§ 2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念
定义 2.8 设随机变量 X的分布函数为,若存在非负可
积函数,使得对于任意实数,都有
（ 2— 15）
则称 X为 连续型随机变量, 称 为 X的 概率密度函数
（ Probability Density Function），简称 概率密度或密度,
由定义可知，连续型随机变量 X的分布函数 在 x点的函
数值等于其概率密度函数 在区间 上的积分．
类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度
函数具有如下基本性质：
? ?xF
? ?xf x
? ??? x xxfxF d)()(
? ?xf
)(xF
? ?xf ? ?x,??
? ?xf
（ 1）（非负性） 对任意的实数, ≥0；
（ 2）（规范性） （ 2— 16）
反过来，若已知一个函数 满足上述性质 (1)和 (2),则
一定是某连续型随机变量 X的概率密度函数．
另外，对连续型随机变量 X的分布，还具有如下性质：
1.对于任意实数 ( ),＝ = ；
2.连续型随机变量 X的分布函数 是连续的,但反之不真；
3.连续型随机变量 X取任一确定值的概率为 0；即对于任意
实数, = 0；
事实上，由（ 2－ 12）和 的连续性即知,
因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,
x ? ?xf
????? ? 1)( xxf d
? ?xf ? ?xf
21,xx 21 xx ? ? ?21 xXxP ?? )()( 12 xFxF ? ? 2
1
)(xx xxf d
? ?xF
x ? ?xXP ?
? ?xF
? ?xXP ? ? ? ? ? 00 ???? xFxF
（ 1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 1的事件
也不一定是必然事件；
（ 2）在计算连续型随机变量 X落在某一区间的概率时，可
不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间,即对任意的
实数,有
＝ ＝
＝ ＝ (2— 17)
这样，如果 除可数个点外导数处处连续,那么在 的
导数连续点处,而在其它点处 f(x)的值可任意补充
定义,不妨取为 0,于是可得到 X的一个概率密度函数
(2－ 18)
? ?2121,xxxx ?
? ?21 xXxP ?? ? ?21 xXxP ?? ? ?21 xXxP ??
? ?21 xXxP ?? ? 2
1
)(xx xxf d
? ?xF ? ?xF
?)(xf ? ?xF?
?
?
??
的不连续点处在，
的连续点处在，
)('0
)(')(')(
xF
xFxFxf
二、常见的几种连续型分布
1．均匀分布
定义 2.9 若 X的概率密度函数为
（ 2— 19）
则称 X服从区间 (a,b)内的 均匀分布 (Uniform Distribution),记
为 ～ U(a,b)．
均匀分布的特征：
（ 1） 若 X～ U(a,b),则落在（ a,b）内任意子区间内的概
率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关．
事实上，对于任意一个长度的子区间,
?
?
?
??
?
? ?
??
其它0
),(
1
)(
bax
abxf
X
),(),( 00 balxx ??
（ 2）若 X～,则 X的分布函数为
（ 2－ 20）
（ 3） 和 的图形分别为
图 2.3
ab
lx
abxxflxXxPlxxXP
lx
x
lx
x ??????????? ??
?? 0
0
0
0
1)(}{)},({
0000 dd
? ?baU,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
，
，
，
1
0
)(
)(xf )(xF
2,指数分布
定义 2.10 若 X的概率密度函数为
（ >0） （ 2— 21）
则称 X服从参数为 的 指数分布 (Exponential Distribution),记
为,其分布函数为
(2－ 22）
指数分布的概率密度函数 和分布函数 的图形分别为
图 2.4
?
?
?
?
?? ?
0,0
0,)(
x
xexf x??
?
?
)(~ ?EX
?
?
?
?
??
?
?
0,0
0,1
)(
x
xe
xF
x?
)(xf ? ?xF
生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电
话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述．
因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的
应用．
3．正态分布
（ 1）正态分布的概念
定义 2.11 若 X的概率密度函数为
（ 2－ 23）
其中 和 为常数且,则称 X服从参数为 的 正态分布
（ Normal Distribution），记为,正态分布也叫 高
斯分布 （ Gauss）,其分布函数为
Rxexf
x
??
??
22
2)(
2
1)( ? ?
??
? ? 0?? 2,??
