§ 2.２ 离散型随机变量的概率分布
一、离散型随机变量的概念
定义 2.2 如果随机变量 X的所有可能的不同取值
是有限或可列无限多个，则称 X为 离散型随机变量,
设 X所有可能的不同取值为 (k=1,2,…, )，若
=,k=1,2,… (2 － 1)
则称 (2－ 1)为 X的 分布律,也称为概率分布或 概率函
数,即,（ Probability Distribution)或
（ Probability Function）．
kx
? ?kxXP ? kp
分布律 (2－ 1)也可用表格形式表示,
因此，分布律也称为 分布列,离散型随机变量的分布
律通常用分布列形式表示．
注意：分布律 (2－ 1)是指 k=1,2,…,时的一串
式子 =,
例 2.1和例 2.3中的随机变量 X都是离散型随机变
量．要掌握一个离散型随机变量的分布律，只需知道
X的所有可能的不同值 (k=1,2,… ； )及 X取各个值
的概率即可,
? ?kxXP ? kp
kx
显然，分布律 具有如下两个性质：
1.（非负性） 0≤ =1,2,… （ 2－ 3）
2.（规范性） （ 2－ 4）
事实上,,□
当给定了 及 ( k=1,2,… ) 之后，我们就能描述离散
型随机量 X的分布律，这是因为我们已经知道它取什么值,
以及以多大的概率取这些值，这也正是我们研究随机变量的
分布所需要的．
? ?kp
1?kp k
1
1
??
?
?k
kp
? ? ? ? 1)(
111
??????????? ???? ?
?
?
?
?
?
?? PxXPxXPp
k
k
k
k
k
k ?
kx kp
二、几种常见离散型随机变量及其分布律
1,（ 0－ 1）分布
定义 2.3 设随机变量 X只可能取 0与 1两个值,它的分布律是
（ 0< <1） （ 2－ 5）
即
则称 X服从 （ 0－ 1）分布 或 两点分布
（ Two-point Distribution）．
对于一个随机试验 E，它只有两种可能的结果 A和,即 A
要么发生，要么不发生，则这种试验 E总可以用（ 0－ 1）分布
来描述，这种试验在实际中很普遍．例如，抛掷硬币试验,
A =,出现正面”,“出现反面”；在射击试验中，
? 10)1(} 1,???? ? kppkXP kk p
A
?A
A=“命中目标”,“未命中目标” ;它们都可用
（ 0－ 1）分布来描述．（ 0－ 1）分布是实际中
经常用到的一种分布．
2,二项分布
设 E为 n重贝努利试验，用 X表示 n重贝努利试验
中事件 A发生的次数，则 X是一个随机变量,X所有可
能的取值为 0,1,2,…n; 由于各次试验是相互独立
的，因此由第一章（ 1－ 18）知
=P{A在 n次试验中恰好发生 次 }=
,=0,1,2,…n ；
显然 （１） ≥0, =0,1,2,n… ；
（２）
?A
? ?kXP ? k knkk
n ppC ?? )1(
k
? ?kXP ? k
? ?
? ?
? ?????????n
k
n
ok
nknkk
n ppppCkXP
0
1)1()1(}{
注意到 恰好是二项式 的展开式中出现 的
那一项,因此,称 X服从的分布为参数是（, ）的二项分布,
定义 2.4 若随机变量 X的分布律为
=, =0,1,2,… ； （ 2—6）
其中 n为正整数,0< <1，则称服从参数为（,）的 二项分
布 （ Binomial Distribution），记为,
特别地，当 n=1时，,这就是（ 0－ 1）分布．
在实际中，把概率很小（一般要求在 0.05以下）的事件称
为 小概率事件,由于小概率事件在一次试验中发生的可能性
很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发
生的, 这条原则我们称它为 实际推断原理,需要注意的是,实
际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生
的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎
是必然的．
knkkn ppC ???? )1( npp )]1([ ?? kp
n p
? ?kXP ? knkkn ppC ?? )1( k
p n p
? ?pnBX,~
? ?pBX,1~
在实际中，我们经常要计算 n次独立重复的贝努
利试验中恰好有 次成功的概率,至少有
次成功的概率 等,当 n很大时，要计算出它
们的确切数值很不容易．因此，人们希望能找到二
项分布的近似计算公式．法国数学家泊（ Poisson，
1781-1840）对此进行了研究，得到了如下二项分
布概率计算的逼近公式．
定理 2.1 （泊松逼近定理） 若,且
=λ（ λ为常数），则对任意确定的自然数 k，有
P{X=k}=,
k= 0,1,2,…, （ 2－ 7）
k knkkn ppC ?? )1( k
? ??
?
??n
ki
inii
n ppC 1
? ?npnBX,~
??nlim
npn
??nlim ?? ??
??
?? ekppC
k
kn
n
k
n
k
nn !)1(lim
由于 n = λ为常数，当 n较大时,必定较小．因此,
由上述定理可知，当 n较大,较小时，有以下近似表达式
（其中 λ≈n ） k= 0,1,2,…n,( 2－ 8)
而 的值则可通过查本书附表 1获得．
实际应用中,当 ≥10且 ≤0.1时,即可用上述近似公
式计算；而当 n≥100且 λ = n ≤10时，利用上述近似公式效
果更佳．如上例中
= ≈ ≈0.031828
二项分布是离散型分布中的重要分布,应用十分广泛, 利用
泊松逼近定理，很自然引入另一个重要的分布 —泊松分布．
??nlim
np np
np
?? ?? ?? e
kppC
kkn
n
k
n
k
n !)1(
np
?? ?e
k
k
!
n np
np
? ?10?XP ? ? ? ??
?
???5000
10
50005000 999.0001.0
k
kkkC ?
?
?
?
10
5!5
k
k e
k
3,泊松分布
定义 2.5 设 E是随机试验,X是定义在样本空间上的随机
变量，若 X的分布律
= 0,1,2,…,（ 2－ 8）
则称 X服从参数为 λ的 泊松分布 （ Poisson Distribution）,记
为,
在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来描述．例如,
一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某
汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射
性物质中发射出的 α粒子数等等，均可用泊松分布来描述,
泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有
重要应用．
? ?kXP ?
??
?
kke
k
,0,! ??
?
? ??PX ~
4,几何分布
定义 2.6 若 X的分布律为
（ 2－ 9）
其中 0< <1，,则称 X服从参数为 的 几何分
布 （ Geometrical Distribution），记为 X～,
若令 X表示贝努利试验中事件 A首次出现所需要的
试验次数，则 X服从几何分布．例如，向某一目标进
行独立射击，首次击中目标所需要的射击次数；从
含有正品和次品的产品中有放回地抽取产品，首次
抽到次品时取出的产品数等都服从几何分布．
? ?,,2,1,1 ???? ? kpqkXP k
p pq ?? 1 p
? ?pG