§ 1.4 条件概率、全概率公式和贝叶
斯公式
一、条件概率
简单地说，条件概率就是在一定附加
条件之下的事件概率,
从广义上看，任何概率都是条件概率，
因为任何事件都产生于一定条件下的试验
或观察，但我们这里所说的“附加条件”
是指除试验条件之外的附加信息，这种附
加信息通常表现为“已知某某事件发生了”
定义 1.2 设 A和 B为两个事件，,那
么，在,B已发生”的条件下,A发生的 条
件 概率 定义为
,（ 1-10）
在具体计算 时，可以用公式（ 1-
10）的右端来求，也可以像刚才的例子那
样，直接从缩小了的样本空间来求，后一
种求法有时更方便、实用,
0)( ?BP
)|( BAP
)(
)(
)|(
BP
ABP
BAP ?
)|( BAP
从条件概率的定义，不难验证条件概率具
有以下性质（习题一的第 23题）：
（ 1）
（ 2）
但是，需要注意，一般地
,.
条件概率的一个重要应用便是下面的乘法
公式,
)|()|(]|)[( CBPCAPCBAP ???
)|(1)|( CAPCAP ??
)|()|()](|[ CAPBAPCBAP ???
1)|()|( ?? BAPBAP
二、乘法公式
根据（ 1-10），当 或
时，立即有 或
,(1-11)
这就是概率的 乘法公式,它在计算复杂事
件的概率时十分有用,
乘法公式（ 1-11）还可推广到多个事件的
情形，如 时，有
0)( ?AP 0)( ?BP
)|()()( ABPAPABP ??
)|()()( BAPBPABP ??
0)( 121 ??mAAAP ?
我们看到，运用乘法公式求复杂事件
的概率时，关键在于如何将事件依次划分
成‘适当’事件之积，使得前面事件都发
生的条件下后一事件发生的条件概率便于
计算,
关于复杂事件概率的计算方法，除乘法公
式外，下面还有一个更重要的公式
)|()(])[( )( 12112112121 ??? ??? mmmmmm AAAAPAAAPAAAAPAAAP ????
)|()|()|()( 121121121 ????? mmii AAAAPAAAAPAAPAP ?????
三、全概率公式
设事件组 互斥
且,则对任一事件 B，
,（ 1-12）
称此式为 全概率公式,
由全概率公式可知，在计算复杂事件 B
的概率时，只要能找到一组适当的、互斥
简单事件 使它们的和事件是必
然事件
nAAA,,,21 ? ????? nAAA ?21
0)( ?iAP,,,2,1 ni ??
)|()()|()()|()()( 2211 nn ABPAPABPAPABPAPBP ??????? ?
?
?
?
n
i
ii ABPAP
1
)|()(
,,,21 ?AA nA
并且 和 （ ）易于
计算，那么,的计算就可简化,
在公式（ 1-10）、（ 1-11）和（ 1-12）
的条件下，若，则立即有
,（ 1-13）
上式称为 贝叶斯公式 以纪念英国统计学家
贝叶斯 （ T,Bayes）对概率论的贡献,
)( iAP )|( iABP,,,2,1 ni ??
)(BP
四、贝叶斯公式
?
?
?
?
?? n
k
kk
iii
i
ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP
1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
,,,2,1 ni ??
这一公式最早发表于 1763年，当时贝叶斯
已经去世，其结果没有受到应有的重视, 后
来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公
式的重要性, 现在，贝叶斯公式以及根据它
发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、
人工智能、知识发现等领域的重要工具,
贝叶斯公式给出了‘结果’事件 B已发
生的条件下，‘原因’事件 的条件概率
从这个意义上讲，它是一个“执果索因”
的条件概率计算公式,相对于事件 B而言,
概
iA
ni,,2,1 ??
率论中把称为 先验概率 （ PriorProbability）
，而把称为 后验概率
（ Posterior Probability），这是在已有附加
信息（即事件 B已发生）之后对事件发生的
可能性做出的重新认识，体现了已有信息
带来的知识更新,