),(~ 2??NX
（ 2－ 24）
特别地,当 时，则称正态分布 为 标准正态分布,
它的概率密度函数特记为,即
（ 2— 25）
它的分布函数特记为,即
（ 2— 26 )
标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图 2.6
所示：
,,d
2
1)( 2
2
2)(
RxxexF
x x
?? ?
??
? ?
?
?
??
1,0 ?? ?? )1,0(N
)(x?
Rxex
x
??
?
2
2
2
1)(
?
?
)(x?
? ? ??
??
?
??
????
x xx
Rxxexxx d
2
1d)( 2
2
?
?
由于 是概率密度函数，因此, 从而,
有
(2— 27）
(2— 28）
上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到．
)(x?
? ???? ? ?? Rxxe x,1d21 22?
?2d2
2
?? ??
??
? xe x
2
d
0
2
2 ?
?? ?? ? xe
x
（ 2）正态分布的特征
若,则其概率密度函数 具有如下特征：
(1) 的图像关于直线 对称；
由此便有 ； ；
(2) 的最大值为 ；
(3) 愈远,值愈小,曲线 以 O 轴为渐近线；
(4) 对于确定的 越小,越大,X落在 附近的概率
越大； 越大,越小,X落在 附近的概率越小；
(5) 曲线 的拐点是 和
),(~ 2??NX )(xf
)(xf ??x
}{}{ lXPlXP ????? ?? }{}{ lXPXlP ??????? ????
)(xf ??? 2 1)( ?f
?离x ? ?xfy ?)(xf x
??,)(?f ?
? )(?f ?
)( xfy ? ? ?)(,???? ?? f ? ?)(,???? ?? f
图片 2.5
易知,若,则,
事实上,对于任意实数,的分布函数
(令 )
所以,
),(~ 2??NX )1,0(~* NXX
?
???
x *X
}{}{}{)( * ??? ????????? xXPxuXPxXPxF
? ?
?? ?? ????
??
?? xx
x
texe t d21d2 1 2
2
2
2
2
???
?? ? ?
? ?x??
tx ??? ?
)1,0(~* NX
这样我们便有如下定理：
定理 2.2 若,其分布函数为,则对任意
实数,有
（ 2— 29）
证明 因为,所以
.
推论 若,则对于任意实数,有
（ 2－ 30）
利用（ 2— 30），可将一般正态分布的概率计算转化为标
准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由
附表 2获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决．
),(~ 2??NX ? ?xF
x
)()( ? ???? xxF
),(~ 2??NX
)(}{}{}{)( ? ?? ?? ?? ? ???????????? ? xxXPxXPxXPxF
),(~ 2??NX 21 xx ?
)()(}{ 1221 ? ?? ? ???????? xxxXxP
关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数,
(2-31)
这可用 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了,
图 2— 6
另外,还有几个经常用到的公式,若 X~,则对于任
意实数,,( )，有
（ 1） ；
（ 2） ；
（ 3）,
x
1)()( ????? xx
? ?x?
? ?1,0N
,x 1x 2x 21 xx ?
)()(}{ 1221 xxxXxP ??????
1)(2)()(}{ ????????? xxxxXP
)](1[2}{ xxXP ????
特别地，如果,则对任意,有
，
当, 2,3时，分别有；
? ?2,~ ??NX 0?k
? ? ? ? 12 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??? kk
X
PkXP
?
?
??
1?k
? ? ? ? 6826.01121 ?????? ??XP
? ? ? ? 9 5 4 4.01222 ?????? ??XP
? ? ? ? 9 9 7 4.01323 ?????? ??XP
可见,服从正态分布 的随机变量 X，虽然理论上可以
取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概
率约为 68.26 %;落在区间 内的概率约为 95.44 %,落
在区间 内的概率 99.74%.因此,服从正态分布
的随机变量 X落在区间 之外的概率约 0.26%,还不到
千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可
能发生，这就是著名的,”准则．它在实际中常用来作为
质
量控制的依据．
在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似
服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海
洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试
的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从
正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重
要的地位．
? ?2,??N
? ????? ??,
? ????? 2,2 ??
? ????? 3,3 ?? ? ?2,??N
? ????? 3,3 ??
?3