§ 1.2 随机事件的概率
就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件是不够
的，更重要的是对事件发生的可能性做出定量的描述,这
就涉及到一个概念 —— 事件的概率 (Probability),直观
地说，一个事件的概率（记为）就是能刻画该事件发生的
可能性大小的一个数值,因此，凭直觉我们可以说，在掷
一枚硬币的试验中, 出现数字面, 的概率为，而在掷一颗
骰子的试验中, 出现 ‘ 1’点, 的概率为, 但是，对一般的
事件而言，单凭直觉来确定其发生的概率显然是行不通的，
必须从客观的本质特征上寻求概率的界定方法, 那么，概
率有客观性吗？数学上如何定义呢？下面，我们将逐步明
确这些问题,
一、概率的统计定义
对一个事件 A来说，无论它发生的可能性是大
还是小，在一次试验或观察中都可能发生或者不
发生,因此，根据一次试验或观察的结果并不能确
定任何一个事件发生的概率（事件 ?和 除外）,
不过，在大量的重复试验或观察中，事件发生的
可能性却可呈现出一定的统计规律，并且随着试
验或观察次数的增加，这种规律会表现得愈加明
显,
显然，在重复试验或观察中，要反映一个事
件发生的可能性大小，最直观的一个量就是 频率
(Frequency)，其定义是：若在 n次试验中，事件 A
发生了次,则 A在 n次试验中发生的频率
?
An
我们知道，频率 越大（或小），事件 A发生
的可能性就越大（或小），即,A的概率就越大
（或小）, 可见，频率是概率的一个很好反映,但
是，频率却不能因此作为概率，因为概率应当是
一个确定的量，不应象频率那样随重复试验和重
复次数的变化而变化, 不过，即使这样，频率还是
可以作为概率的一个估计，而且是一个有客观依
据的估计，这个依据就是所谓的 频率稳定性,当
试验或观察次数 n较大时，事件 A发生的频率
会在某个确定的常数 p附近摆动，并渐趋稳定,这
n
nAF A
n ?)(
)(AFn
)(AFn
是人们通过长期研究和观察总结得出的结果，在
一定程度上揭示了事件发生的统计规律性,
根据频率稳定性，我们可以对概率给出一个
客观描述，这就是概率的统计定义：一个事件 A的
概率 就是该事件的频率稳定值 p，即,.
应当看到概率的统计定义在一定程度上说明
了概率具有客观性，并不是人们主观想象的产物,
但这个定义仍有其局限性，因为它并没有提供一
个确定频率稳定值的方法而且人们无法将一个试
验无限次地重复下去，从而也就不能严格确定出
任何一个事件的概率，也就是说，还是没有解决
如何定义概率的问题, 不过，通过用频率估计概
率、用频率稳定值描述概 率已经使我们对概率
)(AP pAP ?)(
本质的认识更进了一步，为引出概率的公理化定
义奠定了基础
容易验证，频率具有以下三个基本性质,
（ 1）非负性,≥0；
（ 2）规范性,=1；
（ 3）可加性,当 A和 B互斥时，有
= +,
考虑到概率是频率的稳定值，自然可设想概率也
应具有类似的基本特征, 二十世纪三十年代，著名
数学家柯尔莫哥洛夫（ Kolmogorov）找到了概率
本质的特征并首次提出了概率的公理化定义，使
概率论作为一门严谨的数学分支从此得以迅速发
展, 这是概率论发展史上的一个里程碑,
)(AFn
)(?nF
)( BAF n ? )( AFn )(BF
n
二、概率的公理化定义
定义 1.1 设 是试验 E的样本空间,B是 上的事件
组成的集合,对任一事件 B,如果定义在 B上的
实值函数 满足下面三个公理
公理（ Ⅰ ）非负性：,
（ Ⅱ ）规范性：,
（ Ⅲ ）完全可加性,当事件组 互斥时，
总有
,（ 1-2）
则称为事件 A的 概率,
? ?
?A
)(AP
0)( ?AP
1)( ??P
,,,21 ?AA
?? ????? )()()( 2121 APAPAAP
特别要注意，公理（ Ⅲ ）的（ 1-2）式要求对无限
多个互斥事件也成立，这不同于通常的频率可加
性, 另外，虽然这个定义从形式上没有解决在特定
场合下如何确定事件概率的问题，但它却从本质
上明确了概率所必须满足的一些一般特征, 以下，
根据定义 1.1，进一步导出概率的一些重要性质,
三、概率的重要性质
性质 1, （ 1-3）
性质 2 若事件组 互斥，则
,（ 1-4）
性质 3, （ 1-5）
0)( ??P
nAAA,,,21 ?
)()()( 121 nn APAPAAAP ????? ??
)(1)( APAP ??
性质 4（减法公式）
,（ 1-6）
特别地，当 时，,.
性质 5（加法公式）
.（ 1-7）
从而,.
)()()( ABPBPABP ???
BA ? )()()( APBPABP ??? )()( BPAP ?
)()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()( BPAPBAP ???
