的光強可表示為
由幾何上的關係，兩狹縫光束至顯示幕上的光成差可改寫為
波的相位加成 (Phasor Addition of Wave)
)2cos(2)2(cos 0002max diEEkII =?Λ=
由干涉條紋光強度的分佈狀況，其電場強度的關係可寫為
此結果可用圖示表達如右圖所
示（圖中的 Φ定義與講義中 δ
的一樣）。由於此結果對任意
相位差都成立，故對兩同調
(coherent)的光源之干涉結果可
以如下圖般，以圖示的表達方
式來描述。
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下面圖中顯示，當相位差為零時為最大值。總和電場的強度隨
相位差的增加而逐漸減小，直至相位差為 180度時為最小值。
當相位差繼續增加電場的強度轉而變大，直至相位差為 360度
時回到最大值。而後重複此現象成為一週期性變化模式。
利用此 phasor diagram的技巧，我們可以描繪出多狹縫干涉的結
果。以三狹縫為例，我們考慮三個 coherent且強度一樣的光源，
此三個光源到顯示幕上任意一點 P的電場強度可寫為
)2sin()sin(sin 030201 Φ+=Φ+== tEEtEEtEE www
類似於雙狹縫 phasor diagram的結果，三狹縫到顯示幕上任意一
點 P的電場強度為
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在此三狹縫的例子，我們可發覺當相位差為 120度及 240度時，
電場強度為零，而當相位差為 180度時有一較小的亮紋（局部
極大值）。其光強度分佈如下面圖片所示
薄膜干涉 (Thin Film Interference)
考慮光進入一薄膜系統如下面圖片所示，由於光行經每一界面
時，皆會被分成反射與折射兩道光。所以無論是考慮透射或反
射，兩個界面的貢獻皆應計算在內。這情況相當於每一界面等
效於一光源，所以無論是總反射或透射光會有類似於雙狹縫干
涉的現象。
建設性干涉 的條件：以反射光為例，
只要兩束光的相位差為 2pi的整數倍 即
為建設性的加成。值得一提的是，當
光由折射係數小到較大的界面反射時
其相位會改變 pi ，故以垂直入射為例，
建設性干涉發生在其 OPD為
,...2,1,0)(2 21 =+== mmntOPD l
破壞性干涉 的條件發生在
,...2,1,02 === mmntOPD l
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牛頓環 (Newton’s Rings)
當光進入一如下面圖片所示的系統，由於此二物體之間的間隙
隨著距離中心接觸點位置變化而改變，所以考慮反射光時，其
OPD隨 r的增加而增加， 所以會觀測到同心圓圖案的干涉現象。
RrrRRt 2/222 ≈??=Q
由前述破壞性干涉的條件，暗
紋應發生在
nmRrmnt /2 ll ≈?=
例題：許多光學或光電器材如鏡片，眼鏡與太陽能電池等，皆
希望能降低反射光的強度，以增加透射光的效率。未達到此目
的，可以經由在這些元件表層鍍上一層（或多層）膜來達到此
目的。以太陽能電池為例，通常會在 Si(n=3.5)表面鍍上一層 SiO
(n=1.45)的薄膜以增加太陽光的入射量。若此鍍膜的目的在於
使可見光光譜的中心線波長為 550nm的光反射為最小，問其鍍
膜最小的厚度應約為多少？
計算此題時得注意到，此鍍膜的兩個反射界面皆是由折射係數
小到大的反射，故其相位差幾需考慮 OPD即可。所以反射光為
最小時為
,...2,1,0)(2 21 =+== mmntOPD l
故其鍍膜厚度最小應為
nmnmntnt 8.9445.145504)0(2 21 =×==?+= ll
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Michelson干涉儀 (Michelson Interferometer)
