Lax-Wendroff 运算法则 另一种非常流行的引入传导问题数值稳定性的方法是通过 Lax-Wendroff 离 散化的方法。这节课介绍如何推导这些算法。我们以一维传导问题开始： 0 TT v tx ?? += ?? ， ()vvx= （不是一个时间的函数） 接下来，我们来看 关于 的 2 阶泰勒级数： 1n T + n T 2 12 2 1 2n n nn tt tt TT TTt t + = = ?? ?+Δ +Δ 由控制方程，我们注意到： TT v tx ? ? =? ? ? 22 2 () () () TTT T vv v vv ttx tx xt xx ??? ? ?? ?? = ? =? =? =? ? ??? ? ?? ? ? T 22 2 22 TT v tx ? ? ?= ? ? 向回代入泰勒级数得到： 2 12 2 1 () ( 2 nn n TT TTtv tv ) n x x + ?? =+Δ? +Δ 下一步是离散化 T x ? ? 和 2 2 T x ? ? 。我们用标准中心差分： 11 2 nn n jj j TT T x x + ? ? ? = ?Δ 2 11 22 2 nn n jj j TTT T xx n j+ ? ?+ ? = ?Δ 11 1122 2 2 1 () 22 nn n nn jj j jjnn jj j j TT T TT TTtv tv xx 1+ ?++ ?? ?=?Δ +Δ ΔΔ ? + 重新排列上式使之看起来更像传导方程： 2 2 2 1 11 12 2 1 2 2 1 22 nn nn n n jj jj j jj jj T tv x TT TT T TT vtv tx + +? + ? ≈Δ ? ?? ? +=Δ ΔΔ Δ  1 n ? +  这是一个正的系数 数值稳定性 ？？？？缺了 2-4 页的内容。 波方程的傅立叶分析 在分析波方程的有限积分近似之前，让我们先来看一下波方程。我们将研究 傅立叶解在一个周期内的情况。特别地： 0 TT v tx ? ? + = ?? 假设周期长度为 L：对任意的整数 m (,)(Tx mLt Txt,)+ = ， 为什么要假设是周期的？因为这是最简单的分析，但是可以包括所需要的其 它的边界条件。 接下来，我们假设一个傅立叶级数解的形式，存在恰当的周期： ?(,) () m ik x m m Txt g te +∞ =?∞ = ∑ 2/ m kmLπ≡←满足周期条件 将此式代入波方程： ? ? 0 m ik x m mm m dg ivk g e dt ?? ?? + = ???? ?? ?? ∑ 乘以 并且从 0 到 L 积分： j ik x e ? 0 ? ? 0 j m L ik x ik x m mm m dg ivk g e e dx dt ? ?? ?? + = ???? ?? ?? ∑ ∫ 但是， 0 0 j m L ik x ik x j m eedx Lj ? m ≠ ? = ? = ? ∫ 因此， 的控制方程组（常微分方程组）通过乘法和积分被分离变量了： ? () m gt ? ? 0 m mm dg ivk g dt += ??() (0) m ivk t mm gt g e ? ?= ，其中 由初始条件得到 （ 2） ? (0) m g () ?(,) (0) m ik x vt m m Txt g e x vtη +∞ ?? =?∞ ?= =? ∑ (注意出现对 的依赖) 因为每一个傅立叶波形都是独立的，我们可以并且以后也只需考虑一种最简单的 傅立叶波形。 例如，我们假设 ?(,) (0) m ik x m Txt g e= ， 2/ m kmLπ≡ （没有了求和符号） 根据波方程的稳定性我们由（ 2）式可看出第 重波（即 ）的振幅是与时 间无关的常数： th m ? () m gt ??() (0) m ivk t mm gt g e ? = ??() (0) m ivk t mm gt g e ? ?