工程中的概率方法 课程笔记 16．901 2003 年春 大卫.达尔莫法 1 概率概念概述 本节的目的是为了快速地回顾概率论中的一些基本概念。 1.1 结论和事件 我们认为试验或行为是可以多次重复进行的。每次重复进行的结果可 记为 ζ . 某事件A 是满足一定条件结果的集合， 一个基本事件仅包括一个 单一的结果。 例 ：看检查涡轮喷气发动机动叶片的情形。设涡轮喷气发动机中的动 叶片总数为N ，每次检查结果的记录是因损坏而必须更换的叶片数量， 于是，结果就是一个非负整数集合 {0, 1, 2,...,N }. 假如发动机被更换的叶 片数大于某值，比如 5片，则预示该发动机可能发生了重大的损伤，需要 对其进行更为彻底的检查。在这种情况下， 我们会关注更换叶片数量在{6, 7, 8,...,N }中的事件。但这不是一个基本事件 ，因为它包含了多于一个结 果。当然，我们还会关注没有叶片更 换的情况，而该事件仅包含一个单一 的结果( 即 0)，因此是一个基本事件。 1.2 概率的意义 给定某事件A , 事件A 的概率P {A}假定满足如下性质： null P {A}≥ 0. null 仅当事件必然发生时， P {A} = 1. null 给定两个互斥事件A 和 B, 则 { } { } { } PA B PA PB+= + . 1.3 随机变量 概率论的效用在于描述随机变量的性质。用最简单的话来说，随机变 量可被定义为一个变量或参数，其值 依赖于实际试验的不同结果。因此随 机变量是一个结果的函数。我们用粗 体字母表示一个随机变量，如： x. 我 们已经知道x 的值依赖于实际发生的结果，即 x = x( ζ ). 例 ：我们接着看检查动叶片的例子。随机变量的一个非常简单的例子 是实际检查中更换的叶片数，此时，随机变量就是刚好就是结果本身 ! 特 别有, N(ζ )= ζ . 好了，让我们试试稍复杂些的。航空公司所关 心的是检修发动机的费用， 不含更换叶片的费用，航空公司仅因进行检查所需的人工工资是C I 美元 （劳工费），更换一片叶片的费用是 C B （包括新叶片和劳工费），而且， 如果更换的叶片数大于5 ，则由于必须进行更为彻底的检查，费用会急剧 上升。我们将这一费用增量表示为 C D . 既然检修的费用依赖于检查的结 果（而且结果是随机的），显然检修费用是一个随机变量。 特别有, , 0 5 () , 6 . IB IB D CC C CC C N ζζ ζ +≤? = ? ++ ≤≤ ? 对于 ， 对于 1.4 概率密度函数 (PDF) 我们常关心参数为实数（即有无穷多个值）的概率。此时，概率密度 函数可用来描述参数处在某区间的概率。特别，当给定随即变量 x ，使 a ≤ x ≤ b 的概率为 {} () b a P axb fxdx≤≤ = ∫ ， 其中f (x) 就是 x 的分布密度函数（PDF ） 。 一个常见的（而且可能是最简单的）分布是均匀分布。对于均匀分 布，我们假定其概率密度在某区域内是常数，在该区域外为零。 　均匀分布： 1 , () 0, axb fx ba ? ≤ ≤ ? = ? ? ? ? 对于 其它。 其他的分布形式在1.9 节中有介绍。 1.5 期望值和平均值 给定PDF, 随即变量的 x 的f (x)，则 x 的期望值定义为, {} x(Exf +∞ ?∞ ≡ ∫ )xd . x 的期望值也被看作平均值，我们也用符号 m x 表示。 1.6 方差和标准差 x 的方差定义为 22 ()() xx xfxdxσμ +∞ ?∞ ≡? ∫ 值 σ x 就是 x的标准差。方差是x 关于其平均值变化情况的一种测度，平均 值和方差之间一个经常用到的关系式是 { } 22 x 2 x x Eσ μ= ? 不妨试着证明一下！ 1.7 累积分布函数(CDF) x的累积分布函数(CDF) 定义为 x ≤x 的概率。特别有， F (x) ≡ P {x ≤ x } . 由概率的基本假设条件， 可以得出F (-∞ ) = 0 (即x 变成无穷大的概率为零) 且 F (+ ∞ ) = 1 (即x 小于无穷大的概率为 1). x 的 CDF 和 PDF 有如下关 系, () () a Fa f xdx ?∞ = ∫ 于是，我们可以证明, () () () b a Fb Fa f xdx?= ∫ 进一步，着隐含了 . dF f dx = 1.8 百分位数值 x 的 u百分位数值是满足下式的最小数 x u u = P {x ≤ x u } = F (x u ). 注意，既然u 是一个概率值，其区域为 0 ≤ u ≤ 1. 1.9 常用分布类型 1.9.1 正态分布 正态分布（或高斯分布）为： () 2 2 /2 1 () 2 xx x x fx e μ σ σπ ?? = 我们用通用的记号 (; )xNμ σ= 表示x 是服从均值为m , 标准差为s 的正态分 布的随机变量。 1.9.2 三角分布 这个分布常用于随即变量的最小值( x min )，最似然值( x mpp )和最大值 (x max )可以估计出来，但实际的概率密度不清楚的情形。三角分布假设概 率密度在 x max 达最大值，密度线性地变化到在最小点 x min 和最似然点 x mpp 的 处的零值。让我们推导这一情形的PDF.