一,引言
自然界和社会上发生的现象
是多种多样的 。
有一类事在一定的条件下
必然发生 (或不发生 ),例如
向上抛一石子必然下落。
而另一类则在观测之前无法
预知确切结果,即呈现出
不确定型,
即可能发生也可能不发生，这类现象在自然
界和日常生活中十分普遍，比如，抛一枚硬币，
可能出现有国徽的一面，也可能出现有数字的一
面；掷一颗骰子，可能会出现 ‘ 1’ 点，也可能不
出现 ‘ 1’ 点而出现其它点数；随便走到一个有交
通灯的十字路口，可能会遇到红灯，也可能会遇
到绿灯或黄灯,
但人们长期观测发现这类现象在大量重复实
验和观察下却呈现出某种规律型 即统计规律性
概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计
规律性的一门学科
§ 1.1 随机事件
二,随机事件的概念
为进一步明确随机现象的含义我们随验谈起,什么是
,随机试验, 呢?在概率论中，一个试验（或观察 )如果满
足以下条件：
（ 1）试验在相同条件下可重复进行；
（ 2）试验的所有可能基本结果事先明确且不止一个；
（ 3）每次试验究竟出现哪个结果不能事先肯定，
则称其为一个 随机试验,简称 试验,常用字母 E表示,
要研究随机现象，就要研究随机试验,在概率论中，把随机
试验的每个可能的基本结果称为 样本点 (Sample Point)，
用表示；把样本点的全体称为该试验的 样本空间 (Sample
Space)，用 表示,
我们看到，在随机试验中每个样本点都可能出现，也
可能不出现，至于究竟出现与否只有等试验有了结果才能
知道, 一般地，把随机试验中那些可能出现、也可能不出
现的结果称为, 随机事件, (Random Event)，用大写字母
A,B,C,? 表示,特别地，每个样本点都是随机事件，称
之为 基本事件,除基本事件外，在一个随机试验上还可定
义很多其它随机事件,
一般而言，任何随机事件都是随机试验的可能结果，
而样本空间已包含了所有可能的基本结果（样本点），因
此，随机事件总是可用一部分样本点或样本空间的子集来
描述的,这样，我们有以下定义：
称随机试验的 样本空间的子集 为 随机事件,以后简称
事件, 当事件子集中任何一个样本点在试验中出现时，就
称该事件 发生,即，事件 A发生的充要条件是试验结果出
现的样本点,
?
三,事件间的关系
首先声明，下面的讨论均在同一个样本空间中进行．
1．事件的包含与相等
如果事件 A发生必然导致事件 B发生，即 A的每个样本点都
是 B的样本点，则称 B包含 A，记作,从事件的集合表
示看，事件 B包含事件 A就是样本空间的子集 B包含子集 A，
如图 1.1（ a）
所示,显然，对任何事件 A，总有
如果,同时,则称事件 A和事件 B相等,
记为 A=B，即,A与 B含有相同的样本点
??A
BA? AB ?
()a
2．事件的互斥
如果事件 A和 B不可能同时发生，即 A与 B没有公
共样本点，则称 A与 B是 互斥 的（ Mutually
Exclusive）或 互不相容 的，换句话说，两个事件
A与 B互斥就是样本空间两个子集 A与 B不相交，
如图 1.1（ b）所示,
如果一组事件中任意两个事件都互斥，则称该组
事件 两两互斥,或简称该组事件 互斥,由定义可知，
任意两个不同基本事件都是互斥的．
()b
3．事件的互逆
如果事件 A和 B中必有一个发生但又不可能同时发
生，则称 A与 B是 互逆 （ Mutually Inverse）或 对
立 的，称 B为 A的 逆事件 （或 对立事件 ），记
作,两个事件 A与 B互逆就是样本空间两个子
集 A与 B互补,A的逆事件 就是 A的补集，如
图 1.1（ c）所示,
AB ?
AB ?
()c
可以看出，事件 A与 一定互斥，但互斥的事件
却不一定互逆,例如，在例 1.3中，事件 A与 B是互
逆的，即,,而事件 A与 A2虽互斥，但
不互逆,
A
AB? BA?
四,事件间的运算
1．和事件
对事件 A和 B，定义它们的 和事件 为
=,A发生或 B发生, =,A和 B中至少有一个
发生,,
即，只要 A与 B中的一个发生了，就算和事件
发生了，如果 A与 B都没发生，当然和事件 也
就不发生,
作为样本空间的子集，和事件 是由事件 A和 B
中的所有样本点组成的新事件，是样本空间子集
A与 B的并集,如图 1.2 (a)
BA?
BA?
BA?
BA?
如图 1.2 (a)所示,类似地，可定义
=,中至少有一个发生,,
注意，当 A与 B互斥时，通常将 记为 ；
事件组 互斥时，将它们的和事件
记为, 利用集合的运算关系，容易验证
和事件满足关系：,, ；
当 时，还有,
()a
nAAA ???? 21 nAAA,,,21 ?
BA? BA?
nAAA,,,21 ? nAAA ???? 21
nAAA ??? ?21
??? AA ????A AAA ??
BA ? BBA ??
2．积事件
定义事件与的 积事件 为
AB =,A和 B同时发生,,
换句话说，积事件 AB是由 A与 B的所有公共样本点
组成的新事件，是样本空间子集 A与 B的交集，如
图 1.2 (b) 所示,
类似地，可定义
=,同时发生,,
同样可验证积事件满足关系,?，；当 时，
nAAA ?21 nAAA,,,21 ?
?AA AA ??
AAA ? BA? AAB ?
()b
3．差事件
定义事件 A与 B的 差事件 为
,A-B=A发生且 B不发生, =,A与 同时发生,,
即，差事件 A-B 是由在 A中但不在 B中的所有样本
点组成的新事件，是子集 A与 B的差集,如图 1.2(c)
所示,
由定义或借助于集合观点易知，差事件满足关系：
（ 1）,
（ 2）,
（ 3）,
B
BA?B
)( ABABABA ????
AA ???
BABBA ???? )(
注意其中 (AB)的和 (A-B)都是一个整体记号，分别
代表一个积事件和一个差事件，不能对它们做算
术运算，比如，不能推出,.由于事件
是样本空间的子集，我们在给出事件间关系和运
算的概念时，也从集合的观点对它们进行了解释
和说明，而且采用了与集合对应关系相一致的记
号，便于读者用集合的观点解释、论证事件间的
关系和运算，但是，以后还必须学会直接用本节
的概率论语言来思考，这对后续的学习十分有益
()c
ABBA ??? )(
最后，我们列出事件满足的基本运算规律：
（ 1）交换律,
（ 2）结合律,
（ 3）分配律,
（ 4）德莫根 (De Morgan)公式,
注意，一般地，,,
A B B A? BAAB ?
CBACBA ???? )()( ? CABBCA )()( ?
)()()( ACABCBA ?? ? ))(()( CABABCA ??? ?
CBAABC ???
CBACBA ??? BAAB ? BABA ?? ?