§ 1.5 事件的独立性
一、两个事件的独立性
在前面的很多例子中，,这
说明事件 A与 B是有关联的, 比如，当
（或 ）时，就意味着 B的发生使 A
发生的可能性增大（或减小）了，也就是
说,B的发生对 A的发生有‘促进’（或
‘抑制’）作用, 本节考虑的是的情形，涉
及概率论中一个非常重要的概念 —— 独立
性
)()|( APBAP ?
)()|( APBAP ?
)()|( APBAP ?
由（ 1-10）和乘法公式（ 1-11）知，当
时,等价于以下的对称形式
,(1-14)
定义 1.3 若事件 A和 B满足（ 1-14）式，则称 A
与 B是 相互独立 的（ MutuallyIndependent)
简称 A与 B独立,
根据这个定义，任何事件 A都与必然事件
独立，也与不可能事件 独立,
0)( ?BP
)()|( APBAP ?
)()()( BPAPABP ??
?
?
定理 1.1
若事件 A与 B独立，则以下每对事件都
独立,与 B,A与, 与,
应当注意，独立性与互斥性（互不相
容性）是两个根本不同的概念，前者强调
事件没有关联，后者强调事件不同时发生，
通常，两者没有必然的联系, 另外，当
且 时,A与 B的独立性和互斥性不能
同时具备
A B A B
0)( ?AP
0)( ?BP
二、多个事件的独立性
定义 1.4 设 为 n 个事件，如
果其中的任意两个事件都独立，则称事件
是 两两独立 的（ Pairwise
Independent）,
定义 1.5 设 为 n 个事件，如
果对任意的 个数和任意的 个事
件，都有 （ 1-15）
nAAA,,,21 ? )2(?
nAAA,,,21 ?
nAAA,,,21 ? )2(?
k)2( nkk ??
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ??
需要说明的是，（ 1-15）式实际上蕴涵着
个等式, 特别地，
当 时，（ 1-15）式蕴涵着以下四个等
式：
，
，
，
可以看出，若事件 相互独立，则
它们必定两两独立，但事件
nCCC nnnnn ?????? 1232 ?
3?n
)()()( 2121 APAPAAP ??
)()()( 3131 APAPAAP ??
)()()( 3232 APAPAAP ??
)()()()( 321321 APAPAPAAAP ???
nAAA,,,21 ?
nAAA,,,21 ?
两两独立却不能推出它们相互独立, 弄清
这两个概念的区别与联系，对正确认识多
个事件的不同独立性含义十分必要,
由定义 1.5，可得以下结论
定理 1.2 若事件组 独立，则
(1) 其中任意 (2 )个事件形成的事
件组独立；
(2) 将其中任意多个事件换为相应的对立
事件后形成的事件组仍独立,
nAAA,,,21 ?
k
k nk ??
比如，当事件组,,独立时，事件组
,,独立；事件组,,独立；事件组
,,也独立，等等,
因为,,独立，即，彼此毫无关联，
自然，事件 与 以及事件与也都没有
关联，从而它们独立, 对多个独立的事件，
类似的结论仍然成立,
注意，在许多实际问题中，我们并不
总是用（ 1-14）来判断事件的独立性，而是
相
1A 2A
3A
1A
2A
2A
3A
1A
1A 2A 3A
1A 2A 3A
)( 21 AA 3A
反直接从问题的实际背景出发，看两个事
件是否互不关联，如果两个事件互不关联，
彼此没有影响，就可认为是独立的, 从而可
用（ 1-14）式计算积事件的概率, 这样，独
立性还是计算复杂事件概率的一个重要考
虑, 下面给出两个常用的基本公式,
定理 1.3 若事件组 独立，则
（ 1）, （ 1-16）
（ 2）, （ 1-17）
nAAA,,,21 ?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP ?? ??
)( 21 nAAAP ???? )()()(1 21 nAPAPAP ????
定义 1.6 设 E为一随机试验，将 E独立地重复 n
次得到的复合试验称为 n重独立试验 ；若 E
只有两个可能结果（如事件 A发生或不发
生），则称其为 贝努利试验 （ Bernoulli
Trial），由它得到的 n重独立试验称为 n重
贝努利试验,
贝努利试验以及相应的概率模型在实际中
有十分广泛的应用, 比如，掷一颗骰子的试
验就是贝努利试验，掷 n次就是 n重贝努利
试验, 还有，对任一事件 A，若试验的目的
只是观察 A发生与否，那么，独立地做 n次
试验或观察就构成一个 n重贝努利试验,
关于 n重贝努利试验，我们不加证明地给出
以下重要结论：
定理 1.4 对任一事件 A，若，则在观察 A发生
与否的 n重贝努利试验中，事件 A恰好发生 k
次的概率为
,,（ 1-18）
这是概率论中一个相当重要的结论，有很
多实际的应用,很多概率的计算都可归结为
概率模型的应用, 只有掌握概率模型的实质
才能达到由表及里、举一反三的成功应用
knkkn ppC ?? )1( nk,,2,1,0 ??