§ 2.3 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
对于离散随机变量 X，我们可以用分布律来描述概率分
布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列
出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能
的．然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取
值的概率．如,考虑对于任意实数 （ ），落在区间
上的概率,但由于 =
因此我们只需考虑 和 形式的概率就可以
了，而 与 具有相同的形式，因此，我们有
下面的概念,
21 xx, 21 xx ?
? ?21 xx,? ?21 xXxP ?? ? ?21 xXxP ?? ? ? ? ?12 xXPxXP ???
? ?2xXP ? ? ?1xXP ?
? ?2xXP ? ? ?1xXP ?
定义 2.7 设 X是一个随机变量,是任意实数，则称函数
（ 2— 10）
为 X的 分布函数 或 累积分布函数
（ Cumulative Distribution Function）．
根据定义,定义在整个实数轴上,在任意实数 处
的函数值就是随机变量 X落在实数轴 点及其整个左侧区间
的概率．
对于任意的实数,当 时，有
（ 2— 11）
从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规
律性．分布函数是一个普通的函数，通过它，我们将能用分
析的方法来研究随机现象的统计规律．
x
? ? ? ?xXPxF ??
? ?xF ? ?xF x
x
? ?x,??
21,xx 21 xx ?
二、分布函数的性质
1．（单调非降性） 对于任意实数,当 时,
有 ≤ ；
事实上，由（ 2— 11）,－ = ≥0 即
知此性质成立．
2.（规范性）对于任意实数, ；且；（证略）
3,(右连续性 ) 对于任意实数,有 F(x+0) =
F（ x）．（证略）
反过来，理论上还可以证明满足以上三条性质的函数,
一定是某个随机变量 X的分布函数．利用分布函数，可以进
行概率计算，几个经常用到公式为：
,,21 xx 21 xx ?
? ?1xF ? ?2xF
? ?2xF ? ?1xF ? ?21 xXxP ??
x ? ? 10 ?? xF
x
)(lim uFxu ???
? ?xF
对于任意实数,有
(1),= ;（证略 ) （ 2－ 12）
(2),= ；
证明 根据（ 2－ 10）和（ 2－ 12）可知
□
类似可证
(3),=1－ ；
(4),=1－ ；
x
? ?xXP ? ? ? ? ?0?? xFxF
? ?xXP ? ? ?0?xF
? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP ?????
)0()]0()([)( ?????? xFxFxFxF
? ?xXP ? ? ?xF
? ?xXP ? ? ?0?xF
三、分布函数与离散型随机变量分布律的关系
一般地
（ 1）若离散型随机变量的分布律为：
则对于任意实数,X的分布函数为
(2－ 13)
=
即,的值等于所有不大于 的 对应的概率之和．
（ 2）设离散型随机变量 X的分布函数为, 为其间断
点 =1,2,…,则 X的分布律为
=,=1,2,…,(2 － 14)
x
? ? ? ?xXPxF ?? ?
?xx
k
k
p
? ?xF x kx
? ?xF kx
k
? ?kk xXPp ?? ? ? ? ?0?? kk xFxF k
