§ 3.1 二维随机变量及其联合分布
一、二维随机变量的概念
在射击时，弹着点是目标上的一个位
置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受
两个变量的影响, 在工程结构设计中，出于
可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与
荷载效应，可靠性也受着两个变量的影
响．
与一维随机变量类似，一般地我们可
定义二维随机变量如下：
定义 3.1 设是一个随机试验,和
是定义在其样本空间 上的随机变量，
，由它们构成的向量 称为定义在样
本空间 上的 二维随机变量 或 二维随机向
量,简记为,, 依次称为二
维随机变量 的第 1个分量（或坐标）、
第二个分量（或坐标）．
一般地，设是一个随机试验，
是定义在其样本空间 上 n维随机变量 或 n
维随机向量,简记为,
称为第 个分量（或坐标）,,
)(?XX ? )(?Y?Y
? ???
? ?)(),( ?? YX
?
? ?YX,
? ? ? ? ? ???? nXXX,,,21 ?
?
? ?nXXX,,,21 ? )(?ii XX ?
i ni,,2,1 ??
)(?X )(?Y
? ?YX,
二、二维随机变量的联合分布
在研究随机向量的概率特征时，除每
个随机变量的概率特征外，还要研究它们
的联合概率特征：后者可以完全决定前者，
但是前者一般不能完全决定后者．因此，
只研究单个随机变量的分布是不够的，还
必须研究随机向量作为一个整体的联合分
布．
对于二维随机变量,作为整体的
分布称为二维随机变量 的 联合分布? ?YX,? ?YX,
（ Joint Distribution）．与一维情形类似，为
了研究二维随机变量的联合分布，我们引
入二维随机变量的分布函数的概念．
定义 3.2 设 是定义在样本空间 上
的二维随机变量，对于任意的实数,
称函数
（ 3— 1）
为二维随机变量 的 联合分布函
数 （ Joint Distribution Function），简称
的 分布函数,
? ?)(),( ?? YX ?
yx,
? ? ? ? },:{),( yYxXPyxF ??? ???
? ?)(),( ?? YX
),( YX
以后,将（ 3— 1）中的表达式简记为．
显然，分布函数 在
平面上任意点 处的函数值就是随机
点 落在点 左下方的整个无穷区域内
的概率，如图 3.1所示．
},{),( yYxXPyxF ??? ),( yxF
),( yx
),( YX ),( yx
o
图 3.1
y
）（ yx,
x
联合分布函数具有下列性质
由定义 3.2和图 3.2易知,对任意的
（ ），有
1,（ 3－ 2）
从而,≥0
（ 3— 3）
2121,,,yyxx
2121,yyxx ??
),(),(},{ 12222121 yxFyxFyYyxXxP ?????? ),(),( 1121 yxFyxF ??
),(),(),(),( 11211222 yxFyxFyxFyxF ???
（ x2,y2）（ x1,y2）
（ x2,y1）（ x1,y1）
图 3.2
o
2,是和的单调非降函数；（证略）
3,对于平面上的任意点,；
且对任意固定的,,
对任意固定的,,
,（ 3— 4）
这可借助于几何直观进行说明．
4,关于 和 均右连续，即
,
),( yx
1),(0 ?? yxF
y 0),( ??? yF
x 0),( ???xF
0),( ?????F 1),( ?????F
),( yxF x y
),0(),( yxFyxF ?? )0,(),( ?? yxFyxF
三,二维离散型随机变量及其联合分布律
与一维随机变量的情形类似，我们这
里讨论的也是离散型和连续型这两种类型
的二维随机变量．
定义 3.3 若二维随机变量 的所有可能取
值只有有限或可列无限个，则称 为 二
维离散型随机变量．
显然，若 是二维离散型随机变量，
则其分量 和 都是一维离散型随机变量,
通常,我们用联合概率分布律（列）
),( YX
),( YX
),( YX
X Y
定义 3.4设 是二维离散型随机变量，它
所有可能的取值为,,则称
（ 3— 5）
为 的 联合分布律（列） 或 联合概率分布
(Joint Probability Distribution)，简称 分布
律．
分布律一般用表格形式表示,
（ 3— 6）
),( YX
),( ji yx ?,2,1,?ji
?,2,1,,},{ ???? jipyYxXP jiji
),( YX
X ?? jyyy 21
1x
?? jppp 11211
2x ?? jppp 22221
?
????
ix
?? jiii ppp 21
?
????
显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：
1,（非负性）
2,（规范性） （ 3— 7）
其 联合分布函数 为
（ 3— 8）
0?jip
? ?
ji
jip
,
1
? ?
? ?
????
yy xx
ji
j i
pyYxXPyxF },{),(
四、二维连续型随机变量及联合概率密
度函数
与一维情形类似，我们有如下定义：
1,定义 3.5 设二维随机变量 的分布函
数 为，若存在非负可积函数，
使得对于任意实数 和,有
（ 3— 9）
则称 为 二维连续型随机变量, 称
为 的 联合概率密度函数 （ Joint
Probability Density Function），
),( YX
),( yxF ),( yxf
x y
? ??? ??? y x yxyxfyxF dd),(),(
),( YX ),( yxf
),( YX
简称的 概率密度,
类似地，的联合概率密度函数具有性质（证
略）：
（ 1） （非负性） ；
（ 2） （规范性） ；（ 3— 10）
（ 3） 对于平面上任意可积的区域 有；（ 3— 11）
（ 4） 若除可数点外 的二阶混合偏导
数处处连续,则
0),( ?yxf
? ????? ???? ? 1dd),( yxyxf
? ?
? ??? ?
??
Dyx
yxyxfDYXP
,
dd,}),{(
,D
),( yxF
(3-12)
是 的一个联合概率密度函数．
由性质（ 3）知：在几何上,表示
空间的一个曲面,的值等于以
为底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体
积．
设 是平面上的某个区域，其面积为,若
(X,Y) 的概率密度函数
（ 3－ 13）
yx,
22(,) (,)
(,) F x y F x yf x y x y x y??? ? ? ? ? 在 的 连 续 点 处
? ? 0f x y ?,其 他
? ?yxfz,?
}),{( DYXP ? D
? ?yxfz,?
D S
),( YX
?
?
?
??
?
?
?
?
其它0
),(
1
),(
Dyx
S
yxf
则称 服从区域 上的 均匀分布,记为
．若的概率密度函数为
其中 均为常数，
，则称 服从参数为（ ）的 二
维正态分布,记为,
?
?
?
?
?
? ??????
???? )
)())((2)((
)1(2
1e x p
12
1),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
22
21 ?
?
??
???
?
?
?????
yyxxyxf
),( YX D )(~),( DUYX
?????,,,,2121 221 ),(,1,0,0 Ryx ???? ???
),( YX,1?,2? ???,,2221
),,,,(~),( 222121 ?????NYX