§ 3.3 条件分布与独立性
一、条件分布
定义 3.5 设 是二维离散型随机变量，对
于固定,若,则称
（ 3— 21）
为在 条件下随机变量 的 条件分布
律 （ Conditional Probability Distribution），
简称 条件分布,
当 是连续型随机变量时，由于对
任意实数 X和 Y，有,
),( YX
j 0}{ ?? jyYP
? ?,,2,1}{ ),( ???? ?????
?
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ji
j
ji
ji
jyY ?
X
),( YX
0}{ ?? xXP 0}{ ?? yYP
因此，不能直接用条件概率公式，此时我
们用极限的方法引入“条件分布函数”的
概念：
设 的联合概率密度函数为,
关于 Y的边缘概率密度函数为,给定 y，
对于任意给定的 >0，当 时，考虑条件
概率
上式给出了在条件下的条件分布函数．为
此我们引入以下定义
),( YX ),( yxf ),( YX
)(yfY
?
Rx?
} { ????? yYyxXP
? ?
?
? ?
?
??
?
?
???
????
?
?
?
?
?
y
y
Y
x y
y
yyf
xyyxf
yYyP
yYyxXP
d)(
d]d),([
}{
,
定义 3.7 给定 y，对于任意给定的 >0，
，若对任意的实数 x，极限
存在，则称此极限为在
条件 下的 条件分布函数,记为,
设 的联合分布函数为,概率密
度函数为,若在点 处 连续，
Y的边缘概率密度函数为 连续，
且,则有
? 0}{ ???? ?yYyP
}{lim
0
?
?
????
??
yYyxXP
? ?
}{
,lim
0 ?
?
? ???
?????
?? yYyP
yYyxXP
yY ? )( yxF YX
),( YX ),( yxF
),( yxf ),( yx ),( yxf
)(yfY
0)( ?yfY
)( yxF YX }{lim
0 ?? ????? ?? yYyxXP
? ?
}{
,lim
0 ?
?
? ???
?????
?? yYyP
yYyxXP
亦即 （ 3— 22）
这样，若记 为在 的条件下 X的
条件概率密度函数,则由上式知
（ 3— 23）类似地,我们可以定义 和
? ? ? ?
? ? ? ?yFyF
yxFyxF
YY ??
???
?? ?
?
?
,,lim
0
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
yFyF
yxFyxF
Y
0
0
lim
,,
lim
? ?
? ?yF
y
yxF
Y?
?
?
?
,
)(
d),(
yf
xyxf
Y
x
? ???
)( yxF YX ?
??
? x
Y
x
yf
yxf d
)(
),(
)( yxf YX yY ?
? ?
? ?yf
yxfyxf
Y
YX
,)( ?
)( xyF XY
)(
),()(
xf
yxfxyf
X
XY ?
二、独立性
由 § 1.5知，若,则称 A与
B是相互独立的．类似可引出随机变量的独
立性概念．
定义 3.8 设 是二维随机变量，若对任
意实数 x和 y,有
，
即
（ 3— 24）
)()()( BPAPABP ??
),( YX
}{}{},{ yYPxXPyYxXP ??????
)()(),( yFxFyxF YX ??
则称 X与 Y是 相互独立的,
随机变量的独立性是概率论中的一个
重要概念，在大多数情形下，概率论和数
理统计是以独立随机变量作为其主要研究
对象的．对于离散型和连续型随机变量，
我们分别有下列的定理．
定理 3.1 设 为二维离散型随机变量，其
联合分布律为
则 Y与 X相互独立的充要条件是对于任意的
,有
（ 3— 25）
即有,成立．
),( YX
?,2,1,},{ ???? jipyYxXP jiji
?,2,1,),,( ?jiyx ji
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ??????
jiji ppp ?? ?? ?,2,1,?ji
定理 3.2 设 是二维连续型随机变量，
其联合概率密度函数为,则 X与 Y相
互独立的充要条件是对平面上任意点,
几乎处处有 *
（ 3— 26）
（ * 这里的“几乎处处”可理解为平面上使
（ 3－ 26）不成立的点 的全体只能形
成面积为零的区域．）（证明从略）
定理 3.3 若, 则 X与 Y相互独
立的充要条件是 =0．
更一般地，二维随机变量的有关概念
也可以推广到 n维随机变量
),( YX
),( yxf
),( yx
)()(),( yfxfyxf YX ??
? ?yx,
? ? ),,,,(~,222121 ?????NYX
?
以推广到 n维随机变量的情形．比如,n维
随机变量 的分布函数定义为
，
其中 为任意实数．
若 n维随机变量 的分布函数
已知，则的 k（ ）
维边缘分布函数随之而定，如
关于,关于 的边缘分布函数就
分别为
? ?nXXX,,,21 ?
? ? ? ?,,,,,,,221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ??
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxF,,,21 ?
? ?nXXX,,,21 ?
? ?nXXX,,,21 ? nk ??1
? ?nXXX,,,21 ?
1X ? ?,,21 XX
? ? ? ??????,,,111 ?xFxF X
? ? ? ??????,,,,,2121,21 ?xxFxxF XX
若对任意的实数 有
，
则称 是相互独立的．
进一步，若对任意的实数 有
，
其中 F、, 依次为,
,的分布函数，则称随机变量
和 是相互独立的．
nxxx,,,21 ?
? ? ? ? ? ? ? ?nXXXn xFxFxFxxxF n?? 2121 21,,,??
nXXX,,,21 ?
nm yyyxxx,,,,,,,2121 ??
? ? ? ? ? ?nYmXnm yyyFxxxFyyyxxxF,,,,,,,,,,,,,21212121 ???? ??
XF YF
? ?nm YYYXXX,,,,,,,2121 ?? ? ?mXXX,,,21 ?
? ?nYYY,,,21 ? ? ?mXXX,,,21 ?
? ?nYYY,,,21 ?
现在，我们不加证明地给出一个有用结论．
定理 3.4 若 和 相互独立，
则
（ 1） 与 相互独立,i=1,2,…, m；
j=1,2,…, n；
（ 2）若 h,g是连续函数，则 h
和 也 相互独立．
? ?mXXX,,,21 ? ? ?nYYY,,,21 ?
iX jY
? ?mXXX,,,21 ?
? ?nYYY,,,21 ?