一些思想介绍 假设你有一个简单的问题，如： dv v dt λ=，其中， 0 (0)vv= （1） 对于应用，你所感兴趣的是从0t =积分到 0 tt= v的特性，对于这个问题，结果是 众所周知的: 0 () t vt ve λ = （2） 但是，对于我们所关心的大多数问题，其精确的结果是不知道的，对于这种 问题用数值方法去近似求解就显得比较重要了。我们将在本课中研究这些复杂的 问题，但通常，我们能够通过一些简单而又典型的问题（如（1））学到很多有关 数值方法的特性。 假设我们用一种简单的数值方法去解问题（1）： 1nn n VV V t λ + ? = Δ ，其中： 0 0 (), n VVntVv= Δ= （3） 这种方法通常称为向前欧拉方法，它是基于下面的近似： ()( n nn t dV V t t V t dt t +Δ ? ≈ ) Δ 为了了解向前欧拉方法有多么的精确和有效，我们可以算一下误差大小。特别地， 我们定义： () nn Vvt v≈≡ n ，0 tT≤ ≤ 这样，作为一种合理的误差估计： 2 0 () ( ) T ET V v dt=? ∫ 其离散化问题为： 2 0 () ( ) N nn n E TtVv = =Δ ? ∑ ，其中，TN t=Δ 对于一般问题，我们无法计算v（的精确解），因此，我们无法具体知道 的特性。但是，对于这个问题我们可以。让我们举一个特例子并画出结果。 ()ET 例： 1λ =? 1000T = 0 1v = () t vt e ? ?= 由向前欧拉方法可以得到： 让我们用分析的思路看一下向前欧拉方法： 1nn n VV V t λ + ? = Δ ? 1 (1 ) nn Vtλ + =+ΔV ? 0 (1 ) nn VV tλ=+Δ 对于这个例子： (1 ) n V=?Δ n t （4） 而对其误差，我们有： 2 0 () [(1 ) ] N nnt n ET t t e ?Δ = =Δ ?Δ ? ∑ 再简化一些，我们注意到： 1000T = ， 1000T N tt == Δ Δ ， 这里我们假设取值可以满足使得N取整数。 tΔ ? 1000 2 0 ( ) (1000) [(1 ) ] t nnt n ET E t t e Δ ?Δ = ==Δ?Δ? ∑ （5） 注释： * 如果足够大的话，实际上(当n增加时)是随时间增大的。特别， tΔ n V 如果 ，那么，2tΔ> 1nn VV + > 这个问题一个有趣的方面是，如果我们让2tΔ =，则积分500步可以达到 t=T=1000，这样是合理的。但是，实际的问题是tλΔ，如果λ <0, 那么为了使 1n VV + < n ，我们要求2tλΔ<。 n V随着增长这种特性被认为是数值方法的稳 定性。 n * 如果，与2tΔ> n V增长紧密相关的，我们注意到当1tΔ >时， n V是震荡的， 这由（4）式可以得到： 1n (1 ) (1 ) nn Vt + =?Δ =?ΔtV 如果，则和的符号是相反的（即1tΔ> 1n V + n V 1 0 nn VV + × <）。