可靠性，极限状态和重要性抽样 概率分析的应用主要是确定事件发生的概率。通 常这个事件是个故障，因此，它与系统的可靠性有关。 可靠性 = R a { } 1 P?故障 假设故障与下面的条件有关： 如果x满足：，则能推出 limit ()Tx T> { } x∈故障 。 这里x是输入的随机向量。不失一般性，我们可以构 造一个函数： limit () ()g xTxT= ? 则有：当时，安全运行； () 0gx< 当时，达到极限状态； () 0gx= 当时，故障发生了。 () 0gx> 假设我们有一个2维的输入系统，则输入数据在 对应平面上被分成安全和故障两个区域： 例：平面极限状态函数 故障 g(x) = 0 极限状态 安全 然而事情并不总是那么容易，故障区域往往具有非常 复杂的形状，例如下图所示： 例: 更复杂的极限状态函数 故障 安全 当然，情况还可能更糟, 会包括多个安全和（或）故 障区域，例如下图所示： 例: 多重故障区域 故障 故障 安全 蒙特卡罗可靠性分析 蒙特卡罗方法利用随机抽样和无偏概率估计来计 算故障发生的概率： N N P ?? = ?? ?? 故障 故障 在这里：是样本的总数 N 对应的样本数量 N 故障 () 0gx> 就像前面讨论的，如果故障发生的概率很低，这种方 法的效率就会很低，得不偿失。 重要性抽样 重要性抽样是在进行概率模拟时为减小估计结果 的方差而普遍采取的一种技巧。换句话说，如果重要 性抽样起作用，我们对确定的样本进行估计的不确定 性就会降低，或者说对于达到同样的不确定性，所需 要的样本数会减少。总之，重要性抽样是非常有用的， 在对小概率事件的有效估计中发挥着至关重要的作 用。 我们先来看看它的工作原理，然后再应用它来估 计均值和可靠性。 给定：x为输入的随机向量 f(x)为联合概率密度 y(x)是我们感兴趣的模拟的输出 all x (()) () ()Eyx yxf xdx= ∫ 简单的蒙特卡罗方法（亦即：随机抽样）给出： 1 1 () () N n n yyxEy N = =≈ ∑ 标准误差为： 2 2 y y N σ σ = 假如我们定义一个新的概率密度函数，它需要满 足： ()hx all x 1()hxdx= ∫ 0()hx 1≤ ≤ 把带入 ()hx () ()y x f xdx ∫ ，得： () () () () () () fx yxf xdx yx hx hx dx= ∫∫ 由于是一个有效的分布，则有： ()hx () ( ) yf h Ey E= 利用蒙特卡罗方法可以求出 () yf h E 1 1()() () () ( nn N n n yf y x f x yf hN hx h )E Ey = ?? =≈ ?? ?? = ∑ 其标准误差为： 2 2 yf h yf h N σ σ = 所以，如果我们可以选择(x)使得h y yf h σ σ<，从而就能 降低对y估计的不确定性。 我们怎样使 yf h σ减小呢？考虑下面对的选择： h () () ()hx yx f xα= 其中， 1 () ()yx f xdx α≡ ∫ 显然： yf const h α=← 0 yf h σ?= y?是否准确？ 很明显，我们的问题是：事先我们不知道，也不 知道，因为这正是我们首先要估计的量。 ()yx () ()yx f xdx ∫ 但这给我们提供了一个寻找好的的方法，那就是 我们喜欢的 ()hx () () ()hx yx f xα≈ 为什么这样选择？响应面！ 回顾前面涡轮叶片的一维热传导问题，我们构造 了一个 ()y x 的线性响应面： 8 0 1 ()? ii i axyx a = + ∑ = 对20个随机样本进行拟合，因为 ()f x 已知，且x i 服从 简单的均匀分布，我们可以求得： 11 ?() ?() () x Ey yxf xdx α == ∫ ?() () () ?() yxf x hx Ey ?= 注意：不再是独立分布的： i x 12 () ( )( ) ( ) d hx hx hx hx=" 所以我们需要设定一定的条件来产生样本，细节马上 就会谈到。 可靠性分析的重要性抽样 如果回到之前讨论的可靠性问题，我们注意到： { } ()0 () gx f xdxP > = ∫ 故障 （我们只是在故障区域内积分） 我们还可以定义： all x () ()() (yxf xdxPE== ∫ 故障)y 0 这里， 0() 1()0 () gx gx yx ≤ ? ? > ? = ， ， 现在我们就可以应用重要性抽样，我们欲使 ?() () ()hx yx f xα≡ 如果 () 0?yx→ () 0gx≤ 如果 () 1?yx→ () 0gx> 由于我们要用一些近似的模型来构造)（例如： (?yx ()Tx 极限状态的响应面），所以最好不要使在逼近极限()?yx 处有急剧的下降。 一维热传导的例子 假设只有两个随机变量输入 gas T和，其他的6 个都保持不变： gas h 第一步 建立的响应面 () mh Tx 0112 () ? mh 2 x xxT α αα=+ + 第二步 构造一个平滑地逼近的函数，这儿有个 简单的选择： ()yx ()?yx lim lim ? () 1 1 ? 2 max ()? mh mh TxT TT yx ?? ? ?? + ? ?? = 第三步 确定 ()hx ?() () ()hx yx f xα≡ lim lim ? () 1 1 ? 2 max ()? mh mh TxT TT Eyα ?? ? ?? + ? ?? = = 第四步 利用来实施有条件的蒙特卡罗方法，并得到： ()hx 1 ()() 1 ()() () N nn n n yf y x f x PE Nhh = == ∑ 故障