响应面方法 第三部分：变换，失拟，和高阶响应面 变换 利用对所研究的工程问题的知识,系统地应用响 应面方法，可以显著地提高效率和精度，让我们通过 一个例子来说明。 涡轮叶片寿命 我们已经对涡轮叶片应用过一维热传导模型，在 这部分内容中，我们将一直沿用这个模型。 回忆8个随机输入变量： cool T M k TBC k gas h gas T M L TBC L cool h 到目前为止，我们只对一个输出结果感兴趣，即 较热的那一边的金属温度。 mh T 各种各样的例子表明在8个输入变量中，的响 应变化恰是线性的。因为我们真正感兴趣的是叶片的 寿命，我们希望确定叶片寿命的响应面，而不是。 首先，我们需要一种估计叶片使用寿命的方法，经受 高温的涡轮叶片的典型的寿命曲线是： mh T mh T 0 1 0 mh mh T c T LLe ?? ?? ?? ?? = 这里，是在已知温度下的使用寿命 0 L 0mh T c是常数 对于这个例子，我们已经研究过，假定： 0 10,000L =小时 0 835 mh T = ℃ 25c = 则叶片寿命的图像可以从下图看出： 现在，让我们来尝试构造一个使用寿命的线性响应面 模型，作为输入变量的函数： 8 0 1 ? ii i L aa = =+ ∑ x 我们用样本容量为20的样本来构造响应面，典型的结 果是： 对于的样本，20N = 2 ? 0.75 L R ≈ 显然，拟合结果并不令人满意，实际上，如果我们把 增加到，我们发现： N 2000N = 对于的样本，2000N = 2 ? 0.2 L R ≈ 所以，当我们增加抽样的数量时，线性模型的失拟使 得模拟结果比先前较小时得到的结果更糟。但是， 我们可以利用对寿命函数的变换来消除这个不利的影 响。具体来说，对上式取对数很将很有益： N 8 0 1 ? log ii i La ax = =+ ∑ 这样做能达到预期目的的理由是： 0 0 0 0 1 log log log 1 mh mh mh mh T c T LL T Lc T e ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? 所以， log L 显然是的线性函数。而且，因为是 对输入变量应用线性模型而得到的一个非常好的模拟 结果，所以 lo 也是一个好的模拟结果。进行对数变 mh T mh T g L 换后, 模拟的结果是： 对于所有的， N 2 ? log 0.99 L R ≈ 失拟的确定 当我们用 2 R来衡量拟合的优劣时，它自身也存在 一些缺陷： 1， 当抽样数量和模型参数的数量大致相同时，的 值是令人满意的。潜台词就是对于 2 R s dof NN= ，最 小二乘拟合是准确的，即： 2 2 1 2 1 ?() 1 () s s N n n N n n yy R yy = = ? = = ? ∑ ∑ 因为 ? nn yy= 下图显示了 2 R相对于和使用寿命的性质。 mh T 2， 可能与你感兴趣的量没有直接关系，例如，如 果你想求，这时， 2 R ( 1000) mh PT > 2 R的值并不能直 接告诉你估计得有多么准确。 ( 1000) mh PT > 对于验证模型的一般观点： 1， 总是过剩取样，特别当事关重要的时候。 2， 如果你采用过剩取样，且拟合效果不佳时，你总 是可以利用数据重新构造一个“高阶的”模型。 3， 尝试使用 关于高阶响应面的评论 对于构造高阶响应面，主要有以下两个问题： 1， 抽样数量将显著增加：（所有双线性项都是2次 的）： 0 111 1 1(1) 2 ? () dof j dd ii iji j iij ddd ax bxx N fx a === =++ + ++= ∑∑∑ 此外，普通的实验设计也将更糟。 2，高阶响应面容易产生振动。