§ 7.2 估计量的评价标准
上一节我们看到，对于总体 X的同一个
未知参数，由于采用的估计方法不同，可
能会产生多个不同的估计量．这就提出一
个问题，当总体的一个参数存在不同的估
计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎
样评价一个估计量的统计性能呢？下面给
出几个常用的评价准则．
一．无偏性
对于待估参数，不同的样本值就会得到不同
的估计值．这样，要确定一个估计量的好坏，就
不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由
大量抽样的结果来衡量．对此，一个自然而基本
的衡量标准是要求估计量无系统偏差．也就是说，
尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于
待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到
的估计值平均起来应与待估参数的真值相同．换
句话说，我们希望估计量的均值（数学期望）应
等于未知参数的真值，这就是所谓 无偏性
(Unbiasedness)的要求．
定义 7.1 设是来自总体 X的一个样本,? ?nXXX,,,?? 21 ??? ?
是总体参数 的一个估计量，若
（ 7-7）
则称 是 的 无偏估计量 (Unbiased
Estimator)．
一个估计量如果不是无偏的就称它是
有偏估计量, 称为估计量 的 偏差,
无偏估计的实际意义就是无系统偏差．估
计量是否无偏是评价估计量好坏的一个重
要标准．
若,但有,则称 是
的 渐近无偏估计,
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?? ??E
?? ?
?? ??E ??
?? ??E
?? ?
??
?lim E
n
?? ?
二．有效性
比较两个无偏估计量优劣的一个重要
标准就是观察它们哪一个取值更集中于待
估参数的真值附近，即哪一个估计量的方
差更小，这就是下面给出的 有效性
(Effectiveness)概念．
定义 7.2 设 与 都是总
体参数 的无偏估计，若 （ 7-8）
则称 比 更有效,
? ?nXXX,,,?? 2111 ??? ? ? ?nXXX,,,?? 2122 ??? ?
? ? ? ? ?21 ?? ?? DD ?
1?? 2??
三,相合性
在 的所有无偏估计量中，如果存在
一个估计量,它的方差最小，则此估计
量应当最好，并称此估计量 为 的 最
小方差无偏估计,也称其为 最有效的,可
以证明，对于正态总体, 是
的最小方差无偏估计．有效性的意义是，
用 估计 时，除无系统偏差外，还
需考虑估计的精度．
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0??
0?? ?
? ?2,??N
2,SX 2,??
??
?
估计量 的无偏性和有效性都是在样
本容量 n固定的情况下讨论的．由于估计量
和样本容量 n有关，我们自然希望当 n很大
时，一次抽样得出的的 值能以很大的概
率充分接近被估参数,这就提出了 相合
性 (Consistency)（一致性）的要求．
定义 7.3 设 是总体参数 的估计
量，如果对任意 都有
（ 7-9）
则称 是 的 相合估计量 （或 一致估计量 ）
??
??
??
?
),,,(?? 21 nXXX ??? ? ?
0??
? ? 1?lim ?????? ???Pn
?? ?
由第五章定义 5.2及（ 7-9）知,是
的相合估计就意味着 依概率收敛于,
根据大数定律，无论总体 X服从什么分布，
只要其 k阶原点矩 存在，则对任意
都有
所以样本的 k阶原点矩 始终是总
体 k阶原点矩 的相合估计, 进一步地,可
以证明：只要相应的总体矩存在，矩估计
必定是相合估计．特别地,总是
的相合估计,样本方差 和样本的二阶中
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??
?
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kk EX?? 0??
11lim
1
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???
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n
i
kk
in EXXnP
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?
n
i
k
ik XnA
1
1
k?
X??? EX??
2S
心矩 都是总体方差 的相合估计，
和 又都是 的相合估计．
由相合性定义可以看出，若 是 的
相合估计，当样本容量很大时，一次抽样
得到的 值便可作为 的较好近似值．
2
nS
2? S
nS ?
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