= N 1 ? (0) m ivk t m ge ? = = ??() (0) mm gt g?= 所以，波方程的傅立叶波形振幅既不增加也不减少。 冯纽曼 Von Newmann 分析 Von Newmann 分析是关于上面的傅立叶分析的离散类推： Von Newmann ? 偏微分方程组 偏微分方程组的有限差 和傅立叶分析 分和 分析 我们以一个基本的有限差分算法开始（将用 1 阶逆风模型） ： 1 1 0 nn nn jj jj TTTT v tx + ? ?? + = ΔΔ ， 0v > 那么，假设一个周期函数： P ? n mj ik x nn jm Tg e= 提升到 次幂 ， j x jx= Δ ， 2 m km L π = 代入有限差分控制方程： (1)1 ?? ?? 0 mm mm ik j x ik j x ik j x ik j xnn nn mm mm g e ge ge ge v tx ΔΔ Δ+ ?? =+ ?Δ 提出因子 得到： ? m ik j xn m ge Δ N ? 0 ? 1 1 ? 0 m mj m ik x ik x n m m g n g e ge v tx ?Δ = ??? ? + = ?? ΔΔ ??  由此得 到 由此得到其它的根，这些根是稳定性的关键 的个根 重排 { }中的表达式得到： ? 1(1 m ik x m vt ge x Δ ) Δ =? ? Δ 对于长时间的稳定性（亦即对固定的 tΔ ， xΔ ， 时），我们要求n→∞ ? 1 m g ≤ ， 让我们检查一下这一点： 2 2 2 ? 1(1 ) 1(1cos sin m ik x m mm vt ge x vt kxi kx x Δ Δ =? ? Δ Δ =? ? Δ+ Δ Δ ) 2 1(1cos) sin mm vt vt kxi kx xx ΔΔ =? ? Δ+ Δ) 22 2 1(1cos) sin mm vt vt kx kx xx ΔΔ ???? =? ? Δ + Δ ?? ?? ???? 22 22 1 2 (1 cos ) (1 cos ) sin mm vt vt vt kx kx kx xx x ΔΔ Δ ?? ?? =? ? Δ+ ? Δ + Δ ?? ?? ?? ?? m 2 12 (1cos ) (22cos ) mm vt vt kx kx xx ΔΔ ?? =? ? Δ+ ? Δ ?? ?? N 02 0 ? 1 12 (1cos ) 1 m m g vt vt kx xx → ≥ ≤ ΔΔ ?? =? ? Δ ? ?? ??   因为 ， 所以这项为负 1 vt x Δ ?≤ Δ 注意： * 我们已经在 CFL 条件的要求中看到过这个结论。 * vt x Δ Δ 是一个特别的，非常重要的无量纲数（就象我们看到的那样） 它一般作为 CFL 数被提及： CFL vt x Δ ≡ Δ 数 物理上， vtΔ 代表了波在单位时间内移动的距离。因此， #CFL = 波移动的距离 单元长度 * 也是一个非常重要的无量纲数。让我们展开它： m kxΔ 2 m x kx m L π Δ Δ= N 2 / m x kx Lm π Δ Δ= 这是模型中波的长度 回忆以前的傅立叶分析， m 可以是 ?∞到 +∞的任意整数。但对于离散问题，并 不一定是这样。特别地，由于网格的原因在高频段（即短波长）存在一定限制： 频率混淆现象： 与 的波形混淆在一起！ 4m= 0m= 对于余弦形式，在 之前频率混淆没有出现。 5m≥ 总之，不发生频率混淆的最小的波形的波长为 2 xΔ 的长度。 min max( ) 2 2 (/ ) 2 m xx kx Lm x π ππ Δ Δ Δ= = = Δ 因为 可正可负，故取值范围为： m k m kxπ π? ≤Δ≤ 既然 在我们的分析中出现得如此频繁，我们用一个符号代替它： m kxΔ xm x kxβ βπ≡ Δ≤并且 对于 1 阶逆风模型， ?()1 (1 x i x vt ge x β β ? ) Δ =? ? Δ