§ 6.3 抽样分布
由于统计量是由样本决定的，而在一
次具体的抽样之前，样本中的每一个分量
都是随机变量，所以，在一次具体的抽样
之前，统计量也是随机变量，也有自己的
分布, 我们称统计量的分布为 抽样分布, 下
面，先介绍样本的频数分布,
一、样本的频数分布
将样本值中所有的不同数值由小到大排
列, 样本值中取这些值的频数分
别记为 (应有 )，这
样就可得到样本的 频数分布,
当样本容量较大时，可将样本值的范围划
分成若干个长度相等的间隔，然后计算样
本值落在这些间隔中的频数，再按上表列
出频数分布, 频数分布通常用样本 直方图
（ Histogram）
??? ???
kxxx ?21
kmmm,,,21 ? nmmm k ???? ?21
除频数直方图外，有时还需考虑概率直方
图，它要求每个直方条的面积需等于相应
间隔上的样本频率，这样直方条的高度就
不再是频数了，并且所有直方条面积之和
等于 1,可见，概率直方图类似于概率密度
函数的图像, 更多的讨论这里就不再详述了,
图 6.5 样本直方图（采用 1000个模拟数据）
二、经验分布函数
对任意实数,定义
,(6-19)
则称其为样本 的 经验分布函数
（ Empirical Distribution Function）,
是对总体 X的分布函数 的一个经验模拟
并且可以验证它还具有分布函数的基本性
质：单调不减，右连续，,,
应当注意，当给定样本值 之后，
),( ?????x
),,,( 21 nXXX ?
)(xFn
)(xFn
0)( ???nF 1)( ???nF
),,,( 21 nxxx ?
是具有分布函数性质的普通阶梯形函数
（如图 6.6所示），但是对样本而言，它却
是与确定值 x有关的随机变量，因为对每个
给定的 x，值实际上就是在
该次抽样中事件 发生的频率（见
0
1
图 6, 6 经验分布函数
?
1x
?
2x
?
3x
?
4x ?5x
)( xF n
?
6x
}{ xX ?
（ 6-19）式），它完全由样本决定，而样本
是随机的，所以,是随机变量, 的
这种双重性恰好反映了抽样前后不同的统
计观点，请注意领会, 进一步地，根据分布
函数的定义, 是事件 发
生的概率，又 恰是在 n次“试验” (抽样 )
中事件 发生的次数，这样，还有以
下结论：
（ 1） ；
（ 2）对任意给定的 x和任意的,有
)(xFn )(xFn
}{)( xXPxF ?? )(xF }{ xX ?
)(xnFn
}{ xX ?
))(,(~)( xFnBxFn n?
0??
,(6-20)
即,,（见定理 5.1的推论 2),
可见，当样本容量 n足够大时，事件
在一次抽样中几乎是必然发生的，根据实
际推断原理，从而抽样后得到的 一般
就可近似, 这也是 的一个重要应用,
关于 更深入的讨论见 [4],
另外，根据第三章讨论的随机变量最大值
和最小值的分布，还可获得 最大顺序
统计量和最小顺序统计量 的抽样分布,
1} |)()({|lim ????? ?xFxFP nn
)()( xFxF Pn ? ?? ??n
} |)()(| { ??? xFxF n
)(xFn
)(xF )(xFn
)(xFn
)(nX
)1(X
三、正态总体的抽样分布定理
一般地，要确定一个统计量的分布，
即抽样分布，并不是一件容易的事情, 不过，
当总体是正态总体（即总体 X服从正态分布）
时，一些常用统计量的分布却不难求
出．下面的两个抽样分布定理在数理统计
中占有极为重要的地位，必须牢固掌握．
定理 6.1（单个正态总体的抽样分布定理）
设 是取自正态总体
的
),,,( 21 nXXX ? ),( 2??N
一个样本,和 分别为样本均值和样本方
差，则
（ 1） ； (6-21)
（ 2） ； (6-22)
（ 3） 与 相互独立； (6-23)
（ 4）, (6-24)
定理中的结论（ 1）和（ 4）可通过对比来
记忆．另外，还需强调的是，本定理只适
用于正态总体，对其它总体无效,
X 2S
)1,0(~ NnX ? ??
)1(~)1( 22
2
?? nSn ??
X 2S
)1(~ ?? ntnSX ?
定理 6.2（两个正态总体的抽样分布定理）
设 是取自总体 的样本，
是 取自总体的样本，且这两个样本
相互独立，则
（ 1） ； (6-25)
（ 2） 当 时，； (6-26)
（ 3）, (6-27)
其中 与, 与 分别为两个样本的样本
均值与样本方差,是‘合样本’
),,,( 121 nXXX ? ),(~ 211 ??NX
),,,( 221 nYYY ?
)1,0(~)()(
2
2
2
1
2
1
21 N
nn
YX
??
??
?
???
22221 ??? ??
)2(~)()( 21
21
2121 ??
?
??? nnt
nn
nn
S
YX
w
??
),1,1(~ 212
2
2
2
2
1
2
1 ?? nnF
S
S
?
?
X 21S Y 22S
wS
,,( 21 XX 1,nX? ),,,,
221 nYYY ?
的标准差，定义为
,(6-28)
2
)1()1(
21
2
22
2
11
??
???
?
nn
SnSn
S w